《16.2 二次根式的乘除》同步测试（第1课时）
湖北省赤壁市教研室 来小静
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
?
1．化简的结果是( )．
?
A． ? ?B．??? ????? C． ? ?????D．
?
考查目的：考查二次根式的乘法法则．
?
答案：A．
?
解析：，故答案应选择A．
?
2．等式成立的条件是( )．
?
A．? B． ????? C．? ???? D．
?
考查目的：考查二次根式的双重非负性和乘法法则．
?
答案：A．
?
解析：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是，解得．故答案应选择A．
?
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )．
?
A．? B． ????? C．?? ???? D．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念．
?
答案：C．
?
解析：最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式；D选项中的被开方数含开得尽方的因式．故答案应选择C．
?
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
?
4．计算：
?
（1）???????????? ；? （2）???????????? ；
?
考查目的：考查二次根式的乘法法则．
?
答案：（1）36；（2）．
?
解析：（1）；
?
???? （2）．
?
5． 若，则化简的结果为?????????????? ．
?
考查目的：考查绝对值的意义，二次根式的概念．
?
答案：．
?
解析：因为，即，根据绝对值的意义可知，．于是．
?
????? 所以．
?
6．将根号外的数移入根号内并化简：
?
（1）???????????????? ；?? （2）=???????????????? ．
?
考查目的：考查二次根式的概念及乘法法则．
?
答案：（1）；???? （2）．
?
解析：（1）根据二次根式的概念，若有意义，则有，
?
于是，．
?
（2）易知，于是．
?
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
?
7．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．
?
考查目的：考查二次根式的乘法法则在实际问题中的应用．
?
答案：．
?
解析：因为长方形面积为，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是，所以．
?
8．（1）试比较与的大小；
?
? （2）你能比较与的大小吗？其中k为正整数．
?
考查目的：考查二次根式的运算法则、分母有理化以及实数比较大小．
?
答案：（1）＜；（2）＜．
?
解析：（1），
?
????????? ，
?
????????? 故＜．
?
???? （2），
?
???????? ，
?
???????? 故＜．
《16.2 二次根式的乘除》同步测试（第2课时）
湖北省赤壁市教研室 来小静
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
?
1．下列根式中，最简二次根式是( )．
?
A． ?????? ?B．??? ????????????? C．? ???????? D．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念．
?
答案：D．
?
解析：最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式．只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D．
?
2．等式成立的条件是( )．
?
A．a、b同号 ?? B．?? ????? C． ???? D．
?
考查目的：考查二次根式的双重非负性和除法法则．
?
答案：B．
?
解析：由二次根式的非负性可知，，由于b是分母，故．答案应选择B．
?
3．若则等式成立的条件是( )．
?
A．? B． ????? C． ???? D．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念．
?
答案：B．
?
解析： 由知a、b异号．由知，于是．故答案应选择B．
?
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
?
4．计算：
?
（1）???????????? ； ?（2）???????????? ；
?
考查目的：考查二次根式的除法法则．
?
答案：（1）；（2）．
?
解析：（1）；
?
???? （2）．
?5． 将分母中的根号去掉：（1）?????? ??????；（2）???????????? ．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念及二次根式的除法法则．
?
答案：（1）；（2）．
?
解析：（1）；（2）．
?
6．化简：????????????? ．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念及除法法则．
?
答案：．
?
解析：由，可知，，即，于是，．
?
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
?
7．若x、y为实数，且，求的值．
?
考查目的：考查二次根式的性质和除法法则．
?
答案：．
?
解析：根据二次根式的非负性可知，于是，又，故，易得．则．
?
8． 计算：（1）；??????????????????? （2）；?????
?
（3）；???????????????? （4） ．
?
考查目的：考查最简二次根式的概念及除法法则．
?
答案：（1）10；（2）．
?
解析：（1）
?
（2）=．
《16.2 二次根式的乘除》教学设计（第1课时）
湖北省赤壁市教研室 来小静
一、内容和内容解析
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1．内容
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二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式．
?
2．内容解析
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二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务．本节研究二次根式的乘法运算．运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则．
?
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
?
二、目标和目标解析
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1．教学目标
?
（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；
?
（2）会用公式化简二次根式．
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2．目标解析
?
（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；
?
（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式．
?
三、教学问题诊断分析
?
本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难．运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气．，培养学生良好的运算习惯．
?
在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．
?
本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简．
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四、教学过程设计
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1．复习引入，探究新知
?
我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除．本节课先学习二次根式的乘法．
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问题1 什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？
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师生活动 学生回答．
?
【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质．
?
问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
?
师生活动 学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容．
?
【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则．要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识．
?
2．观察比较，理解法则
?
问题3 简单的根式运算．
?
师生活动 学生动手操作，教师检验．
?
问题4 成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？
?
师生活动? 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质．
?
【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况．乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力．
?
?3．例题示范，学会应用
?
例1 化简：（1）；?? （2）．
?
师生活动 提问：你是怎么理解例（1）的？
?
如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？
?
师生合作回答上述问题．对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外．
?
再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？
?
【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向．积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．
?
例2 计算：（1）； （2）； （3）
?
师生活动 学生计算，教师检验．
?
（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解；
?
（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的．对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；
?
（3）例（3）的运算是选学内容．让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算．本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外．
?
【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算．让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用．
?
教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号．可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题．
?
4．巩固概念，学以致用
?
练习：教科书第7页练习第1题． 第10页习题16．2第1题．
?
【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况．
?
5．归纳小结，反思提高
?
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
?
（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？
?
（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？
?
（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？
?
6．布置作业：教科书第7页第2、3题．习题16．2第1，6题．
?
五、目标检测设计
?
1．下列各式中，一定能成立的是（???? ）
?
?? A．??????? B．
?
?? C．??????? D．
?
【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础．
?
2．化简 ______________________________．
?
【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式．
?
3．已知，化简二次根式的结果是（ ）
?
A．????? B． ?????C．????? D．
?
【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式．
《16.2 二次根式的乘除》教学设计（第2课时）
湖北省赤壁市教研室 来小静
一、内容和内容解析
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1．内容
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二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
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2．内容解析
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二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础．
?
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式．
?
二、目标和目标解析
?
1．教学目标
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（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
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（2）会进行简单的二次根式的除法运算；
?
（3）理解最简二次根式的概念．
?
2．目标解析
?
（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；
?
（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算．
?
?(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式．
?
三、教学问题诊断分析
?
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行．二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算．教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向．
?
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用．
?
四、教学过程设计
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1．复习提问，探究规律
?
问题1 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
?
师生活动 学生回答。
?
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．
?
2．观察思考，理解法则
?
问题2 教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
?
师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：
?
．
?
问题3 对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
?
师生活动 学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了．
?
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误．
?
问题4? 对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
?
师生活动? 学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数．
?
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算．
?
问题5? 对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
?
师生活动? 学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即．利用该性质可以进行二次根式的化简．
?
3．例题示范，学会应用
?
例1? 计算： （1）；? （2）；?? （3）．
?
师生活动 提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？
?
再提问：第（2）用什么方法计算更简捷？第（3）题根号下含字母在移出根号时应注意什么？
?
【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能，
?
问题5 你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？
?
师生活动 学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：
?
（1）这些根式的被开方数都不含分母；
?
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
?
（3）分母中不含根号；
?
【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．
?
问题6 课件展示一组二次根式的计算、化简题．
?
【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算．
?
4．巩固概念，学以致用
?
例2 ?教材第9页例7．
?
师生活动 提问? 本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的除法运算在此发挥什么作用？
?
再提问? 章引言中的问题现在能解决了吗？
?
【设计意图】巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。
?
5．归纳小结，反思提高
?
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：
?
（1）除法运算的法则如何？对等式中字母的取值范围有何要求？
?
（2）你能说明最简二次根式需要满足的条件吗？
?
6．布置作业：教科书第10页练习第1，2，3题；
?
教科书习题16．2第10，11题．
?
五、目标检测设计
?
1．在、、中，最简二次根式为??????????????? ．
?
【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解．
?
2．化简下列各式为最简二次根式：???????? ；??????? ．
?
【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质．鼓励学生用不同方法进行计算．对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算．
?
3．化简：（1）；?? （2）．
?
【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算．
课件14张PPT。第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 （第1课时）湖北省赤壁市教研室 来小静八年级 下册复习1.什么叫二次根式？
式子 叫做二次根式.
2.二次根式的基本性质:二次根式的双重非负性：引入 由算术平方根的意义可知， ， ， …都是实数.当 取某个非负数值时， 就是这个非负数的算术平方根，也是一个实数.既然是实数，就应该可进行四则运算，那么其运算满足怎样的运算法则？如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？就是我们要讨论的问题.
探究计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？二次根式的乘法法则是即：两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根.应用（1）例1 计算：思考二次根式的乘法法则反过来，就得到例2 化简：.这样运算的作用： 化简二次根式 可以看作公式
在 时的特殊情形
应用（2）例3 计算：应用（2）归纳1.类比整式的乘法法则,二次根式的乘法法则适用于两个以上的二次根式的乘法.2.被开方数是积的形式才能逆用公式进行化简.若是多项式,也应尽量化为完全平方数(式)与整数(式)的积的形式.3.开得尽方的因数或因式移出根号外时要确认符号为正和指数减半.巩固练习练习1.计算: 注意：
1.二次根式的乘法与整式的乘法一样，运算时应先处理符号.可以先化简后计算，也可以先计算后化简.2.计算时应特别注意算术平方根的意义.巩固练习练习2. 化简：注意：根号下不是积的形式时，应先将其化为几个因式的积，再利用乘法公式进行化简.课堂小结一、本节课的主要内容是什么？（二）积的算术平方根的性质：.（三）化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成完全平方数.课堂小结二、运用二次根式的乘法法则的关键问题是什么？三、本节课涉及的思想方法有哪些？作业1.书面作业：教材P7 第2、3题；
习题16.2第1、6题.2.课外思考：课件15张PPT。第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 （第2课时）湖北省赤壁市教研室 来小静八年级 下册复习提问1.二次根式的乘法法则：即：两个非负数算术平方根的积等于这两个数积 的算术平方根.乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？2.乘法公式的逆用：有何作用？即：积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.探究（1）计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？探究（1）二次根式的除法法则是：.即：商的算术平方根等于算术平方根的商.二次根式的除法法则是类比乘法法则，采用由特殊到一般的方法归纳得出的.应用（1）例1 计算：运算结果中应不含能开得尽方的因数或因式.探究（2）把二次根式的除法法则反过来，就得到：，利用它可以进行二次根式的化简.例2 化简：应用（2）例3 计算： 先用除法法则运算，再用性质 去掉分母中的根号利用分式的基本性质和公式
去掉分母中的根号
应用（2）利用第（1）题中解法2的方法去掉分母中的根号.二次根式的运算中，最后结果分母一般不含二次根式.应用（2）例4 计算： 被开方数为带分数的先化为假分数再进行运算应用（2）如果根号前有系数，就把系数相除，作为商的系数.最简二次根式上述几个例题中运算的最后结果，都有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 说明：二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.应用 例5 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S= ，b= ，求a.解：因为S=ab，所以.注意本题中去掉分母中的根号的方法，是否还有其他方法呢？应用 那么它们试化简该式.利用除法法则，分式的性质和二次根式的性质对代数式进行化简，从结果来看，这个比与地球半径无关，简化了解决问题的步骤.课堂小结一、本节课的主要内容是什么？二、运用二次根式的除法法则的关键问题是什么？四、本节课涉及的思想方法有哪些？三、学习最简二次根式有何意义？作业布置二、课外思考：化简：一、书面作业：教材P10 练习第2题；
习题16.2第8、11题.
