《16.1 二次根式》同步测试（第1课时）
湖北省通山县教育局教研室 袁观六
一、精心选一选
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1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
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A.??????????? B.???????????? C.????????? D.
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分析：根据二次根式的定义：一般地，形如（≥0）的式子叫做二次根式，故选C．
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答案：C．
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点评：本题主要考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．
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2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
?
A. ???????????B. ≥1?????????? C.????????? D. ≥
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分析：由≥0，得 ≥．故选D．
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答案：D．
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点评：本题主要考查二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
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3. 已知，则的值为（ ）
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A. ????????????????B. 1??? ??????????C.???? ?????????D.
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分析：由≥0，≥0，且，可知，，得，，．故选A．
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答案：A．
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点评：本题主要考查了二次根式的非负性和一个数的平方的非负性，解题时要注意：若两个或两个以上的非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0．
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二、细心填一填
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4. 当??? 时，二次根式无意义．
?
分析：根据二次根式的概念，若二次根式无意义，则，所以．
?
答案：．
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点评：本题主要考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．
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5.小红说：“因为，所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？?? （填对或错）．
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分析：根据二次根式的的定义：一般地，形如（≥0）的式子叫做二次根式，可知小红的说法是错误的．
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答案：错．
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点评：本题主要考查二次根式的概念．一个式子是否为二次根式，从形式看，必须含有“”，且根指数为2．对于某个式子是否为二次根式的判别，必须在没有化简的前提下进行，看是否符合它形的特征．
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6.当??? 时，二次根式有最小值，其最小值是???? ．
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分析：根据二次根式的意义，可知≥0，得≥．当时，二次根式取得最小值为0．
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答案：，0．
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点评：本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．
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三、专心解一解
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7.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．
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分析：根据二次根式的被开方数是非负数，一个式子的分母不能为0，可知应满足≥0，且，得≥且．
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答案：小慧的想法正确．由≥0，且，得≥且．
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点评：本题主要考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．
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8. 已知一个圆锥的体积为，高为3，求它的底面半径（用含的式子表示）．
?
分析：根据圆锥的体积公式，可得．
?
答案：由，得．
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点评：本题主要考查用二次根式表示实际数量的能力，体会研究二次根式是实际的需要．
《16.1 二次根式》同步测试（第2课时）
湖北省通山县教育局教研室 袁观六
一、精心选一选
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1. 下列运算正确的是（ ）
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A.??? ?B.????? ?C.???? ?D.
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分析：根据二次根式的性质（≥0），（≥0），可知A正确.故选A．
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答案：A．
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点评：本题主要考查二次根式的性质．
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2. 下列四个数中，负数是（ ）
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A.???????????? B.???????????? C.?????????? D.
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分析：根据绝对值的性质，乘方的定义，二次根式的性质，可知，，，．故选C．
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答案：C．
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点评：本题主要考查了绝对值的性质，乘方的定义，二次根式的性质，先化简是判断正、负数的关键．
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3.若，则的取值范围是（ ）
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A. ?????B.≤??? C.?????? D. ≥
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分析：由≥0，可知≤．故选B．
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答案：B．
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点评：本题主要考查了一个非负数的算术平方根为非负数的性质，知道≥0是解题的关键．
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二、细心填一填
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4. 若，则? ?．
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分析：在中，由于的取值范围为任意实数，所以根据二次根式的性质可得．
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答案：．
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点评：本题主要考查二次根式性质的灵活运用，解题的关键是考虑问题要全面．
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5. 如果，为实数，且，则的值为????? ．
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分析：由≥0，≥0，且，可知，，得，，所以．
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答案：1．
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点评：本题主要考查二次根式的非负性.解题时要注意：若两个或两个以上的非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0．
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6.已知是正整数，则实数的最大值为?????? ．
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分析：由是正整数，可知，且是一个完全平方数，得的最大值为11．
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答案：11．
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点评：本题主要考查二次根式的意义和性质的灵活运用，有一定的难度，关键是要明确解题的思路.
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三、专心解一解
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7.计算：
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（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
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分析：根据二次根式的性质（≥0），（≥0），，可得出答案．
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答案：（1）；（2）；（3）；
?
（4）；（5）；
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（6）．
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点评：本题主要考查学生对二次根式性质的掌握情况，培养学生正确化简二次根式的能力．
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8.把（≥0）反过来，就得到（≥0）．请利用它把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式．
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（1）3；（2）7；（3）；（4）0.5
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分析：根据（≥0），很容易得到答案．
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答案：（1）；（2）；（3）；（4）．
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点评：本题主要考查学生逆向思维能力，在数学学习中这是一种重要的能力．
《16.1 二次根式》教学设计案例（第1课时）
湖北省通山县教育局教研室 袁观六
一、内容和内容解析
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1．内容
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二次根式的概念.
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2．内容解析
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本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
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教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
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本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；
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二、目标和目标解析
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1.教学目标
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（1）体会研究二次根式是实际的需要．
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（2）了解二次根式的概念．
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2. 教学目标解析
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（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．
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（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．
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三、教学问题诊断分析
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对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.
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本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.
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四、教学过程设计
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1．创设情境，提出问题
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问题1你能用带有根号的的式子填空吗？
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（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
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（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．
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（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=? _____．
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师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.
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【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
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问题2 ?上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
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师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
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【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．
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2．抽象概括，形成概念
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问题3? 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
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师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
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【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．
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追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
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师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
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【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．
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3．辨析概念，应用巩固
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例1? 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？
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师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．
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例2? 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
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师生活动:先让学生独立思考，再追问．
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【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．
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问题4 你能比较与0的大小吗？
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师生活动：通过分 和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，
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【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.
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4．综合运用，巩固提高
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练习1? 完成教科书第3页的练习.
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练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.
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（1）；（2）；（3）；（4）.
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【设计意图】 辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.
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【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.
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5．总结反思
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教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
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（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
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（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
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（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
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师生活动：教师引导，学生小结.
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【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.
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?6．布置作业：
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教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．
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五、目标检测设计
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1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
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A.??????????? B.???????????? C.????????? D.
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【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．
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2. 当??? 时，二次根式无意义．
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【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．
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3.当??? 时，二次根式有最小值，其最小值是???? ．
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【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．
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4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．
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【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．
《16.1 二次根式》教学设计案例（第2课时）
湖北省通山县教育局教研室 袁观六
一、内容和内容解析
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1．内容
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二次根式的性质。
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2．内容解析
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本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．
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对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过 “探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．
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二、目标和目标解析
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1．教学目标
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（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；
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（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
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（3）了解代数式的概念．
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2．目标解析
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（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；
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（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；
?
（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．
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三、教学问题诊断分析
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二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.
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本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.
?
四、教学过程设计
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1．探究性质1
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问题1 你能解释下列式子的含义吗？
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，，，.
?
师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．
?
【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.
?
问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
?
????? ； ??????；????? ； ??????.
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师生活动 学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．
?
【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．
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问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？
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师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.
?
【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.
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例2 ?计算
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（1）；（2）.
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师生活动：学生独立完成，集体订正.
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【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.
?
2．探究性质2
?
问题4 你能解释下列式子的含义吗？
?
，，，.
?
师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．
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【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.
?
问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
?
=??? ，=??? ，=???? ，=??? .
?
师生活动 学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．
?
【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．
?
问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？
?
师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）
?
【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.
?
例3? 计算
?
（1）；（2）.
?
师生活动：学生独立完成，集体订正.
?
【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.
?
3．归纳代数式的概念
?
问题7 ?回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？
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师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.
?
【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.
?
4．综合运用
?
（1）算一算：
?
； ； ； .
?
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.
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（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？
?
【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.
?
（3）谈一谈你对与的认识.
?
【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.
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5．总结反思
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（1）你知道了二次根式的哪些性质？
?
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
?
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
?
（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．
?
6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.
?
五、目标检测设计
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1．??? ；??? ；??? .
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【设计意图】考查对二次根式性质的理解．
?
2．下列运算正确的是（ ）
?
A.??? ?B.????? ?C.???? ?D.
?
【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．
?
3．若，则的取值范围是??????? ．
?
【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．
?
4．计算: ．
?
【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．
课件20张PPT。第十六章 二次根式 16.1 二次根式（1） 八年级 下册湖北省通山县教育局教研室 袁观六
创设情境 提出问题创设情境 提出问题 （1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什
么不同？问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为
S 的正方形的边长为_______． 创设情境 提出问题 （2）中得到的式子有什么意义？ 问题：
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为______m．创设情境 提出问题问题：
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则
t= _____．合作探究 形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？ 这些式子的共同特征是：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负
数）的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 合作探究 形成知识 （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 合作探究 形成知识被开方数a≥0；根指数为2．二次根式 二次根式：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．初步应用 巩固知识 练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．√√√≥ ＜ 初步应用 巩固知识 二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的
算术平方根是二次根式． 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？初步应用 巩固知识∴ 当x≥-2时， 在实数范围内有意义． 解：要使 在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2． 例1 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？ 初步应用 巩固知识 例2 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意
义？ 呢？初步应用 巩固知识（1） ；（2） ；（3） ． 解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1； （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； （3）由 ≥0，得 a为任何实数． 例3 a 取何值时，下列根式有意义？初步应用 巩固知识（1） ；（2） ． 答案：（1） a为任何实数；
（2） a =1． 变式 a 取何值时，下列根式有意义？总结：被开方数不小于零．比较辨别 探索性质当a＞0 时， 表示a 的算术平方根，因此 ＞0； 这就是说， （a≥0）是一个非负数． 当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此 =0； 问题 请比较 和0 的大小．综合运用 深化提高 练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ． 练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．×√√√＞≤ 综合运用 深化提高 练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．（1） ；（2） ；
（3） ； （4） ． 练习3 若 是整数，则自然数n 的值为
___________. 练习3 若 是整数，则自然数n 的值为
___________.0，3，4课堂小结（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．双重非负性 回顾总结 反思提升 我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行
运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？课后作业作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题． 课件12张PPT。第十六章 二次根式 16.1 二次根式（2） 湖北省通山县教育局教研室 袁观六八年级 下册性质探究 问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到
结论的依据．_____；_____；_____；_____．0 4 2 你能说说依据吗？ 性质应用 例1 计算下列各式：
（1） ；（2） ． 性质再探究你能说说依据吗？ 0 2 0.1巩固新知 例2 计算下列各式：
（1） ；（2） ． 巩固新知归纳概念（1）含有表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得
到的式子叫代数式．综合运用 练习1 对于性质 ，逆向思考可得：（a≥0）， 请根据这一结论完成填空： （a≥0） 综合运用你认为，当a＜0时， _________，并说明理由：
____________． （a≥0） 综合运用 练习3 性质 和 有什
么区别和联系？ （a≥0） （a≥0） 课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表
示数得到的式子？说说你对代数式的认识．课后作业作业：教科书第4页练习第1，2题；
习题16.1第2，4题．
