人教A版（2019）必修第一册 4.1指数 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
4.1 指数
新课导入1
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长关于面积的函数记作.像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
指数幂：在数学上我们把个相同的因数相乘的积记作.这种求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.
新课讲解1
一、n次方根的定义
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
我们知道：
如果，那么叫做的平方根.例如，就是4的平方根.
如果，那么叫做的立方根.例如，就是8的立方根.
类似地，由于，我们把叫做16的4次方根；由于，2叫做32的5次方根.
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.例如，
，.
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.
例如，，，
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
二、根式
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
根据次方根的意义，可得
例如，
不一定
可以得到：
根式的性质
当为奇数时，；
当为偶数时，
例1 求下列各式的值：
(1) (2);
(3); (4).
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
根据次方根的定义和数的运算，我们知道：
这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
也可以
把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式：
我们希望整数指数幂的性质，如对分数指数幂仍然适用.
三、分数指数幂的意义
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
.
例如，，.
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
例2 求值：
(1) (2).
解：(1)
(2)
例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）
(1) (2).
解：(1)
(2)
例4 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1) (2)
(3)().
解：(1)
(2)
(3)()
练习（P107）
新课导入2
上面我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，和都趋向于同一个数，这个数就是.也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂，和另一串逐渐减小的有理数指数幂，逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.这个过程可以用下图表示.
新课讲解2
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
练习（P109）
变1 有下列四个命题：①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3
常见题型分类
题型一：根式的概念
C
D
题型二：利用根式的性质化简求值
BD
题型三：多重根式的化简
C
6
题型四：根式与分数指数幂的互化
C
ABCD
题型五：利用指数幂的性质化简
D
题型六：条件求值问题
-
A
条件求值问题的解题思路1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。
课堂小结
一、n次方根的定义
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.
负数没有偶次方根.
0的任何次方根都是0，记作
二、根式
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
根式的性质
当为奇数时，；
当为偶数时，
课堂小结
三、分数指数幂的意义
.
.
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.
对于任意实数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)