2024人教A版数学必修第一册达标自测5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)（含解析）

第五章　5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
一、选择题
1．cos的值等于(　 　)
A．　　 B．
C． D．
2.cos－sin的值是(　 　)
A．0 B．
C．－ D．2
3．若cos αcos β＝1，则cos(α＋β)＝(　 　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．6
5．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cos β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
8．(多选题)若α∈[0，2π]，sinsin＋cos·cos＝0，则α的值是(　　)
A． B．
C． D．
9．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
10．已知cos＝，0<θ<，则cos θ等于(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
11．计算sin 133°cos 13°－sin 13°cos 133°的结果为 ．
12．已知α是锐角，sin α＝，则cos等于 ．
13．设α∈，β∈，cos α＝，且tan α＝，则sin(α－β)＝ ．
14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为 ，最小值为 ．
15．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝ ．
三、解答题
16．化简求值：
(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
17．已知cos α＝－，<α<π，求cos ，cos 的值．
18．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－，求sin α的值．
19．已知cos α＝，sin(α－β)＝且α，β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
第五章　5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
一、选择题
1．cos的值等于(　C　)
A．　　 B．
C． D．
[解析]　cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
2.cos－sin的值是(　B　)
A．0 B．
C．－ D．2
[解析]　cos－sin＝2＝2＝2sin＝2sin＝.
3．若cos αcos β＝1，则cos(α＋β)＝(　C　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[解析]　因为|cos α|≤1，|cos β|≤1，所以|cos αcos β|≤1，于是或所以sin α＝0，sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1，故选C．
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　B　)
A．8 B．4
C．2 D．6
[解析]　由已知得则＝4.故选B．
5．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析]　∵sin Asin B∴cos Acos B－sin Asin B>0，
∴cos(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cos β＝(　C　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sin α＝.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
7．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[解析]　由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，
∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
8．(多选题)若α∈[0，2π]，sinsin＋cos·cos＝0，则α的值是(　CD　)
A． B．
C． D．
[解析]　由已知得coscos＋sinsin＝0，
即cos＝0，cos α＝0，又α∈[0，2π]，
所以α＝或α＝.
9．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　BD　)
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
[解析]　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
10．已知cos＝，0<θ<，则cos θ等于(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　因为θ∈，所以θ＋∈，
所以sin＝，
故cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
二、填空题
11．计算sin 133°cos 13°－sin 13°cos 133°的结果为．
[解析]　原式＝sin(133°－13°)＝sin 120°＝.
12．已知α是锐角，sin α＝，则cos等于．
[解析]　易知cos α＝，
故cos＝coscos α－sin·sin α＝＝.
13．设α∈，β∈，cos α＝，且tan α＝，则sin(α－β)＝．
[解析]　由已知得tan α＝＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝.
14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为1，最小值为－1．
[解析]　因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－sin φ·cos(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.
15．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝．
[解析]　由已知，得
即
解得
所以tan α·tan β＝＝.
三、解答题
16．化简求值：
(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
[解析]　(1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin [(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
17．已知cos α＝－，<α<π，求cos ，cos 的值．
[解析]　∵cos α＝－，且<α<π，
∴sin α＝＝，
∴cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝，
cos ＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝－.
18．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－，求sin α的值．
[解析]　(1)∵cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝，
∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
(2)又sin β＝－，∴cos β＝，
由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
19．已知cos α＝，sin(α－β)＝且α，β∈.求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析]　(1)因为α，β∈，
所以α－β∈.
又因为sin(α－β)＝>0，
所以0<α－β<.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.