2023-2024 学年上期期中考试
高中二年级数学试题参考答案及评分标准
一、二选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B C B C B BCD BC AC BC
三、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13. 4 14. 4 15. 1 16. y 3x
四、解答题（第 17 题 10 分，第 18、19、20、21、22 题每小题 12 分，共 70 分）
17.解：设直线 l的倾斜角为 (0 ) ………………1分
cos 2 5 tan 1 ， ………………2分
5 2
直线 l过点 A(1, 4)
l y 4 1 直线 的方程为 (x 1)，即 x 2y 9 0 ………………4分
2
直线 l1与 l平行
1
可设直线 l1的方程为 y x m ………………5分2
令 y 0得 x 2m，令 x 0得 y m ………………6分
1
故三角形的面积 S 2m m 1
2
m2 1，解得m 1 ………………8分
1 1
∴直线 l1的方程是 y x 1或 y x 12 2
即直线 l1的方程是 x 2y 2 0或 x 2y 2 0 ………………10分
x2 y2 b
18. 解：（1）双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y x， ………………1分a b a
2
将点 2, 3 b代入得 y x b 3，于是a a2 ， ………………3分4
2
2 2 2 c a
2 3 c2 7
因为 c a b ，所以 ，得 ， ………………5分
a2 4 a2 4
所以双曲线的离心率 e c 7 . ………………6分
a 2
（2）抛物线 y2 4 7x的准线为 x 7 . ………………8分
因为双曲线的一个焦点在抛物线 y2 4 7x的准线上，所以 c 7， ………………9分
c2 7
又因为 ，所以 a22 4， b
2 3， ………………11分
a 4
高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 1页 共 4页
{#{QQABTYaQggCgQBAAAQhCAwUgCAGQkAGCCIoGhBAEIAABgRNABAA=}#}
x2 y2
故双曲线的方程为 1 . ………………12分
4 3
1
19.（1）证明：取 PC上一点Q，使 PQ PC，连接MQ、BQ， ………………1分
4
1 1
由题知 PM PD，所以MQ //CD，MQ CD． ………………2分
4 4
1
又因为 AB//CD， AB CD，所以 AB//MQ， AB MQ， ………………3分
4
所以四边形 ABQM 为平行四边形，所以 AM //BQ． ………………4分
因为 AM 平面 PBC， BQ 平面 PBC， ………………5分
所以直线 AM //平面 PBC． ………………6分
（2）解：因为PD 平面 ABCD， AD CD，
以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以D 0,0,0 、 A 3,0,0 、 B 3,1,0 、C 0, 4,0 、P 0,0,4 ， ………………7分
设平面PBC的法向量为 n x, y, z ，CB 3, 3,0 ，CP 0, 4, 4 ，
n CB 3x 3y 0
则 ，取 y 1，则 n 3,1,1 ， ………………9分
n CP 4y 4z 0
易知平面BCD的一个法向量为m 0,0,1 ， ………………10分
cos m, n m n 1 5所以， 分
m n 5 5 . ………………12
由图可知，二面角 P BC D的平面角为锐角，故二面角 P BC D 5的余弦值为 .
5
1
20. 解：（Ⅰ）由题意，过M 点的直径所在直线方程为 y 3 x 1 ………………2分
3
y 3
1
x 1
3 x 4
解得 ， ∴圆心坐标为 4,2 1 ………………4分 y x y 2
2
r 2 2 2半径 4 1 2 3 10 ………………5分
2 2
∴圆C的方程为 x 4 y 2 10 ………………6分
（Ⅱ） ∵以MN为直径的圆过原点，∴OM ON ………………7分
又 kOM 3 ∴ k
1
ON ………………8分3
1
∴直线ON方程为 y x ………………9分
3
高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 2页 共 4页
{#{QQABTYaQggCgQBAAAQhCAwUgCAGQkAGCCIoGhBAEIAABgRNABAA=}#}
y 1 x
由 3 ，可得N点坐标为 3, 1 ………………11分
x 4 2 2 y 2 10
MN y 1 x 3∴ 直线 方程为
3 1 1 3
即直线 l的方程为 y 2x 5 ………………12分
21. 解：（1）因为平面 ABCD是菱形，所以 AC BD，
又因为OP 底面 ABCD，且 AC,BD 面 ABCD，所以OP AC，OP BD，
所以 AC， BD，OP两两垂直，
以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在的直线分别为 x轴、 y轴和 z轴，建立空间直角坐标系O ABP，
如图所示： ………………1分
因为OA 4，OB 3，OP 4，则 A(4,0,0),B(0,3,0),C( 4,0,0),D(0, 3,0),P(0,0, 4)
所以 PA (4,0, 4),DB (0,6,0),PC ( 4,0, 4),BP (0, 3, 4)，
又因为PM 1 MC，
2
1 4 4 4 8
所以 PM PC ( , 0, ),BM BP PM ( , 3, )， ………………3分
3 3 3 3 3
r n DB 6y 0
设平面 BDM 的法向量 n x, y, z ，则 ，
n BM
4 8
x 3y z 0
3 3
取 x 2，可得 y 0, z 1
，所以 n 2,0,1 ， ………………5分
设直线 PA与平面 BDM 所成角为 ，
PA n
所以 sin cos PA, n
4 10
，
PA n 4 2 5 10
10
所以直线 PA与平面BDM 所成角的正弦值为 .………………6分
10
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得OP (0,0, 4)， ………………7分
可得 cos OP, n
OP n 4 5
4 5 5 ， ………………9分OP n
所以OP与平面 BDM 5所成角的正弦值为 ， ………………10分
5
则 P到平面 BDM 5 4 5的距离 d OP .………………12分
5 5
b 2
22. 解：（Ⅰ）由题可知 F (c,0),M (0,b)，则 ① ………………1分
c 2
x y
又直线 FM 的方程为 1，即bx cy bc 0 ………………2分
c b
高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 3页 共 4页
{#{QQABTYaQggCgQBAAAQhCAwUgCAGQkAGCCIoGhBAEIAABgRNABAA=}#}
bc 6
② ………………3分
b2 c2 3
联立①②解得：b 1,c 2 .………………4分
又 a2 b2 c2 1 2 3 ………………5分
x2
2椭圆C的标准方程为 y 1 ………………6分
3
（Ⅱ）因为直线 l： y kx m(k 0,m 0) 2与圆 x y2 1相切
m 2 2
所以 1，即m 1 k ………………7分
1 k 2
设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )
x2
y2 1
联立 3 得： (3k 2 1)x2 6kmx 3(m2 1) 0，
y kx m
36k 2m2 12(3k 2 2 2 2所以 1)(m 1) 12(3k m 1) 24k 2 0
x x 6km , x x 3(m
2 1)
则由根与系数的关系可得： 1 2 2 1 2 ………………9分3k 1 3k 2 1
AB 1 k 2 ( 6km )2 4 3(m
2 1) 2 3 1 k 2
所以 2 3k
2 1 m2
3k 1 3k 2 1 3k 2 1
又m2 1 k 2 ,
所以 AB 2 6mk
3k 2
.………………10分
1
因为点 A,B在椭圆上
2
AF (x 2)2 y 2所以 (x 2)2 (1 x 11 1 1 ) 3
6
x1( 3 x 3)，3 3 1
同理 BF 3 6 x2 ………………11分3
AF BF 2 3 6 2 6mk所以 (x1 x2 ) 2 3 2 ，所以 AB AF BF 2 33 3k 1
故 ABF的周长为定值 2 3 . ………………12分
高中二年级上期期中考试数学试题参考答案 第 4页 共 4页
{#{QQABTYaQggCgQBAAAQhCAwUgCAGQkAGCCIoGhBAEIAABgRNABAA=}#}中牟县2023-2024学年上期期中考试
高中二年级数学试题
考试须知：1.试卷分1、‖卷，共四大题22小题；2.满分150分，答题时间120分钟.
最
第！卷（选择题
共60分)
一、
单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.请将每小题四个选项中唯一正
郑
确的答案填在答题卷的相应位置上，)
蜘
1.已知直线1经过两点，直线1的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是(
A.0
B.1
C.-2
D.不存在
2.如图，E,F分别是长方体ABCD一ABCD的棱AB,CD的中点，下列结论正确的是(
的
A.
AA-CB=AD
B.A4+4B+BC=CA
C.AB-AD+B'D'=EC
D.AB+CF=AF
长
3.
若点P(x,)满足方程Vx-12+0y-22=
3x+4y+12
则点P的轨迹是(
5
尽
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
区
4双曲线女少
a
=1过点(V5,),离心率为2，则该双曲线的标准方程为()
A.
3y2=1
C.
D.
2y=1
23
32
5.当方程x2+y2-2-4y+2k2-4k-10=0所表示的圆取最大面积时，圆心到直线
尽
1:x+y-2=0的距离为()
蝶
A.25
2
B.
c.√2
D.2W2
2
浆
6.已知点A(0,0,2),B(-1,1,2),C1,1,0),则点A到直线BC的距离是()
6
36
A.
B.
C.
5
5
D.
3
2
2
高二数学期中试题卷
第1页共4页
7己知椭圆C:女+y2
a+=1a>b>0)的左右焦点分别为为F,R,直线I过点R,且与椭圆交
64W3
于A,B两点，若△ABF的周长为40，∠FAF=60°，△FAF2的面积为
则椭圆的焦
距为()
A.8
B.10
C.12
D.14
8.将地球看作半径为rm的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于xOoy
平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧ASB，是
0度经线)位于x0z平面上，且交x轴于点S(,0,0).已知赤道上一点
15
E(r,2
r,0)位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空
2
间点P的横坐标约为()（结果保留整数，参考数值：r≈6.371，√2≈1.41，V3≈1.73，V6≈2.45.）
A.-2755
B.2755
C.-2246
D.2246
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分.)
9.已知平面x过点A(1,-1,2),其法向量元=(2，-1,2)，则下列点不在内的是（)
A.(2,3,3)
B.(3,-3,4)
C.(-1,2,0)
D.(-2,0,1)
10.若直线l:x-y+k=0与曲线C:V1-(x-1)2=y-1有两个不同的交点，
则实数k的值
3
可以是()
A.
B.1
c.
6
11.己知焦点在x轴上的椭圆C:
父+y-1的离心率为2
F1,F2分别为C的左右焦点，
m 1-m
2
P为C上一动点，则()
A.焦距为2v3
B.左顶点为(-V2,0)
3
C.ARPF,的面积的最大值为子
D.满足AR,PP2的面积为Y3的点P恰有2个
5
6
高二数学期中试题卷第2页共4页
