2023-2024学年上期高二年级期中联考试题
数学学科
考试时间：120分钟分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然
后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）。在试题卷上作答无效。
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分。
1.若{a,6, 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（)
A.b+a,6,6-
B.a,a+b,a-b
C.a+b,a-b,c
D.a+b,a+b+c,c
2.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是(）
A.(2,-3)
B.(2,3)
C.(-3,2)
D.(3,2)
3.如图所示，三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,且OM=3MA,B丽=NC,
则M示=(
长
+6+
1
1,16
1
A.
B.-a+6+c
433
33
c.-3a+6+e
3
1元
D.二ā+b+C
4
2
2
4
2
妆
4.已知方程+卫
=1表示椭圆，则实数m的取值范围是(
2-m'm+1
A.(-1,2)
B.(-2u2)
c.42D.2到
5.直线：ax+3y+1=0,2:2x+(a-10y-1=0,若（∥12，则a的值为(
当
A.3
B.2
C.-3或2
D.3或-2
6.已知F,F是椭圆C:
兰+上=1的焦点，点M在C上，则IMCH,的最大
94
值为(
A.13
B.12
C.9
D.6
7.设直线/的方程为x-ysin0+2=0,则直线1的倾斜角a的范围是.(
)
A.[0,x]
B.
0
c片
D.)
高二数学试题卷第1页（共4页）
8.在直三棱柱ABC-ABC中，∠BCA=90°，D,F分别是AB,AC的中点，
BC=CA=CC,则BD与AF所成角的余弦值是.(
A.30
1
B.
c.30
2
D.5
10
15
10
二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得2
分，有选错的得0分。
9.已知空间向量ā、、c,下列命题中不正确的是(）
A.若向量a、共线，则向量ā、所在的直线平行
B.若向量a、b所在的直线为异面直线，则向量a、b一定不共面
C.若存在不全为0的实数x、y、z使得xa+yb+z=0,则ā、、c共面
D.对于空间的任意一个向量卫，总存在实数x、y、z使得节=xā+yb+zC
10.已知直线：(a+2)x-y+2a-3=0在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，则a的值可
能是(
B.0
3
C.
2
D.-2
11.已知直线mx-y+2m-1=0与曲线y=V1-x2有且仅有1个公共点，则m的取值
可能是(
A青
C.1
3
12.如图，棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为DD,BB的中点，则
(
D
A.直线FC与底面ABCD所成的角为30
B
B.平面ABE与底面ABCD夹角的余弦值为
3
C.直线FC与直线AE的距离为V
5
D.直线FC与平面AB,E的距离为
1
三、填空题：共5小题，每小题5分，共20分。
13.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oy内的射影，则OB.=
14.已知两条平行直线4：2x-7y-8=0,12:6x-21y-1=0,则1与间的距离为
高二数学试题卷第2页（共4页）2023—2024 学年上学期高二年级
期中联考试题
数学学科答案
1、C 2、 A. 3、C. 4、 B. 5、 A. 6、C. 7、C. 8、 A.
9、ABD 10、AC 11、ABD 12、BCD
23
13、5 14、 53. 15、 2 2 16、8 ； 12 （第一空 2 分，第二空 3 分）
159
17、（本题共 10分）
【答案】
解： (1) a b 0 ， a2 = 2，b2 =1，焦点在 x轴上，
c2 = a2 b2 = 2 1=1， c =1，……………………………………………………2分
F1( 1,0) ， F2 (1,0)，
3 3
2a = (1+1)2 + ( )2 + (1 1)2 + ( )2 ， a = 2 ，……………………………3分
2 2
b 2 = a 2 c2 = 22 12 = 3，……………………………………………………4分
x2 y2
+ =1;……………………………………………………5分
4 3
x2 y2
(2) 设所求椭圆的标准方程为 + =1，
m n
（m 0, n 0,且m n）……………………………………………7分
1
4
+
2 =1
m n
将 A，B两点坐标代入得 ，
3
2
+ 4 =1
m n
解得m = 8,n =1，……………………………………………………9分
x2
故所求椭圆的标准方程为 + y2 =1. ……………………………………………………10分
8
18、（本题共12分）
【答案】
1
{#{QQABbYQQogAgQAAAAAgCEwHACgOQkBECAKoGgBAMMAABABFABAA=}#}
x2
解：椭圆 + y2 =1的左焦点 F1( 1,0)，
2
倾斜角为 60 的直线 l 的斜率为： k = 3 ，
则直线 l 的方程为： y = 3x + 3 ，……………………………………………………3分
设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，
x2 2
+ y =1
联立 2 ，
y = 3x + 3
消去 y，整理得 7x2 +12x + 4 = 0 ，……………………………………………………6分
12 4
所以 x1 + x2 = ， x1x2 = ，……………………………………………………8分
7 7
2 2 32
又 (x1 x2 ) = (x1 + x2 ) 4x1x2 = ，…………………………………………………10分
49
y1 y2 = 3x1 + 3 ( 3x2 + 3) = 3 (x1 x2 )，
2 2 8 2
所以 | AB |= (x1 x ) + ( y y ) = 1+ 3 x x = . ………………………12分 2 1 2 1 2
7
19、（本题共 12分）
【答案】
解：设动圆圆心为 M (x, y) ，半径为 R，
设圆 x2 + y2 + 6x + 5 = 0的圆心为O ，圆 x2 21 + y 6x 91= 0 的圆心为O2 ，
将圆的方程分别配方得： (x + 3)2 + y2 = 4 ， (x 3)2 + y2 =100 ，………………………3分
当动圆与圆O1 相外切时，有 | O1M |= R + 2 ①
当动圆同时与圆O2 相内切时，有 | O2M |=10 R ②………………………5分
将①②两式相加，得 | O1M | + | O2M |=12 | O1O2 |= 6，………………………7分
动圆圆心 M (x, y) 到点O1( 3,0) 和O2 (3,0) 的距离和是常数 12，
所以点 M 的轨迹是焦点为点O1( 3,0) 、O2 (3,0) ，长轴长等于 12 的椭圆.
c = 3， 2a =12 ， a = 6 ，………………………10分
b2 = 36 9 = 27 ，
2
{#{QQABbYQQogAgQAAAAAgCEwHACgOQkBECAKoGgBAMMAABABFABAA=}#}
x2 y2
圆心轨迹方程为 + =1. ………………………12分
36 27
20、（ 本题共 12分）
【答案】
1 5 1
解： (1)由题意可得边 AC 上的高 BH 所在直线方程为 y = x 即 k = ，
2 2 2
所以直线 AC 边所在的直线的斜率为 2 ，………………………1分
则设它的方程为 y = 2x + b ，代入 A(5,1) ，可得b =11，
即 2x + y 11= 0 ，………………………3分
点 C在中线 CM所在直线方程为 y = 2x 5上，
y = 2x +11 x = 4
所以联立方程组并求解：解方程组 ，解得 ，
y = 2x 5 y = 3
故 C点坐标为 (4,3)………………………5分
m + 5 n +1
(2) 设 B(m,n) ，则M , ，………………………6分
2 2
1 5
把 M 的坐标代入直线方程为 y = 2x 5，把点 B 的坐标代入 y = x ，
2 2
n +1 m + 5
= 2 5 2 2
可得 ，………………………8分
1 5n = m
2 2
m = 1 3 ( 3) 6
解得 ，故点 B ( 1, 3)，故直线 BC斜率为 = ，……………10分
n = 3 4 ( 1) 5
6
设直线 BC的方程为 y = x + p ，
5
9 6 9
代入 B ( 1, 3)，可得 p = ，整理，得 y = x . ………………………12分
5 5 5
21、（本题共 12分）
【答案】
(1)证明：直线 l 的方程可化为 (2x + y 7)m + (x + y 4) = 0，………………………2分
2x + y 7 = 0 x = 3
联立 ，解得 ，
x + y 4 = 0 y =1
所以直线恒过定点 P(3,1) ………………………4分
(2) 解：直线 l 恒过圆 C 内一点 P，所以当直线 l 过圆心 C 时，被截得的弦长最长，为圆的直
径．………………………5 分
3
{#{QQABbYQQogAgQAAAAAgCEwHACgOQkBECAKoGgBAMMAABABFABAA=}#}
当直线 l ⊥ CP 时，直线被圆截得的弦长最短，………………………6分
2m +1
直线 l的斜率为 k = ，
m +1
1 2 1
由C(1,2) ， P(3,1) 知 kCP = = ，
3 1 2
2m +1 1
由 ( ) = 1，
m +1 2
3
解得m = ，………………………8分
4
此时直线 l的方程是 2x y 5 = 0.
圆心C(1,2) 到直线 2x y 5 = 0 的距离为
| 2 2 5 |
d = = 5 ，………………………10分
5
所以最短弦长为 2 r2 d 2 = 2 25 5 = 4 5 ，
3
故直线 l 被圆 C截得的弦长最短时，m = ，最短长度是 4 5. ………………………12分
4
22、（本题共 12分）
【答案】
(1)证明：取 BC 的中点，连接 AO， A1O ，
AB = AC = 2，D 是 B1C1 的中点. A1D ⊥ B1C1 ，
BC // B1C1 ， A1D ⊥ BC ，
因为 A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，所以 A1O ⊥面 ABC，………………………2分
又面 ABC / / 面 A1B1C1，所以 A1O ⊥面 A1B1C1，
又 A1D 面 A AO ⊥ A1B1C1，所以 1 1D ，
因为 A1O BC = O ，所以 A1D ⊥平面 A1BC; ………………………4分
(2) 解：
4
{#{QQABbYQQogAgQAAAAAgCEwHACgOQkBECAKoGgBAMMAABABFABAA=}#}
如图，以 O 为坐标原点，以 OA、OB、OA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系，
则 BC = 2AC = 2 2 ， A1O = AA
2 AO2 = 14 ， 1
则 A1(0,0, 14) ， A( 2,0,0) ，C(0, 2,0) ， B(0, 2,0) ， D( 2,0, 14)， B1( 2, 2, 14) ，
A D = ( 2,0,0)， BD = ( 2, 2, 14) ，………………………6分 1
设平面 A BD 的法向量为m = (x, y, z)1 ，
m A1D = 0 2x = 0
则 ，得 ，
m BD = 0 2x 2y + 14z = 0
取 z =1，得m = (0, 7,1)，………………………8分
因为 A1O ⊥面 A1DB1 ，所以OA = (0,0, 14)即为平面 A1DB1 的一个法向量， 1
14 2
则 cos(m,OA1) = = ，………………………10分
14 2 2 4
2 14
所以二面角 A1 BD B1的平面角的余弦值为 ，正弦值为 ，
4 4
故二面角 A1 BD B1的平面角的正切值 7 ………………………12分
5
{#{QQABbYQQogAgQAAAAAgCEwHACgOQkBECAKoGgBAMMAABABFABAA=}#}
