2024人教A版数学必修第一册达标自测5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)（含解析）

第五章　5.5.1 第3课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
一、选择题
1．已知＝2，则tan的值是(　　)
A．2 B．－2　
C． D．－
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于(　　)
A．2 B．1
C． D．4
3．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－
C．7 D．
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
5．在△ABC中，若0A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
6．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
7．已知α∈，tan＝－3，则sin α＝(　　)
A． B．－
C． D．±
8．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
9．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．3
10．已知tan(α＋2β＋)＝，tan ＝，那么tan 等于(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
11．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为 ．
12．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为 ．
13．tan 70°＋tan 50°－tan 50°tan 70°＝ ．
14．已知tan＝，tan＝－，则tan＝ ．
15．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝7，则tan 2β＝ ．
16．(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝ ．
三、解答题
17．已知sin α＝－且α是第三象限角，求tan的值．
18．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；
(2)tan(α＋β)．
19．已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
20．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？
第五章　5.5.1 第3课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
一、选择题
1．已知＝2，则tan的值是(　C　)
A．2 B．－2　
C． D．－
[解析]　由＝2，得tan＝＝.
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于(　C　)
A．2 B．1
C． D．4
[解析]　∵tan(α＋β)＝，
∴tan α·tan β＝1－＝1－＝，故选C．
3．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　C　)
A． B．－
C．7 D．
[解析]　易知tan α＝－.
tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是(　B　)
A．－ B．
C． D．－
[解析]　由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，得
＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，
∴C＝，cos C＝.
5．在△ABC中，若0A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
[解析]　∵0∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cos A<0，∴A为钝角．
6．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　B　)
A． B．－
C．或－ D．－或
[解析]　由韦达定理得
tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，
且tan α<0，tan β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
7．已知α∈，tan＝－3，则sin α＝(　A　)
A． B．－
C． D．±
[解析]　tan α＝tan
＝＝－，
∵α∈，
∴α∈，∴sin α＝＝，故选A．
8．(多选题)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　CD　)
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
[解析]　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，
∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝＝，∴A，B都错；
∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
∴tan A·tan B＝①，
又tan A＋tan B＝②，
由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确，故选CD．
9．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于(　D　)
A．－ B．
C．－ D．3
[解析]　∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，
∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)
＝tan α－2①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)，②
将②代入①得＝tan α－2，∴tan α＝＋2＝3.
10．已知tan(α＋2β＋)＝，tan ＝，那么tan 等于(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　tan ＝
tan
＝
＝＝，故选B．
二、填空题
11．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为－2．
[解析]　因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
12．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为．
[解析]　tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]
＝＝＝.
13．tan 70°＋tan 50°－tan 50°tan 70°＝－．
[解析]　∵tan 70°＋tan 50°＝tan 120°(1－tan 50°·tan 70°)
＝－＋tan 50°·tan 70°
∴原式＝－＋tan 50°·tan 70°－tan 50°·tan 70°
＝－.
14．已知tan＝，tan＝－，则tan＝．
[解析]　tan＝tan
＝＝.
15．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝7，则tan 2β＝－．
[解析]　tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝－.
16．(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝．
[解析]　∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，
又B＝A－，
∴tan B＝tan＝，
即tan B＝，
∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，
又B为三角形的内角，∴B＝.
三、解答题
17．已知sin α＝－且α是第三象限角，求tan的值．
[解析]　∵sin α＝－且α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－＝－.
∴tan α＝＝3.
∴tan＝＝＝.
18．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；
(2)tan(α＋β)．
[解析]　(1)tan＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
19．已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
[解析]　由题意得
，
解得m≤且m≠0.
且tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－m.
又m≤且m≠0，
∴tan(α＋β)的最小值为－＝－.
20．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π　②tantan β＝2－同时成立？
[解析]　存在α＝，β＝，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由(1)知：＋β＝，
∴tan＝＝，
由(2)知tantan β＝2－，∴tan＋tan β＝3－，
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tan β＝1.
又∵0<β<，则β＝，代入(1)，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使①②同时成立．