民乐县2023-2024学年高三上学期第二次诊断（期中）考试
数学参考答案及评分标准
1、答案：D
解析：因为，所以，所以.
故选：D.
2、答案：C
解析：因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根，
所以，解得，所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.故选：C.
3、答案：D
解析：依题意点P的坐标为，，；
故选：D.
4、答案：A
解析：方法一：由等差数列的求和公式可得，，化简得，所以.故选A.
方法二：由于等差数列中，，也成等差数列，即，因为，代入得，因为，，成等差数列，所以，即，所以.故选A.
5、答案：D
解析：函数的定义域为，
由，
则为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，
又，故排除B，故选：D.
6、答案：C
解析：根据题意画出图形，如图所示：
在中，，，，
根据余弦定理得：
，
又，
解得，
又为锐角，
，
此船航行的路程是海里，航行的方向为北偏东．
故答案选：C
7、答案：C
解析：是等差数列，则，所以.故选C.
8、答案：C
解析：设，，，则当时，，，.①设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，又函数在上单调递增，所以，即，所以.②设，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以，即.综上，，故选C.
9、答案：ABD
解析：A，B：由题意可设等差数列的公差为d，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，由可知，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.
故选ABD.
10、答案：AC
解析：由正弦定理
可得：
即成立,
故选项A正确；
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误；
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确；
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选：AC.
11、答案：ABD
解析：对于A：其定义域为R，，即函数是偶函数，故A正确；
对于B：时，，由正弦函数的单调性可知，在区间上单调递减，故B正确；
对于C：时，，此时，可得或，因为是偶函数，所以在区间上的零点为，0，，故C错误；
对于D：当，且，时，.
当，且，时，，.
又是偶函数，所以函数值域为，故D正确；
12、答案：AC
解析：
13、答案：-2或-4
解析：二次函数的图像开口向上，其对称轴为直线.当，即时，函数在上单调递增，所以，.由，得，解得，不满足，舍去.当，即时，函数在上单调递减，所以，.由，得，解得，不满足，舍去.当，即时，.若，即，则.由，得，解得或（舍去）.若，即，则.由，得，解得或（舍去）.综上可知，或.
14、答案：
解析：由题意，，故答案为：.
15、答案：
解析：因为数列是以1为首项、以2为公差的等差数列，数列是以1为首项、以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项、以6为公差的等差数列，则的前n项和为.
16、答案：
解析：因为函数是定义在上的奇函数，，所以.因为当时，，所以，解得.所以当时，；当时，.
作出函数的图像，如图.
由图知，函数在上单调递减，在上也单调递减.易知等价于.当，，即时，原不等式等价于，解得；当，时，无实数解；当，时，无实数解；当，，即时，原不等式等价于，解得；当，即时，，，满足题意；当，即时，，，不满足题意.综上可知，原不等式的解集为.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,由正弦定理得,
得.
,
∴,
,
即.
（2）由余弦定理得,
得,
,
故的面积为.
18、答案：(1)
(2)见解析
解析：（1）设等差数列的公差为.
选条件①：，，，成等比数列，
解得
故数列的通项公式为.
选条件②：，，
解得
故数列的通项公式为.
选条件③：，，
解得
故数列的通项公式为.
（2）证明：，
.
19、
（1）答案：
解析：，
，
依题意有即，解得.
，
由，得，
函数的单调递减区间.
（2）答案：最大值和最小值分别为8和
解析：由(1)知，
，
令，解得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x -1 1 2
- 0 +
8 极小值-4 2
由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增.
，.
故可得，
.
综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和.
20、答案：（1）最小正周期为，单调递增区间是，，单调递减区间是，
（2）最小值为，最大值为
解析：（1）由
，
所以的最小正周期为，
由，得，，
由，得，，
所以函数单调增区间为，，函数单调减区间为，；
（2）由于，
所以，
所以，
故，
故函数的最小值为，函数的最大值为．
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)设数列的公差为d，，，
，，
，
．
(2)由(1)可知，
数列的前n项和为，
，
两式作差，得
，
．
22、
（1）答案：当时，没有零点；当时，存在唯一零点
解析：的定义域为，.
当时，，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.
又，当b满足且时，，故当时，存在唯一零点.
（2）答案：见解析
解析：由(1)，可设在的唯一零点为，当时，；
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.民乐县2023-2024学年高三上学期第二次诊断（期中）考试
数 学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2、一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是( )
A. B. C. D.
3、已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
4、设是等差数列的前n项和，若，则( ).
A. B. C. D.
5、函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6、为了捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域例行巡逻，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东的方向航行了40海里后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿北偏东的方向航行了海里后到达海岛C,若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程分别为( )
A.北偏东，海里 B.北偏东，海里
C.北偏东，海里 D.北偏东，海里
7、设等差数列，的前n项和分别为，，若，则为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
8、设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是( ).
A. B.
C.当时最小 D.时n的最小值为8
10、下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C. 中,是的充要条件
D.在中,若,则
11、已知函数，则( )
A.是偶函数 B.在区间上单调递减
C.在区间上有四个零点 D.的值域为
12、已知函数,,使方程有4个不同的解：分别记为,,,其中,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.的最小值为14
三、填空题
13、已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则___________.
14、若，则______.
15、将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为_________.
16、函数是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为__________.
四、解答题
17、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求C；
（2）若,,求的面积.
18、问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，____________.
下列三个条件：①，，成等比数列；②；③.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
19、已知函数.若函数在处有极值-4.
（1）求的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
20、已知函数，.
（1）求的最小正周期和单调区间；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值．
21、已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式
(2)设，数列的前n项和为，求．
22、设函数.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）证明：当时.
