广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

信宜市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，直线的斜率为1，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若平面平面，平面的法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点为线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与为互斥事件 B．与为对立事件
C．与为相互独立事件 D．与为非相互独立事件
6．点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体中，分别是的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
10．对于直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
11．已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么
12．正方体的棱长为2，分别为的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点到平面的距离相等
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，则______．
14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______．
15．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，写出该正方形的一条边所在直线的斜率______．
16．已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，向量，向量，且．
求：（1）；
（2）与所成角的余弦值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．
（1）求过点且与边所在直线平行的直线方程；
（2）在中，求边上的高所在直线的方程；
（3）求的面积．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为．
（1）求组员甲恰好分配到一项任务的概率；
（2）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（3）设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求．
21．（12分）如图，在正四棱柱中，．点，，分别在棱上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当平面与平面的夹角为时，求．
22．（12分）已知直线．
（1）当时，求直线与直线的交点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②已知点，当取最小值时，求直线的方程．
信宜市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案及评分说明
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、单选题
1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B
二、多选题
9．AB 10．AD 11．BD 12．BCD
三、填空题
13． 14． 15．（写一个即可） 16．
四、解答题
17．解：（1），，解得，
故，又因为，
所以，即，解得，故
（2）由（1）可得，
设向量与所成的角为，
则
18．解：（1）．所以，
所以所求直线方程为，即；
（2）因为．则直线的斜率．
边上的高线斜率，
边上的高线方程为：，即．
边上的高线所在的直线方程为．
（3），，
且直线的方程为：．
点到直线的距离，
的面积．
19．（1）证明：因为平面平面，所以．
又是的中点，所以．
又都在平面内，且，所以平面．
（2）解：因为平面平面平面，
所以．又因为，
以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量，
则即令，则，
所以．
设直线与平面所成的角为．
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）设事件为甲分配到第项任务，则事件为乙分配到第项任务，，
依题意，事件两两相互独立，1
设事件为甲恰好分配到一项任务，则，
因为互斥，
所以
；
（2）记事件为甲一项任务都没有被分配，则，
所以，
所以组员甲至少分配到一项任务的概率为；
（3）依题意满足，即或，
所以所求事件为，
因为互斥，
所以
．
21．证明：（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
又不在同一条直线上，
（2）设，则，
设平面的法向量，
则，令，得，
，设平面的法向量，
则，令，得，
，，
化简可得，，解得或，
或，
向量法评分注意：【摘自2023年山东高考评卷细则】
1、建系1分，建系可以文字语言叙述，也可以在图上标出，只要有建系就得1分．如果用左手系，只有全部正确才得满分，否则0分．
2、法向量只要正确就得2分．
3、有两个法向量的夹角公式就得1分，不带绝对值不扣分．
4、若只写结果，没有任何过程，可得结果分2分．
22．解：（1）当时，直线为，
由，解得：，故所求交点为；
（2）①由题意设，
故直线的方程为，因为直线过定点，
代入方程可得，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以的面积的最小值是4，
此时，解得：；
所以此时直线的方程为：；
②由题意，，设，则，
，
令，则，
所以，
，
在上单调递增，
故当时，取最大值，此时取最小值，
当时，有，解得，
所以直线的倾斜角为，所以，
所以直线方程为．
解法2：由（1）可知：
由三点共线，设的中点为，则
当且仅当时取等号，此时
此时直线方程为：