2023~2024学年高二（上）期中考试
数
学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2。
最
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
铷
1椭圆系+黄-1的短轴长是
啟
A.7
B14
C9,年
D.18
9
2.若方程x2+y2+4x十2y一m=0表示一个圆，则m的取值范围是
长
A.(-∞，-5)
B.(-5,+∞)
C.(-∞，5)
D.(5,+o∞)
3.直线2x十2y一7=0的倾斜角为
A.135
B.45
C.120
D.60°
数
玉若双肩线，千一苦-1的离心率大于圆。的取位范国为
A.(-√3，w3)
B.(-3,3)
部
C.(-√2，w2)
D.(-2,2)1。
5.若A(2,2,1),B(0,0,1),C(2,0,0),则点A到直线BC的距离为
粗
A2V③0
30
B
D⑤
a5.
5》
6.过直线4x一3y-5=0上一点P作圆C:(x十3)2+(y一1)2=11的切线，Q为切点，则|PQ
的取值范围是
A[√2I,+∞)
B.[V6,+o∞)
C,[5,+oo)
D.[2,+∞)
7已知双曲线C若-苦=1(o>0,b>0)的右焦点为P,过F作双曲线C的其中-条渐近线1
的垂线，垂足为A(第一象限)，并与双曲线C交于点B,若范-BA,则1的斜率为
A.2
B.1
c
D-￥
8.已知实数x,y满足2x-y十2二0，则√(x-9)2+y+√+寸一4x一4y十8的最小值为
A3√13
B.10+√3
C.108
D117
【高西数学第页（共4页】
·24-127B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.已知50,3)是双曲线C兰-言-1(a>0)的上焦点，点P在C上，则
A.a=1
B.a=√17
C.|PF1的最小值为2
D.|PF|的最小值为4
10.在同一直角坐标系中，直线1：y=mx十1与曲线C:x2十my2=1的位置可能是
1.已知R,R:分别是椭圆E后+兰-1a>6>0)的左右焦点，P是箱圆E上一点，且PR
=青1PF,cos∠PF,R=号，则下列结论正确的有
A.椭圆E的离心率为号
B椭圆E的离心率为
C.PF⊥PF2
D.若△PFF2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
12.苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两
层等高的几何体，其中上层EFGH一NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正
方形，E,F,G,H在底面ABCD的投影分别为AD,AB,BC,CD的中点，若AF=√5，则下列
结论正确的有
图
A.该几何体的表面积为32十8√2+4√6
B.将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36π
C直线CP与平面ABF所成角的正弦值为写
D点M到平面BFG的距离为号
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，
13.已知点N是点M(3,3,4)在坐标平面Oxz内的射影，则O亦1=」
【高二数学第2页（共4页）】
24-127B2023~2024学年高二（上）期中考试
数学参考答案
1.B因为49<81，所以6=49，则6=7，故椭圆5+益-1的短轴长是14
2.B因为方程x2十y2+4x十2y一m=0表示一个圆，所以42十22十4m>0,解得m>-5.
3.A因为直线2x十2y-7=0的斜率为一1，所以直线2x十2y一7=0的倾斜角为135°.
4.C由题意得十告5>2.得一区
5.A=(2,20,B心=(2,0，-1D,则B在C上的投影向量的模为B贰C=,则点
A到直线BC的距离为、
BA-(BA BCI):230
BCI
5
6.C因为圆C的圆心C到直线4红-3y-5=0的距离d=一12_35=4，所以PQ的最
√/42+(-3)2
小值为√4一11=√5，所以PQ的取值范围是[W5,十∞).
7.B因为FB=Bi,所以B为线段AF的中点，则|BF=名.设双曲线C的左焦点为F1,则
IBF1=2a十台.在△BFF中，cos∠BFF,=BFEEBE
2 BF FF
E+4c2-(2a+9P
2=b
2×号×2c
,整理得4c2一4a2一2ab=2b2,即2ab=2b2,则a=b,故1的斜率
为1.
8.Ax2+y2-4x-4y十8=(x-2)2+(y-2)2,所以√(x-9)2+y2+√x2+y2-4x-4y十8
表示直线1：2x一y十2=0上一点到P(9,0),Q(2,2)两点距离之和的最小值.易知P,Q两点
y-0
21
x0一92
在1的同一侧，设点P关于l对称的点P'(xo,),则
解得
2×9-9+2=0,
2
x0=一7，
即P'(-7,8),故√(x-9)2十y+w√x2十y2-4x-4y+8≥|PQ|=
%=8,
√/(-7-2)2+(8-2)2=3√/13.
9.AC由a2十8=9，得a=1,则PF的最小值为3一1=2.
10.ABD若=1，则曲线C表示坐标原点为圆心，1为半径的圆，并且1与C相交于（一1,0），
(0,1)两点，A符合.若m>1,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，并且l与C相交，B符合，
C不符合.若0【高二数学·参考答案第1页（共5页）】
·24-127B·
时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，直线1经过第一、二、四象限，且1经过曲线C的右
顶点，D符合.
1.ACD由PF,+PF,=2a,PF1=号|PF,,解得PE=a,PF:=9a,则
COsPF:F,=PE2+FF:-PF2 4c-
4
3,整理得5a2+18ac-35c2=0,
3
2PF2FF2
24
即(a+5c)(5a一7c)=0,则a=-5c(舍去)或a=弓c,故椭圆E的离心率为号，A正确，B不
正确由a=名c,得|FF=2c=9a则1PR,+PF,2=F,F,,故PF,⊥PF,C正
确，由PF1PF,△PFR内切圆的半径为2，得2c=2a-4因为a=号c,所以c=5,即椭
圆E的焦距为10，D正确，
12.ACD因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且AF=√5，AB=4,所以点F到平面
ABCD的距离为1，FG=22,点P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为
V1P+(W2)2=3,则△ABF的面积为2×4X1=2,△BFG的面积为2×22X,3=6.
根据对称性可知，该几何体的表面积为4×4+4×2+4×√6+4×2√2×1+2√2×2√2=32
十8√2十4√6，A正确.将该几何体放置在一个球体内，要使该球体的体积最小，则球心在该
几何体上下底面中心所连直线上，且A,B,C,D,N,P,Q,M均在球面上，设球心到下底面
ABCD的距离为x,则(2√2)2十x2=22+(2-x)2,解得x=0,则该球体的半径为22，体积
为暂×(22)°-642，B不正确以A为坐标原点，建立如图所示的空
N-=-
3
间直角坐标系，则C(4,4,0),P(2,0,2),B(4,0,0),F(2,0,1),G(4,2,
1
1),M(2,4,2),C泸=(-2，-4,2)，Bi=(-2,0,1),BG=(0,2,1),
BM=（一2,4,2)，平面ABF的-个法向量为m=(0,1,0),则cos(C币，m)=。二=一Y9,故
2w6
直线CP与平面ABF所成角的正弦值为写，C正确，设平面BFG的法向量为n=(a1,
[一2x1十1=0
),则
2y+1=0,
令=1，得n=(1,一1,2)，则点M到平面BFG的距离为m·前
n
二2X1十4X-1)十2X2=8D正确
w√12+(-1)2+22
13.5由题可知N(3,0,4),则ON=(3,0,4),O1=√/32+4=5.
14.2V10菱形ABCD的面积为2×22×25=2√0.
【高二数学·参考答案第2页（共5页）】
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