学习帮·高中数学满分技巧

学习帮·高中数学满分技巧
导数的简单运算
一、基本导数公式
①；
②，
③，
二、导数的四则运算法则
①
②
③
解三角函数的步骤
步骤一、化简
1.处理像或这样的部分 (倍半，降升幂）
2.处理这种形式的东西 （诱导公式）
3.特殊角意识
4.和差公式
步骤二、答题
空间位置关系的证明方法
（1）线面平行：，，.
（2）线线平行：，，
，.
（3）面面平行：，，
.
（4）线线垂直：.
（5）线面垂直：，，
，.
（6）面面垂直：，.
圆锥曲线的求解方法
一、轨迹方程的求解
第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M（x,y）
第二步：明确点M的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。
第三步，列出与M坐标（x,y）相关的等量关系后，得到关于x,y的方程，化简方程为最简形势。
第四部，检验特殊点是否均满足所求轨迹方程
二、求参数的范围问题
第一步，联立方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理或弦长公式写出结论备用。
第二步，找不等关系：从题设条件中提取不等关系式；
第三步，列出所要求的参数相关的不等式，解不等式。
第四步，根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围得到所求参数的取值范围。
第五步，回顾检查，注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。
概率与统计的答题步骤
一、求古典概型问题的步骤
（1）判断本次试验的结果是否可能是等可能的，设出所求的时间A;
（2）分别计算总的基本事件的个数n和所求的时间A所包含的基本事件的个数m；
（3）利用古典概型的概率公式，求出事件A的概率。
二、求排列组合问题常用的解题方法
（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”；
（2）元素相间的排列问题——“插空法”；
（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数鼠疫这几个元素的全排列数。
（4）带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合（排列问题）——间接法，即先不考虑限制条件求出组合（排列）数，再排除不符合要求的组合（排列）数。
模板1　三角函数的性质问题
例1　已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
审题破题　(1)由x＝x0是y＝f(x)的对称轴可得g(x0)取到f(x)的最值；(2)将h(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
解　(1)f(x)＝，
因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
所以2x0＋＝kπ (k∈Z)，
即2x0＝kπ－ (k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin，k∈Z.
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝.
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin ＝1＋＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝[1＋cos]＋1＋sin 2x
＝＋
＝sin＋.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin＋是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
答题模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；
第二步：由y＝sin x、y＝cos x的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的
范围或函数值的范围；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
解　f(x)＝2cos x－sin2x＋sin x·cos x＋1
＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＋1
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为＝π.
(2)∵－1≤sin≤1，
∴－1≤2sin＋1≤3.
∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；
当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.
(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
模板2　三角函数与向量、三角形
例2　在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，又已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，求|3m－2n|的取值范围．
审题破题　由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角的三角函数形式．
解　因为(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，
所以＝，即tan(A－B)＝，
又△ABC为锐角三角形，则0所以－又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m·n
＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin.
又0所以所以sin∈，所以|3m－2n|2∈(1,7)．
故|3m－2n|的取值范围是(1，)．
第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；
第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数
问题；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练2　已知a＝(2cos x＋2sin x,1)，b＝(y，cos x)，且a∥b.
(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)记f(x)的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f＝M，且a＝2，求bc的最大值．
解　(1)由a∥b得2cos2x＋2sin xcos x－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝2sin＋1，
所以f(x)＝2sin＋1，
又T＝＝＝π.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M＝3，于是由f＝M＝3，
得2sin＋1＝3 sin＝1，
因为A为三角形的内角，故A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4.
于是当且仅当b＝c＝2时，bc取得最大值4.
模板3　空间平行或垂直关系的证明
例3　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为
PC、 BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
审题破题　(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．
证明　(1)连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，
∴在△CPA中，EF∥PA，
又∵PA 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.
又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD＝90°，即PA⊥PD.
又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
第一步：将题目条件和图形结合起来；
第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；
第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；
第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.
跟踪训练3　(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明　(1)方法一　取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH 平面PAD，CE 平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二　连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF 平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又因为MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
模板4　数列通项公式的求解问题
例4　设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题破题　(1)可令n＝1，n＝2得关系式联立求a1；(2)由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减．
解　(1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， ①
当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， ②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， ③
由①②③解得a1＝1.
(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，
则－·＝1，即＋2＝.
又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，
∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
第一步：令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系
联立求a1；
第二步：令n≥2得关系式后利用作差得an＋1，an的关系；
第三步：构造等比数列，并求出通项；
第四步：求出数列{an}的通项．
跟踪训练4　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．
(1)解　在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分别令n＝1,2,3，得
，解得
(2)证明　由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1得：
Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2.
两式相减得an＝2an－1－2(－1)n，n≥2.
an＝2an－1－(－1)n－(－1)n
＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n，
∴an＋(－1)n＝2(n≥2)．
故数列是以a1－＝为首项，公比为2的等比数列．
所以an＋(－1)n＝×2n－1，
∴an＝×2n－1－×(－1)n.
模板5　数列求和问题
例5　(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
审题破题　(1)由Sn的最大值，可据二次函数性质求k，因而确定an；(2)利用错位相减法求和．
解　(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
(2)因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
第一步：利用条件求数列{bn}的通项公式；
第二步：写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；
第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法. 例如：公式法、裂项法，
本题用错位相减法 ；
第四步：明确规范表述结论；
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易
忽视对n＝1，n≥2时的讨论.
跟踪训练5　已知点是函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的
前n项和为f(n)－c.数列{bn} (bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？
解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，∴an＝－·n－1
＝－2·n (n∈N*)．
∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)
＝＋ (n≥2)．
又bn>0，>0，∴－＝1.
∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1 (n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝×＋×＋×＋…＋×
＝×＝.
由Tn＝>，得n>，
∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.
模板6　概率与统计问题
例6　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,
140,110,160,220,140,160.
(1)完成下列频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
审题破题　(1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．
解　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由题意知，当X＝70时，Y＝460；
X每增加10，Y增加5，
故Y＝460＋5×＝＋425.
P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；
第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.
跟踪训练6　(2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解　(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
模板7　圆锥曲线的定点问题
例7　已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题破题　(1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．
解　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，
所以·＝－m·＋m2－
＝.
因为对于任意的k值，·为定值，
所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.
所以M，此时，·＝－.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，
由m＝，得·＝－.
综上，符合条件的点M存在，且坐标为.
第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是
直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；?
第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；?
第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝
k x－x0 的形式，则k∈R时直线恒过定点 x0，y0 ；若是动态的曲线方程，将动态的
曲线方程转化成f x，y ＋λg x，y ＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f x，
y ＝0与g x，y ＝0的交点；?
第四步：下结论；?
第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是
以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.
跟踪训练7　已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
(1)解　由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明　设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，
所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程得
消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为线段AB的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.
模板8　圆锥曲线中的范围、最值问题
例8　已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
审题破题　用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．
解　设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，
同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，
于是s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，
可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5.
由于e>1，故所求e的取值范围是.
第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；?
第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；?
第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参
数的取值范围；?
第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲
线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关
系等.
跟踪训练8　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以
所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·2＋4·＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由(*)式，得k2>2m2－2，
又k≠0，所以k2＝>0.
解得－1即所求m的取值范围为∪.
模板9　函数的单调性、极值、最值问题
例9　已知函数f(x)＝(x∈R)．其中a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．
审题破题　(1)直接求f′(x)，得f′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f′(x)后要对a进行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝，f(2)＝，
又f′(x)＝＝，f′(2)＝－.
所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝
＝.
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①当a＞0，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，a) a (a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以f(x)在区间，(a，＋∞)内为减函数，
在区间内为增函数．
函数f(x)在x1＝－处取得极小值f，
且f＝－a2.
函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.
②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a) a (a，－) － (－，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在区间(－∞，a)，内为增函数，在区间内为减函数．
函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.
函数f(x)在x2＝－处取得极小值f(－)，
且f＝－a2.
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x)．
第三步：求方程f′(x)＝0的根．
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干
个小开区间，并列出表格．
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性．
第六步：明确规范地表述结论．
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为
x1＝－，x2＝a.要确定x1，x2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论．这就是
本题的关键点和易错点．
跟踪训练9　已知函数f(x)＝aln x＋＋x (a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(1)解　f(x)的定义域为{x|x>0}．
f′(x)＝－＋1 (x>0)．
根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.
(2)解　f′(x)＝－＋1＝
＝ (x>0)．
①当a>0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0所以函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．
②当a<0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得0所以函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增．
模板10　导数与不等式问题
例10　设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g的大小关系；
(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
审题破题　(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)＝g(x)－g，通过g(x)的单调性比较g(x)，g的大小；(3)对任意x>0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决．
解　(1)由题设易知f(x)＝ln x，
g(x)＝ln x＋，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.
故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x，
设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，
则h′(x)＝－，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当0h(1)＝0，即g(x)>g，
当x>1时，h(x)(3)满足条件的x0不存在．
证明如下：
假设存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，
有ln x但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有ln x1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，
因此，不存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．
第一步：构造函数h x ＝g x －g；
第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h x 的单调性；
第三步：根据h x 的单调性比较h x 和0的大小；
第四步：下结论，反思回顾.
跟踪训练10　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c＋ln x.
(1)当a＝b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)设函数f(x)在x＝，x＝1处取得极值，且f(1)＝－1，若对任意的x∈，f(x)≤m恒成立，求m的取值范围．(参考数据：e≈2.7)
解　(1)∵a＝b时，f(x)＝ax2＋ax＋c＋ln x，
∴f′(x)＝2ax＋a＋＝ (x>0)．
当a＝0时，f′(x)＝>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋ax＋1>0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1，函数g(x)在上单调递减，且g(0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f′(x)的符号不确定，∴函数f(x)在
(0，＋ ∞)上不单调．
综上可知，a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)∵f(x)在x＝，x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝f′＝0，
即，∴，
即f′(x)＝＝，
且f(x)＝x2－3x＋c＋ln x.
又∵f(1)＝－1，∴1－3＋c＝－1，得c＝1，
∴f(x)＝x2－3x＋1＋ln x.
∵当x∈时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在上单调递增；
∵当x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在上单调递减；
∵当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(1,2]上单调递增．
∴f(x)极大值＝f＝－＋1＋ln ＝－－ln 2，
而f(2)＝－1＋ln 2，f(2)－f＝－＋ln 4
＝ln 4－ln e ，由于4>e>e ，故f(2)>f，
∴f(x)max＝－1＋ln 2，∴m≥－1＋ln 2.
eq \f(3,4)
eq \f(3,4)