湖南省邵阳市大祥区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

邵阳市大祥区2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知为递增的等差数列，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A．19 B．14 C． D．13
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A．公差d的取值范围是 B．
C． D．的最小值为1
10．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则曲线为椭圆 B．若曲线为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11．已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1 B．椭圆C的短轴长为
C．的最小值为 D．过点F的圆E的切线斜率为
12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程的方程为 ．
14．已知，若三向量共面，则实数 .
15．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的正切值的取值范围为 ．
16．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，以A为球心，为半径作球，则球A与三棱锥P-ABC的表面的交线长之和为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
18．的内角的对边分别是，且，
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．
19．平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.

(1)用向量，，表示向量；
(2)求线段的长度．
20．设等差数列的前项和为，，，且有最小值.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设数列的前项和为，求.
21．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22．设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过曲线上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求的面积的取值范围(O为坐标原点)．
高二数学期中考试参考答案：
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B B A A C D
4．B【详解】解：由题意得：的交点坐标为，准线为
直线，设联立直线和双曲线方程可知：
由韦达定理可知：线段的中点横坐标为：故线段的中点到准线的距离为
6．A
【详解】如图：当P在上(下）顶点时，最大，此时，
则，所以，即，，
所以，则，所以椭圆的离心率的取值范围是，
7．C 【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．
8．D
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，，
如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，所以，直线的方程为：，
设点D坐标，点E坐标，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
则，，所以，
得，.由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于.
二、多选题
9 10 11 12
AB BD BD BCD
11．BD
【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，
设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，
所以，
所以，解得或，
因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，由，所以椭圆的短轴长为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确.
12．BCD
【详解】对于A选项，，
在中即为异面直线与所成，故A错误；
对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，，
易证面面，又面，面，轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，求得
，，，
如图，在中，．故B项正确；
对于C选项，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与与交于两点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，如图以为原点，分别以方向为轴 轴 轴正方向建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，，，，
，，，解得，，，
，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：
在中，，，
，故C正确；
对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，在中，，
．故D项正确，故选：BCD．
三、填空题
13．或
14．1
15．
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
由圆上至少有三点到直线的距离为，得圆心到直线的距离不大于，
于是，整理得，显然，即，解得，因此直线的斜率，
所以直线的倾斜角的正切值的取值范围为.
16．
【详解】解：因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以S△ABC＝＝3，由PA⊥平面ABC，平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以PB＝PC＝＝4，所以S△PBC＝，
由VP﹣ABC＝VA﹣PBC，设A到平面PBC的距离为d，所以×3×2＝，
可得点A到平面PBC的距离d＝，所以球只与平面PAB，平面PAC，平面ABC相交，其交线长之和为2×＝，故答案为：．
解答题
17．【详解】（1）∵，∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，∴解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,∴被截得的弦长为.
18．【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得，
所以由余弦定理得，又因为，所以.
（2）如图所示,因为即，
化简得①,又由余弦定理得即②，①②联立解得（舍去）或，所以.
19【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，，
所以
（2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
20【详解】（1）因为等差数列，故，
又因，所以或，
当时，的公差为，，
此时有最大值，无最小值不符合题意舍去，
当时，的公差为，，
此时，有最小值满足题意，，
综上，.
（2）当时，，此时，
当时，此时
，
故
【详解】
（1）取中点，连接，
分别为的中点，，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．，，
故四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．
设，．
设平面PMB的一个法向量为，
则 取．
易知平面的一个法向量为，，
，故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
22．【详解】（1）依题意得，设，
由抛物线性质，可得．
∵圆心是MF的中点，∴根据中点坐标公式可得，圆心纵坐标为1，则MF⊥y轴，
圆半径为1，且过(1，0)，据此可知该圆与x轴和y轴均相切，故圆心为(1，1)，则，
代入抛物线方程得，∴，∴抛物线C的方程为；
（2）在曲线上任取一点，设切点为，．
∵y＝，∴，∴在点处的切线斜率为，
则在点处的抛物线的切线方程为．
又点在切线上，∴，同理可得，
则切点弦AB的方程为(*)，
联立方程组，消y得，由韦达定理得，，
由(*)知，则，
点O到AB：的距离为，则，
∵在曲线上，则，，
故，，
令，则，
时，≤，
∴在恒成立，∴在上单调递减，
∴，∴，∴的面积的取值范围．