二次根式全章导学案
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文档简介
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期八年级数学导学案
16.1二次根式（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式；
2. 掌握二次根式有意义的条件；
3. 掌握二次根式的基本性质：和，
【学习重点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
【学习难点】灵活运用性质解题，
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题
1. 温故而知新：
（1）如果一个数的平方等于a，即=a，那么叫做a的 ，记为= ，
（2）如果一个非负数的平方等于a，即=a（），那么非负数叫做a的 ，记为= ，
（3）计算下列各式的值：= ，= ，= ，
= ， = ，= ，
2．一般地我们把形如 （ ）叫做二次根式，叫做_____________，
3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
， ， ， ， ，
4．根据算术平方根意义计算 ：
(1) (2) （3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： （），
5.计算：(1) (2)
二、合作、交流、展示：
1.理解二次根式概念
（1）二次根式中，字母a必须满足 ；
（2）二次根式与算术平方根有何关系呢？
（3）当时，是什么数？
【归纳】二次根式的双重非负性：
2．当x取何值时，下列各二次根式有意义
（1）； （2） （3） （4）
3. 若，则 = ，
4．已知y=++5，求的值．
【收获感悟】： ，
三、巩固与应用
1. 若在实数范围内有意义，则为（ ），
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
2．当x 时，二次根式有意义，
3. 在式子中，的取值范围是 ____________.
4．在实数范围内因式分解：
① ② 4a-11
5．若有意义，则a的值为___________．
6．已知+＝0，则_____________.
7．已知y=++3，求的值．
8.拓展提高：已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
四、小结：1．二次根式的概念： ；
2.二次根式的性质： ， ；
3．巧用非负数解题，
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.1二次根式（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．掌握二次根式的基本性质：
2. 综合运用二次根式的基本性质:、、解题.
【学习重点】掌握二次根式的基本性质：
【学习难点】灵活运用性质解题.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题
1. 计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
2．计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3.【归纳】二次根式的性质： =
4．化简下列各式：
（1） （2） （3） （4）= （）
5．代数式：用基本运算符号把 连接起来的式子叫做代数式.
二、合作、交流、展示：
1.理解二次根式三条基本性质：
（1）双重非负性： 0（ ）
（2） （ ） （3）
2．【讨论】二次根式的性质：与有什么区别与联系？
3．化简下列各式
（1） (2) （3）
4．已知2＜x＜3，化简：
5．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简.
三、巩固与应用
1. 课本第4页练习2；
2．= ；
3．a、b、c为三角形的三条边，则 ________；
4.你能运用公式比较与的大小吗
5．当x= 时，代数式有最小值，其最小值是 ；
6．拓展提高：
（1）已知0＜x＜1，化简：－
（2）已知实数a满足，求的值.
四、小结：
1.二次根式的性质： ， ， ；
2．灵活运用二次根式的性质解题.
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.2二次根式的乘除（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．探究发现二次根式的乘法法则，并能利用法则进行乘法运算；
2. 掌握积的算术平方根的性质，并利用性质对二次根式进行化简；
3. 综合运用乘法法则和性质进行乘法运算。
【学习重点】二次根式的乘法；二次根式的化简．
【学习难点】灵活运用乘法法则和性质进行乘法运算和化简.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题
1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①×=______ ，=_______
② × =_______ ，=_______
③ × =_______ ， =_______
⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想＝ (二次根式乘法法则)
再例举两个例子验证你的猜想： ；
2、计算：
× ＝ ；×＝ ；＝ ；＝
3、乘法公式反过来得到： ，
4、填空：⑴ ； ；
⑵请你用上述方法化简下列二次根式： ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ；
二、合作、交流、展示：
1.二次根式的乘法法则：＝ ，
注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？）
2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）
注意：⑴性质成立的条件是： （为什么？） ⑵如何化简：？
3、例题1 计算： ⑴ ⑵ ⑶
例题2 化简：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【收获感悟】：如何进行二次根式的化简 ，
例题3 计算：⑴ ⑵ ⑶
三、巩固与应用
1、等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
2、下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8
B．5×4=20 C.5×2=10 D．
4、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面：
⑴ ； ⑵＝ ；⑶ －
5、比较下列两数的大小：⑴ ⑵ 7 ⑶
6、已知一个三角形的一条边长为，这条边上的高为，求这个三角形的面积.
7、计算：（1）6×（-2）； （2）；
8、（拓展）化简⑴ ⑵
四、小结：1．二次根式的乘法法则： ；
2.积的算术平方根的性质： ，
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.2二次根式的乘除（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简；
3. 会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化.
【学习重点】掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
【学习难点】熟练进行二次根式的化简.
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
＝ ，
2、计算： （1）3×（-4） （2）
3、填空： （1）=____，=____； （2）=____，=____；
（3）=____，=____； （4）=____，=___．你能发现什么规律呢？
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质
4、计算：（1） （2）
5、化简：（1） （2） （3）
二、合作、交流、展示：
仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目
1、计算： （1） （2） （3）
【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简：（1） （2） （3）
3、计算：(1) （2） （3） （4）
【温馨提示】：数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
4、最简二次根式的定义
（1）被开方数不含 ； （2）被开方数中不含 ；
把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
三、巩固与应用
1判断以下各式中哪些是最简二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
2、化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
3、计算：
（1） （2） （3） （4）
四、小结：
1.二次根式的性质的除法法则___ _ _____。
2.商的算术平方根的性质___ ______。
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.3二次根式的加减（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式；
2、理解和掌握二次根式加减法则．
【学习重点】二次根式化简为最简根式；
【学习难点】同类二次根式、最简二次根式的理解；
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本12-13页内容，并完成下列问题：
1、计算．（1）；（2）；（3）；（4）
2、计算下列各式．
（1）2+3 = （2）2-3+5 =
（3）+2+3 = （4）3-2+=
3、思考：3+=3+2= 3+= =
4、同类二次根式：几个二次根式化为 二次根式后，如果 相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5、判断下列式子是否为同类二次根式：
（1）2与；（2）与；（3）、、
6、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 二次根式进行合并．
二、合作、交流、展示：
例1．计算（1）+ （2）+
例2．计算（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）
(3) (4)
归纳：（1）将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；（2）将同类二次根式进行合并．
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
三、巩固与应用
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3、若则的值为( )
A、2； B、－2； C、； D、
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝______，b＝______．
5．计算：
（1） （2）
6、求值，其中x=，y=27．
四、小结：
1、同类二次根式： ；
2、二次根式的加减法步骤：（1） ，（2） ；
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.3二次根式的加减（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1、 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式；
2、 会进行二次根式的混合运算。
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算；
【学习难点】混合运算的顺序、乘法公式的综合运用；
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本14页内容，并完成下列问题：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是： ；
（2）二次根式的乘除法法则是： ；
（3）二次根式的加减法法则是：
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）·· （2） （3）
二、合作、交流、展示：
例1．计算：
（1）（）×；（2）；（3）；（4）
感悟：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
例2．计算： （1） （2）
（3） （4）（-）（--）
例3．所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，请观察：
反之，
∴ =-1
仿上例，求：（1）= （2）=
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
三、巩固与应用
1、计算：
（1） （2）
（3）（a>0,b>0）；（4）
2、已知，求的值。
3、计算：（1）； （2）
四、小结：
1、二次根式的运算顺序： ；
2、乘法公式：（1） ，（2） ；
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16.1二次根式（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式；
2. 掌握二次根式有意义的条件；
3. 掌握二次根式的基本性质：和，
【学习重点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
【学习难点】灵活运用性质解题，
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本2-3页内容，并完成下列问题
1. 温故而知新：
（1）如果一个数的平方等于a，即=a，那么叫做a的 ，记为= ，
（2）如果一个非负数的平方等于a，即=a（），那么非负数叫做a的 ，记为= ，
（3）计算下列各式的值：= ，= ，= ，
= ， = ，= ，
2．一般地我们把形如 （ ）叫做二次根式，叫做_____________，
3. 试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
， ， ， ， ，
4．根据算术平方根意义计算 ：
(1) (2) （3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： （），
5.计算：(1) (2)
二、合作、交流、展示：
1.理解二次根式概念
（1）二次根式中，字母a必须满足 ；
（2）二次根式与算术平方根有何关系呢？
（3）当时，是什么数？
【归纳】二次根式的双重非负性：
2．当x取何值时，下列各二次根式有意义
（1）； （2） （3） （4）
3. 若，则 = ，
4．已知y=++5，求的值．
【收获感悟】： ，
三、巩固与应用
1. 若在实数范围内有意义，则为（ ），
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
2．当x 时，二次根式有意义，
3. 在式子中，的取值范围是 ____________.
4．在实数范围内因式分解：
① ② 4a-11
5．若有意义，则a的值为___________．
6．已知+＝0，则_____________.
7．已知y=++3，求的值．
8.拓展提高：已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
四、小结：1．二次根式的概念： ；
2.二次根式的性质： ， ；
3．巧用非负数解题，
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.1二次根式（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．掌握二次根式的基本性质：
2. 综合运用二次根式的基本性质:、、解题.
【学习重点】掌握二次根式的基本性质：
【学习难点】灵活运用性质解题.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本第4页内容，并完成下列问题
1. 计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
2．计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3.【归纳】二次根式的性质： =
4．化简下列各式：
（1） （2） （3） （4）= （）
5．代数式：用基本运算符号把 连接起来的式子叫做代数式.
二、合作、交流、展示：
1.理解二次根式三条基本性质：
（1）双重非负性： 0（ ）
（2） （ ） （3）
2．【讨论】二次根式的性质：与有什么区别与联系？
3．化简下列各式
（1） (2) （3）
4．已知2＜x＜3，化简：
5．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简.
三、巩固与应用
1. 课本第4页练习2；
2．= ；
3．a、b、c为三角形的三条边，则 ________；
4.你能运用公式比较与的大小吗
5．当x= 时，代数式有最小值，其最小值是 ；
6．拓展提高：
（1）已知0＜x＜1，化简：－
（2）已知实数a满足，求的值.
四、小结：
1.二次根式的性质： ， ， ；
2．灵活运用二次根式的性质解题.
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.2二次根式的乘除（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．探究发现二次根式的乘法法则，并能利用法则进行乘法运算；
2. 掌握积的算术平方根的性质，并利用性质对二次根式进行化简；
3. 综合运用乘法法则和性质进行乘法运算。
【学习重点】二次根式的乘法；二次根式的化简．
【学习难点】灵活运用乘法法则和性质进行乘法运算和化简.
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本6-7页内容，并完成下列问题
1、探究 ⑴ 计算下列各式，观察计算结果：①×=______ ，=_______
② × =_______ ，=_______
③ × =_______ ， =_______
⑵ 仔细观察上题中的规律，猜想＝ (二次根式乘法法则)
再例举两个例子验证你的猜想： ；
2、计算：
× ＝ ；×＝ ；＝ ；＝
3、乘法公式反过来得到： ，
4、填空：⑴ ； ；
⑵请你用上述方法化简下列二次根式： ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ；
二、合作、交流、展示：
1.二次根式的乘法法则：＝ ，
注意：乘法法则成立的条件是： （为什么？）
2、积的算术平方根的性质（乘法法则的逆向运用）
注意：⑴性质成立的条件是： （为什么？） ⑵如何化简：？
3、例题1 计算： ⑴ ⑵ ⑶
例题2 化简：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【收获感悟】：如何进行二次根式的化简 ，
例题3 计算：⑴ ⑵ ⑶
三、巩固与应用
1、等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
2、下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8
B．5×4=20 C.5×2=10 D．
4、不改变式子的值，把根号外的数移到根号里面：
⑴ ； ⑵＝ ；⑶ －
5、比较下列两数的大小：⑴ ⑵ 7 ⑶
6、已知一个三角形的一条边长为，这条边上的高为，求这个三角形的面积.
7、计算：（1）6×（-2）； （2）；
8、（拓展）化简⑴ ⑵
四、小结：1．二次根式的乘法法则： ；
2.积的算术平方根的性质： ，
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.2二次根式的乘除（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简；
3. 会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化.
【学习重点】掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.
【学习难点】熟练进行二次根式的化简.
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
＝ ，
2、计算： （1）3×（-4） （2）
3、填空： （1）=____，=____； （2）=____，=____；
（3）=____，=____； （4）=____，=___．你能发现什么规律呢？
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
二次根式的除法法则 商的算术平方根的性质
4、计算：（1） （2）
5、化简：（1） （2） （3）
二、合作、交流、展示：
仿照课本例题利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质完成以下题目
1、计算： （1） （2） （3）
【温馨提示】：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简：（1） （2） （3）
3、计算：(1) （2） （3） （4）
【温馨提示】：数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
4、最简二次根式的定义
（1）被开方数不含 ； （2）被开方数中不含 ；
把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
三、巩固与应用
1判断以下各式中哪些是最简二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
2、化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
3、计算：
（1） （2） （3） （4）
四、小结：
1.二次根式的性质的除法法则___ _ _____。
2.商的算术平方根的性质___ ______。
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.3二次根式的加减（1）
班级： 姓名:
【学习目标】
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式；
2、理解和掌握二次根式加减法则．
【学习重点】二次根式化简为最简根式；
【学习难点】同类二次根式、最简二次根式的理解；
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本12-13页内容，并完成下列问题：
1、计算．（1）；（2）；（3）；（4）
2、计算下列各式．
（1）2+3 = （2）2-3+5 =
（3）+2+3 = （4）3-2+=
3、思考：3+=3+2= 3+= =
4、同类二次根式：几个二次根式化为 二次根式后，如果 相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5、判断下列式子是否为同类二次根式：
（1）2与；（2）与；（3）、、
6、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 二次根式进行合并．
二、合作、交流、展示：
例1．计算（1）+ （2）+
例2．计算（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）
(3) (4)
归纳：（1）将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；（2）将同类二次根式进行合并．
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
三、巩固与应用
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3、若则的值为( )
A、2； B、－2； C、； D、
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝______，b＝______．
5．计算：
（1） （2）
6、求值，其中x=，y=27．
四、小结：
1、同类二次根式： ；
2、二次根式的加减法步骤：（1） ，（2） ；
武汉市张家湾中学2014—2015学年度第二学期初二数学导学案
16.3二次根式的加减（2）
班级： 姓名:
【学习目标】
1、 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式；
2、 会进行二次根式的混合运算。
【学习重点】熟练进行二次根式的混合运算；
【学习难点】混合运算的顺序、乘法公式的综合运用；
【学习过程】
一、课前导学：学生自学课本14页内容，并完成下列问题：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是： ；
（2）二次根式的乘除法法则是： ；
（3）二次根式的加减法法则是：
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）·· （2） （3）
二、合作、交流、展示：
例1．计算：
（1）（）×；（2）；（3）；（4）
感悟：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
例2．计算： （1） （2）
（3） （4）（-）（--）
例3．所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，请观察：
反之，
∴ =-1
仿上例，求：（1）= （2）=
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
三、巩固与应用
1、计算：
（1） （2）
（3）（a>0,b>0）；（4）
2、已知，求的值。
3、计算：（1）； （2）
四、小结：
1、二次根式的运算顺序： ；
2、乘法公式：（1） ，（2） ；
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