2024人教A版数学必修第一册达标自测5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质（含解析）

第五章　5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)
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2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
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3．对于函数y＝cos，下列命题正确的是(　　)
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(　　)
A．x轴对称　　 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
5．函数y＝sin的一个对称中心是(　　)
A． B．
C． D．
6．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
7．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos |2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin
D．y＝cos
8．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x中，奇函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)
A．y＝sin＋1
B．y＝cos
C．f(x)＝＋
D．y＝cos
10．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(　　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
二、填空题
11．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝ ．
12．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是 ．
13．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则当x<0时，f(x)的解析式为
14．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若f＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为 ．
15．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝ ．
16．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为
三、解答题
17．已知函数f(n)＝sin，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值．
18．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
19．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
20．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
第五章　5.4.2 第1课时正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题
1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　D　)
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\4T74.TIF" \* MERGEFORMATINET
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　B　)
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21WY55A．TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21WY55A.TIF" \* MERGEFORMATINET
[解析]　由题意，f(x)是周期为2的偶函数，故选B．
3．对于函数y＝cos，下列命题正确的是(　D　)
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
[解析]　因为函数y＝cos＝sin 2x，T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函数，
所以y＝cos是周期为π的奇函数．
4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(　C　)
A．x轴对称　　 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
[解析]　因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos 2x，
所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．
5．函数y＝sin的一个对称中心是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B．
6．函数f(x)＝的奇偶性是(　A　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析]　因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．
7．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　D　)
A．y＝cos |2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin
D．y＝cos
[解析]　y＝cos＝－sin 2x，满足既是奇函数，又是最小正周期为π的周期函数．故选D．
8．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x中，奇函数的个数为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①③④是奇函数，故选C．
9．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　AC　)
A．y＝sin＋1
B．y＝cos
C．f(x)＝＋
D．y＝cos
[解析]　由y＝sin＋1＝cos 2x＋1知，y＝sin＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；
由y＝cos＝－sin 2x知，y＝cos为奇函数，故B不满足条件；
对任意x∈R，－1≤sin 2x≤1，∴1＋sin 2x≥0，1－sin 2x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；
y＝cos是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．
10．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(　AD　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
[解析]　φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数；φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．
二、填空题
11．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝－1．
[解析]　因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
12．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是π(答案不唯一)．
[解析]　因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．
13．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－sin__x(x<0)．
[解析]　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(x)为R上偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，故f(x)＝－sin x，(x<0)．
14．已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)，若f＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为4π．
[解析]　因为f＝sin＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.
15．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝2．
[解析]　∵f(x＋3)＝，
∴f(x＋6)＝＝f(x)，
故f(x)为周期为6的周期函数．
f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)＝f(1＋3)
＝＝2.
16．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为－．
[解析]　∵函数f(x)＝sin是奇函数，
∴＋φ＝kπ，解得φ＝kπ－，k∈Z，
又∵φ∈.∴k＝0时φ＝－.
三、解答题
17．已知函数f(n)＝sin，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值．
[解析]　∵f(x)＝sin，∴T＝＝8，
又f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝1，
f(3)＝sin＝，f(4)＝sin π＝0，
f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin＝－1，
f(7)＝sin＝－，f(8)＝sin 2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
又2 022＝252×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝＋1＋＋0＋＋(－1)＝.
18．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又∵当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如右图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.
19．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解析]　(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
函数图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\4T76.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.
20．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
[解析]　x∈时，
3π－x∈，
因为x∈时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.