表现形式：动点的轨迹，
步骤：
表现形式：直线a∥直线b.
第一步：根据几何法，判断动点所在线、面与几何体
几何法
线线平行
方法：常常借助中位线、比例线段、平行四边形和线面平
的位置关系等，从而求出动点轨迹图象；
第二步：确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值。
行的性质定理等.
表现形式：动点轨迹.
空间几何体的
表现形式：直线l∥平面a
步骤：
动点轨迹问题
方法：线面平行的判定定理，
第一步：分析给定图形中的数量关系，选取适当
线面平行
步骤：
几何法
空间中的平行
的自变量及目标函数，确定解析式：
第一步：设法找到要证直线和平面内的一条直线平行：
第二步：利用函数的单调性、有界性，以及不等
第二步：利用线面平行的判定定理得答秦。
式的均值定理等，求出最值，
表现形式：平面a∥平面B.
方法：常用面面平行的判定定理
表现形式：用平面截球体.
面面平行
步骤：
第一步：在平面a（B)找两条相交直线∥平面B(a);
平面与圆球相交，截面图的形状都是圆。
第二步：利用面面平行的判断定理得解
表现形式：直线L平面a.
方法：线面垂直的判定定理。
用平面截
线面垂直
步骤：
球体
第一步：在平面a内找两条相交直线和直线垂直，
第二步：利用线面垂直的判断定理得解.
表现形式：直线a⊥直线b,
步骤：
空间几何体的
空间中的垂直
线线垂直
第一步：在题意中找关键词（直线和⊥平面α，直角三角形
表面交线问题
等腰三角形)：
表现形式：用平面截正方体，
第二步：没有第一步直接能看出来的，看看暗含条件是否能
间接推出，
三角形
等腰三角形
等边三角形
表现形式：求证：平面α⊥平面B
立体几何
方法：常用面面垂直的判定定理，
面面垂直
步骤：
用平面截
第一
步：在平面a(B)内找一条直线⊥平面B(u);
正方体
正方形
梯形
长方形
第二步：利用面面垂直的判定定理得解，
表现形式：求几何体的体积。
方法1：公式法，代入相应的公式
步骤：
第一步：证明高线；
表现形式：出现正方体、长方体和正四面体.
第二步：数形结合计算出底面的面积和高；
方法：直接法，直接代入公式求球的半径或直径
第三步：带入相应的公式求答案，
步骤：
第一步：找关键词，看是香出现正方体、长方体和正四面体：
直接法
求体积
表现形式：求四面体（三棱锥）体积
第二步：根据找到的关键词，结合已知条件求出半径或
方法-2：等体积法，一般用于求四面体，因为四面体的
直径；
任何一个面都可以作为底面.
第三步：求出半径代入球的表面积公式或体积公式
步骤：
表现形试：出现构造正方体或长方体法的几种情况（垂直，
表面积、体积
第一步：找到要求的四面体：
等边等).
与距离
第二步：如果以题中给的顶点求体积不好求，转换
根据已知条件可以推出PA,PB、PC两两垂直
构造长方
四面体的顶点（找好求高（三角形面积）的)；
方法：构造正方体或长方体法.
步骤：
(正方)体
球的切接问题
第三步：求出各量，代入体积公式.
第一步：画正方体或长方体：
表现形式：求几何体的面积表面积、侧面积)，
第二步：找出满足题干的几何体，确定球
方法：公式法，代入相应的公式
表现形式：出现直棱柱、圆柱、圆锥或正棱锥外接球
求面积
步骤：
第一步：把题中的信息标到图上
步骤：
第二步：数形结合计算出各个面的面积（或底面积和高）；
第一步：找出已知条件的关键词，画出图形：
构造直角
第三步：带入相应的公式求答案
第二步：结合图形（以右图为例）
三角形
表现形式：求点P到平面的距离
代入R=√2+(h-R)Z求半径；
求距离
方法：垂面法或等体积法，一般用于求四面体，因为四面体的
任何一个面都可以作为底面.
第三步：求出半径代入球的表面积公式或体积公式表现形式：角度大小、关系。点园位置关系
税值纯角位置关系
表现形式：动点满足一个等式，求的轨迹方程
的w:w-0
角度/点圆位置
知已知点2，，2，，动点小满足直线与的料率之积
Us为角P及.P元0
n-国-五l十h-,-0
为-是.记的轨迹为曲('.（1)求（的方程，并说明（是什么曲线
角平分类
方法：直接法，代入求动点轨迹方程的一般步
x袖或与r相平行krA一krn=0
步张：
%+数熟-0
直接法
第一步：系：速立言角坐标系常以所给定点的中点为原点建系
右
铂或与油平行
可略这步)：
-2--0
第二步：设点：设所求动点代，
第三步：列式：根据条件例出动点满足的关系式
:
:检所得方程的纯粹性和完备性，多余的点别测除，不足的点要补充
形：多数为直线过一定点或求某某为定
定结《静
情
(第一步，再一情况证（第二三步
表现形式：题中出现园。圆、双由线或地物线的
刷：（新课标
+y=1
x-12+2=9
2,率存在时，设青线联立表示所求目标（让球表示）
动西P与图外切并且与图内切，图心的迹为曲
(注：不精计，只列时，对关式子标号)：
定点定值问题
（1)求C的方程.
3,写通用话术：
方法：定义法，利用圆推曲线的定义解题
若为定点：联立以上（标号的式子】，当化时，y恒成粒.经检验，成立。
定义法
步袋；第一步：根据的意列出等式；
综上，XX(把中让求下来)。
第二步：看出现的足谁的定义，列出连的标准方程；
若为定值：联立以上{标号的士子】，带入得X定。经检按，成立。
第三步：解出标准方程中的未知数，代入标准方程：
综上，XX(把题中让求下来)。
第四步：检所得方程的粹性和完备性，多余的点要
别除，不足的点要补充
表现形式：出现弦长A卧
轨迹方程
表现形式：已知中有两个相关联的动点。
如直线=x-1与椭圈+兰1相交于A,两点，则
如已知圆C:x2+-3)2=9，过原点作圆C的弦0P
B=
求弦0P的中点Q的轨迹方程·
方法：公式法，代入一般弦长公式
步骤：
方法：相关点法，所求动点P的运动，很明显地依赖于已
第一步：设直线方程和交点坐标：注意讨论料率的存在与否：
相关点法
知曲线动点Q的运动.
第二步：联立，消元得到关于x或y的一元二次方程；
步骤：第一步：注意求哪点轨迹，设哪点坐标为(x,y):
第三步：列式：有参数注意二次项系数不为0、判别式、列
第二步：另一个动点可设为(x1,y1);
出韦达定理（和、积）：
第三步：根据题意把x1,y转化成x,y的形式：
第四步：套用公式：代入一般弦长公式。
求弦长
第四步：代入恒等式并检验（注：最终转化成x,y的形式.
表现形式：返干中涉及焦点弦长或比例问西
表现形式：出现参数，求轨迹方程
本米
如已知sinQ.cus0是方程r2-r+h0的两根，求点Pa,b)的
弦长问题
轨迹方程
方法：参数法，消去参数得答案
=
w-0o5
AFI-
参数法
步腰：
r-xT
第一步：找关键词，根据题意里的关键词列出相关等式：
〔独克5新车坐标的夹角加-器g一正
第二步：利用各等式（加、减、乘、除、平方）消去参数
表现形式：出现弦的中点或百线的斜率方法：点差法。
解析几何
第三步：检验所得方程的纯粹性和完备性，多余的点要
剔除不足的点要补充.
以椭图为例：椭回方程为二广1，古线与椭园交于点4：，)
,,且弦1的中点为，以.
中点弦
第二步：作差（国-②）：，+b2x9=0
表现形式：题干中求离心率（焦点三角形、渐近线等】
第三步：监理：k兴-景-二头告品
方法：定义法及二级推论
即AKoN-一
注：双曲线中，kABk0M一，焦点在)轴时取倒数
定义法
.米
F
儿们关乐
代做形式
ADC÷→
边长相等一两点间距离公式
二线合一性度斜字纸积为一1：向显乘识为0
。yg
为等散三角形
e=江+g=v-tam0=cgab
A而，元-i为：中点)
表现形式：题干中求璃心率，给定F-下
三角形
色ABC
幻吸定坦一
两点间距离公式
为反乐三角形
垂直
容率采积为一1：向量耶积为0
当rR分论AD的时淡，=}A
BA BC=0
焦点弦分比
特殊图形
常见转化形
离心率
代形式
西川边形ACD一对边平行且折等一两点何离公式、刻字扫等
为平行四边形
对州线互相平分
共中点
0为AC和DD的中点，中点坐东机等
表现形式：题干中求椭圆离心率，给定焦点三角形或端点
四边形
三角形的顶角角度
四边ACD
椭西的两个庶点分别是，和P,P为网上一点，
为形
一
顶角求范围
若满足EPR0,则腐心率e的取值苏间为？，.
0为AC和DD的中点，即中点坐怀湘相等
且AC.BD-0
迈的长两州点分别是A和B,P为怀圆上一点，
若满足APB,则高心宰e的取值花网为山-
表现形试：题干中求离心率，给定T=入PF
表现形式：求多边形的面积。
如双曲线C片-号-1的右焦点为P,点P在C的一亲渐近线上，0为坐
椭透的两个焦点分别是，和吧2，P为烟上点，
标原点，若PO-PF,则PFO的面积为，
双焦半径比例
若满足里，一入PE,则腐心率e的取值范固为[}一入，)。
方法：数形结合法画出草函是解题的关提
步骤：（以求P1的面积为例）
笔一步：画出草图找到要求面积的PHB:
双出线的两个焦点分别是F,和下，P为双曲线上一点，
第二步：求出底边的长首选平行坐标结的边长；
面积问题
第三步：求出底边俗上的高如果份在轴上，点的纵坐标的绝对
若钱心理，理，则离心水：的取值冠固为，】
值是高，如果45在轴上，点P的坐标的绝对怕是高
第四步：代入公试s18d3e2。器a
=w+1-2-表现形式：多数为给回归方程球其他（或给其他球回归方程】
5为了研其班生的脚长x〔单位和鸟高【单位
厘米)的关系，从该班随机抽取
名学生，根测是数据的能
点囡可以看出与之间有线性相关关系，设其回归百线方程为
回归分析的应用
)=6x+,已知∑x=22s,∑=160,6=4，该班某学生的脚
长为24，据此估计其身高为(）
表现形式：已知几种形式的
率，求另一形式的车
.160B.163c.16D.170
用视金吉付
方法：公式法
的概率为.15，则不用现金支付的概率为()
若是有描述类：需从国表和计算结果两个角度闽释分析
回归方程及独立性检验
:公试连，代入豆厚特新的公式
4.0.3B.0.4
c..6D.0.
表现形式：多数为给回归方程求其他（或始其他求回归方程
随机事件的概率
的况找出来，假
例：为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高（单位
第二步：结合已知条件，如果已知条
7e
厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测品数据的散
得离：
点图可以出与之有线性相关关系，设其回归直线方程为
第三抄：代入互库事件的每率公式：PA)+P可B)+P氏C=1，
独立性检验的应用
y=6.+,已知2x-22之，-16o,6-4,该班某学生的脚
求P〔A》,
长为24，据此估计其身高为()
A,160B.163C,166D.170
表现形式：求基本事件只有有限个，每个本事件出现的可能性相
的挥空
方法：公式法，
1:生物实验室有5只免子，其中只有3只测量过某项指标.着从这5
若是有描迷类：需从表和计算结果两个角应释分析
只免子中随机取出只，求怡有2只测量过该指标的概率为(
古典概型求概率
表现形式：在
步提
一卡件发生的条件下，另一卡件发生的概率
第一步：求出基本事件的总数一般采用列望法、四表法和树状西：
：杲班组织由甲，乙，丙等名同学参加的演讨
,现平用
第二步：求出4包含的基本事件的个数m;
抽签法决定演讲顺序，在“"学生甲不是第一个出场，学生乙不
第三步：代入公式一求解
是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()
古典概型和几何概型
条件概率的应用
A品B,CD号
表现形式：求某个区成（长度、面积、体积）的概率
公式法，代入奈件概率公式
例：若实数m的取估是区间心，上的任意数，则关于x的方程
x2-m+4=0有实数根的概率为
步：用字母表示有关手件（如用1，B表示）
方法：公式法，代入几何概型求概率公式
第二步：求代A团，P
步理·
几何概型求概率
第王步：利务件幸公试骨解
第一步：明确取点的区城印：
条件概率及独立事件
第二步：确定要求概率的事件中的点的区成4
表现形式：题意有相互独立字眼，求概率
第三步：计弹区域Q和区域A的几何度量和41；
到：
2两
行球快
利的
第四步：计算所求事件的概率P(
凌认获
客场取胜的室为月
种立
表现形试：出观两人
相互独立事件
的概是
方法：公式法
步呢：
弟一步：把要求的事件进行分类：
二步：每一类代入事件独立性公式，求相应的率
时间问题
弟三步：根据分类加法原理，把每类加在一起得答亲
点的区成1（时间间隔不超过多长时间的
几何
和1
表现形式：求的分布列
上的空
例：一袋中装有6只同样大小的白球，编号为1,2,2,2,3
3,现从该袋内随机取出1只球，被取出的球的编号数为5，写
出的概率分布列？
方法：把表格需要的都球出来，代入表格中。
显输出或出
和样本量都不大时。
求分布列
步骤：
第一步：理解变量的意义并写出其所有可能取值：
作样本
性推五2筋进行质量检音
第二步：求取每个值的率；
第三步：列表X…
方
PX)P1P2.P:.Ps
简单随机抽样
概率统计
用的容器中拌均匀：
2,
由的
个体取出，得引-个量为的样本
若抽出的人中有队唾不足.3认睡充足，现从这7人中德机抽
求期望
时甘服
价有较大异.为
离散型随机变量的期里与方差
)用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变室的分布列与
数学期
客户的评
,该公司准
进行
样查。可供
油样方法有简单
公式法，代入求期里的公士
方法：分层抽雄达
弟一步：求出分布列表格：
弟二步：代入公式E0)=x1P1+P2++x,+m+xnn求答亲
第二步：确定各层应该抽取的个体样本，根据总体中的个体数与样本容
分层抽样
随机抽样
表现形式：高考中大多以
选择晒的形式出现，比较方差的大
量确定抽样批-=头；
合,之和为1：
1
第四步：综合每层抽样，组成样本
现式：事中明给出用系统辅样或总体数目校大
求方差
则当在0,1内增大(
新生
:活罗生
A.培大
B.DX城小
C,X)洗培大后减小
D.D)先减小后增大
号字
名学生中号学生
C.616号学生D.515号学生
方法：公式法，代入求方差公式中：也可便用特殊值法（选择题）
一步：先将总体的，个个体装号
系统抽样
出期望伯
第二步：确定分股间照长，对挥号进行分级，当记那数时，取-：当不是数
时，通过从总体中降一些个体使下的个体数能被型除时，k一
表现形式：在含有M件次品的件产品中，任取n件，其中怡有，X件
次品数，则平件=发生的既零（或者求的数学明里）
例：1件产品，其中有3件次品，取出2件检验，恰一件为次品的
卒为(
表现形式：求平均数、方差、标准差、中位数、众数和极差等
超几何分布的应用
方法：公试法，
步紧
例：涡讲比每共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选
泛是什么.（如几件次品的慨率或几件正
手的成绩时，从个原始评分中去掉1个高分、1个低分，得到
7个有效评分个有效评分与9个原始评分相毗，不变的数字特征
第二步：代
公式r
-kC(k-12,m)
是〔
,中位数
B.平均数C.方差D极
数字特征
方法：定义法减公式法、国表文字转化
表现形式：已知期惧方差求报率，或已知条件能求出根率，
步
求期里方差
找关词吞求的
什么
式相互独立
亥群体白
用样本估计总体
表现形式：求对结果进行分析比较井评估好坏等
三分布
二项分布的应用
方法：公式法
例：请你对这次竞赛成绩的结果进行分析：
步恐：
判这两个工厂个厂的轮相对更好？
弟一步：找关键词，石题意中有没有期望方差的字眼：
判断种生产
5的
效率更高？
弟二步：代入公式：(1)二项分布的均值（期望）(X)=p:
数字特征陈述整体分析
结果分析评估
（2】二项分布中方差D(X)-p(1-p).
:计算样本数
波动
等)估计总
本情况，
从中随机抽一件，其长度
态分布
落在区间(3,6】
(附：若随机变量服从正态分布M:,内，则P-G<<
正态分布的应用
T1=6826m6.PiL-2可<三A·4.56%3.1359%C:.27.18%D.31.74%
解题关键：正态分布的六条性质。
步骤：
第一步：在已知中找关键词，看求的是什么，
第二步：结合正态分布的六条性质解题表现形式：形如f()一f()>m(一)的双变量
问题.
如：已知函数)=正+兰，对E意马>西>0，都有
(,)一(c,),一：成立，求实数k的取值范国
变形构造法
解法：变形构造法
要点：
将相同变量移到不等号左右两边，利用函数单调性求解
表现形式：形如f(m)-a血x十g(m)(解折式中含有血)
的双变量问题，
双变量问题
如：已知函数f(r)=山无一无，设西之欢之0，求证：
表现形式：求在曲线x)在点
P(,)处的切线方程。
解法：换元构造法
换元构造法
步骤：一、求斜率=x):
要点：
二、利用点斜式求得切线
①若解折式能化成如血，=一）的形式，令t一兰：将
已知切点
方程为0fx-x山：
原式化成关于t的函数：
②若解析式能化成m
(》的形式，令=将
原式化成关于的函数.
切线方程
P(xo:)
1,区间端点函数值为0型：
(e,m)0在[a,bl上恒成立，且f(a)=0(或)=0)
表现形式：求过点)的曲线
则r(a会0（或j"()≤0）
小一)上的切线方程。(P不是切点)
个
步骚：@设切点坐标为(x,:
代入导数求得切线斜率=f,):
端点函数值为0
未知切点
1,关注函数取端点值的特殊性
@利用己知点P化，，和0表示斜率：长-名-号
2.通过不等式成立的必要条件求出参数的取值范围
解方程：名寸，得到：
3.以上述取值范围为前提，细化判断单调性求解，
④写出切线方程：y-y=f(x(x-七
4.否定对立面。
2.区间端点函数值和导数均为0型
表现形式：形如导函数为二次函数的类型
f(a,m)0在a,b上恒成立
@88
咖如r-ar如+
J=a2+bx+cln.,y-2rtxt
则f"(a)0(或f"(b)云0)
方法：直接求号法
端点函数值和导数均为0
恒成立问题
导数为二次型
步骤：一、求定义域：
二、求导数时”()：
1.关注函数取端点值的特殊性
血-f()-判断单调性
A,气1≥E0M需要说明不等于0】
2.通过不等式成立的必要条件求出参数的取值范围
→ix单调逆增〔递运)
3.以上述取值范围为前提，细化判断单调性求解】
三、讨论：a0
4.否定对立面。
单调性
为函数如合形式，始定区间《定义减)，成立
表现形式：导函数中含有对数函数
分离参数法
(x,分离时汁态分类讨论
例如：f)=(a+b)h,fx片ln+ar+
据天小关系定的礼出
方法：二次求导法
端点无特殊性
导数
单调性/区间
导数为对数型
步骤：一、求导；
令e,求g):
江移构法法
三
平移构造法
得
x与fx)的单调性
步
2.求单网性
四五
得到g)=f)用
的大小关系
六、求得x)的单调性
表现形式：)0不可求（不定极值型）
表现形式：求三次函数x)ur+hr24ert零点的个数
例如：求得的导数f"(x)=e+h+clnx
速镜：号碗法零点存在住定健
方法：设而不求法
导数零点不可求
三、做若00（或），显然只有一个季点）：
步
求出极值点x,的取值范围
三次函数型
(特殊值极限+单调性+零点存在性原理)：
二、利用fPx)0,得到x与参数的关系：
三、利用得到的关系来解题（往往可消去x,)】
个零点两个孝点”三个零点
表现形式：表达式中含m或c的复杂函数.
方法：导数法+零点存在性定理
M不是极值店
极值点
步骤：
R极小值
一、求导，判断单调性；
指数对数型
极值点为一
二、计算极值和端点值（无端点值时，取特
殊值，判断fK))；
三、画出草图，观察零点个数
零点问题
极值/最值问题
表现形式：已知函数Fx)+g()零点个数，求：的范围。
方法：分离常数、数形结合、极限思想
步骤：
最值
令Fv-,得-=得
I mp
含参类
二、对一得求号，确定单调区间与最值；
给定区间（定义域），求)的最值
1.求单调性
2计的
和瑞点值
三、做出一与=的大致图象，根据交点个数确
3量大为最大值，最小为量小值
定的范围。
表现形式：含指数或对数形式的函数〔x),极值点无法直接求得。
如：已知函数g(x)=e一lnx十2)，证明gx)0.
方法：设而不求，监体代入
步4
求导了，令}=0，利用零点存在性定理判定号
函数琴点的存在性
隐零点类
二、以为分界点，说明导函数的正负，即原来函数的塔减性，
进而得到函数的极估或品值}：
三、将零点方程()=0适当变形，整体代入最值式子，化为常见
均估不等式等证明命题：求参数范田。表现形式：判断，}是等差数列还是等比数列，
等差数列
等比嫩列
定义法
化n一化，=d常数
=4为常数，g=可
中项法
数列的判断
2u,=4.+l.
2.
页公式法
4,an1b(4,b为常数)，t为非安常数
前项和法S。n21b,为常数)
S,=2-a≠0，≠0
1)
表现形式：已知{a是等差数列，求d,an,S等.
表现形式：若等差或等比数列，可代入公式直接得和。
方法：
等差数列
等比数列
公式法：1，d,t,,S中的五个，已知其中三个
等差数列的
等差等比
公式法
就可以求另外两个，简称“知三求二”
基本计算
数列的证明
a.-+(-1d
。=9”1
,=4n+(r-m)d
u。-ug"-n
性质法：若已知数列中的几项和，求另外几项的和
可以考虑用等差数列的性质计算
表现形式：Sn是关于a的函数，即S=fa).
表现形式：已知{是等比数列，求g,a。,S,等。
步骤
方法：
一、
求-1时的关系式，即.S=an)(≥2)：
公式法：41，g,n,4n,S中的五个，已知其中三个
等比数列的
递推法
就可以求另外两个，简称“知三求二”
基本计算
二、作差求an:a-fan)-Ran:
性质法：若已知数列中的几顶和，求另外几项的和
三、验证1=1时，是否满足所得式.
可以考虑用等比数列的性质计算，
a n=1,
可得an=
Sa-Sn22
表现形式：若{和等差或等比数列，可代入公式直接得5
表现形式：u1-“n+f(,或n1=fn)a。
等差数列前n项和
等北数列前项和
累加法
累乘法
[m,g-1
f.
41g_4a9,41
累加法
)=-.
公式代入法
累乘法
f2)=4,
「项数×任售一项，公比1
f()=0n-a
比兴求和一
表：，公比
.f)tf(2)+…+.f(
=a1-1
fof2…fm)-u
表现形式：数列的每一项都可以拆成两项之差，并且在
表现形式：形如/1m23w4n)un的形式.
求和的时候。一些正负项能够互相抵消。
如：a+2a2+3a++a,=(2-1)3
常见的项公式
步骤：
裂项相消法
消项法
@西君A50g-六
一、令Ta=f1)a1+f2)a+f3)u++fm)ae；
1
二、写出Tn-=f1)a1tf202tf303ttf10m1（n22):
三、消顶，得n)a。一工。T1:
前n项和
数列
通项公式
四、证=时是香符合.
表现形式：{a:为等差数列九，}为等比数列，求积或商的和
表现
=m,+(,为常数
-p。17g(pg,r为
形式且(g(p-1)≠
常数)
受8a
如求：S=,,1,1…1.的值：
两边同除以g”,
错位相减法
待定
化为a1-t-p(a,-)
一、写出5，记为@：
思路
系数法
g则{a
二、等式两边同乘等比数列的公比4，得到以.，记为@：
构造数列，他，-)，
为等比数列
三、②@，错位相诚，化简。
表现形式：已知{a}与h}一个为等差，另一个为等比.
Cn=an±b。
“,n为奇数
求c前n顶和.
表现形式：4=（或a风.十g十.=0.
分组求和法
pan +4
,一bn为偶数
倒数法
步骤
解法：
相除法
”井水不犯河水”，分别求和，求和再求和
等式两边取倒数（或同除以a+1n):
换元，转化为b11=A点：
三、待定系数法解决
表现形式：已知{a的通项公式，求{w的品大（小）项，
表现形式：an1=P(P>0,n>0).
方法：
函数法：构造关于的函数).刹用函数的单调性确定出
解法：
数列的最大（小）项
对数法
求最大（小）项
一、递推式两边取对数（一般以p为底数取对数）；
性质法：利用口。之”确定数列的极大项，进而确定品大项
二、换元，转化为b=b+B的形式：
三
用待定系数法或公式法等解决，
利用，”，“确定数列的极小项，进而确定品小项，
lan 5an-1
表现形式：函数〔四性质)与数列综合问题，
步骤：
(不要求学握，仅供有志少
屏法：
年自行学习)
数列与函数综合
数列综合
特征根法
一、作特征方程x-心+9：
(1)确定西数的性质（对称性、奇偶性、周期性、单调性等】：
二、当特征方程有一个实根x,时，位，为常数数列：
【2)确定数列的通项公式。前n项和公式、性质等
当特征方程有两个相异的实根x,x,时，
表现形式：数列{a的前n项和大于（或小于某一常数）
解法：
(1)直接求和，证明所得结果小于某一常数：
(2)构造函数（变形、取对数等），通过函数的单调性
数列与不等式
极值等得出关于正整数的不等式：
(3)放缩法，.通过对中间过程或者品后结果放缩得到：
(4)数学归纳法表现形式：题干中给定复杂函数解析式（多半为加和，对
数函数+指数函数/二次函数)，
双括号不等式问题
求f(m)士f(n)≤()k的参数问题
表现形式：题干中出现指数、对数、幂数此较大小的问题
方法：比较法或特殊值法
比较大小
方法：原函数具有奇偶性，且至少单侧单调
常取数字1和0作为界限
表现形式：题干中给定复杂函数解析式，
表形式：二次
求最大值+最小值之和（或一系列函数值之和）
方法：端值法
方法：中植模型本质：关于（告，：》对称
将给定区间的中间数值带入就可以
1比1型
求十D,其中a防常数，分不为0的
两项：给定fx)在区间「a,b]上的函数式、
中值模型
最值之和：f…+fa=2f0）
步骤：)带入区间端值
(2)令分母为0，求方程的根无
多项：给定fx)在区间[a,b]上的函数式，
分式型值域问题
(3)若生D,取端值之间：若CD,取端值之外
数值之a）+)-+fa)-wf0)
2比2型
表现形式：
资，浓资
2比1型
方法：(1)没有范围限制时可用判别式法
表现形式：题干中给定解析式，让判断图象
1比2型
图象判断
(2)x有范围限制时需转化为对勾函数
方法：奇偶性+端点值（特殊值）
3比4型
表现形式：
三次
方法转化为二次
一次
四次
表现形式：题干中给定复杂函数解折式（多半为加和，对
数通数+指数函数二次函数)
方法：拆分为若干部分，观察对称性
表现形式：题干中类f(叶x)=士f(x)等关系等
常考奇函数：
1.f)=奇函数：
函数
周期性：工系数相同
f(x)=log.(V*+i士x)f(x)+J(←)=0，
对称函数
(e)-f(+2a)
f(x)=a-a*
最大值+最小值=0
f(x-a)=f(x+a)
,÷期T=括号内之差
递系数
2.fx)=奇函数十a:
周期问题
f(a-a)=f(x-6)
f(x)+f(o）=2a,
f(x)--f(x+2a)
最大值+最小值=20
f红-）-fata
分周期、T=2括号内之差
:系数
f(z-a)=-
f(红-b
表现形式：题干中未给定函数辉折式，求其相关问题
方法：特殊值（函数）法常取基本初等函数
表现形式：题干中rx和frbx等关系等
挂期有效快拉
方圳快丛的初等而效
对称性：出系数相反
fgy-m/
王比b倒活登对-奶
单函数
f知=fa-x)】
g品
何数国闭=
抽象函数
f(a-a)=f(a-z)
÷轴对称，于=于，对称帕=括号内之和
2
单对称问题
f(a-z)=f(a-b)
指款王戴树一且)
周期对称问题
f(w)=-f(2a-
中心对称，f=-f成f十f=k,
9=00=0-0
对称中心（搭9内之和，）
→T=f
王余袋图数/=i,国=x
+-r
下切术者一2
表现形式：题干中futx和∫h-x)等关系等
单函数
双对称→周期
对称问题
双对称问题
对称轴x=a和x=b
表现形式：题干中给定零点，求参数取值范围
对称中心a,和，}同大对称周期T-21a-
代入排除法
对称轴x=a和对称中心(b,k)÷异类对称，周期T=4a一bl
方法：代入排除法或特殊值法
参数问题
表现形式：题干中类f(u)和一±fb-x)等关系等
表现形式：题干中有恒成立条件，求参数取值范围
对称性：工系数相反
特殊值法
y=f(a-z)
轴对将，儿何法，分别令括号内等于0
方法：代入排除法或特殊值法
双函数问题
影=f红-b)}台
解得和，对称轴为x=十
2
中心对称，儿何法表现形式：求单个角的最值（取值范围）
方法：不等式法或三角函数法
思路：
思路1：已知三边或三边比刚求最大角：
大边对大角原则十余弦定理
求单个角最值问题
没有角的范围：余弦定理十重要（基本）不等式
思路2：了（若不等式取不到等号，可考虑对勾函数)
若有角的范围：可考虑三角函数求解
表现形式：求含两个角的最值（取值范围）
方法：三角函数法
步骤：第一步：多角化一角，把两个角转化成一个角的形式：
第二步：按两角和差的正余弦公式展开，合并：
第三步：运用辅助角公式化为msi(A十)十n或mcos(A+)+n
求两个角的最值问题
的形式；
角的最值问题
第四步：确定A的范围，进而确定A十的取值范围：
第五步：求msin(A十)十n或mcos(A十)+十n的范围进而得答案
注：若是角的正弦形式，可考虑转化成边的形式，结合余弦定理和
基本（重要）不等式求解，
表现形式：已知两边和它们的夹角，
(1)两角和差公式
示例：已知a,b,C,求A,B,C
sin(a+B)=sinacosB+cosasinB;sin(a-B)=sinacosp-cosasinB
步骤：
cos(a-B)=cosacosB-sinasinB;cos(a-B)=cosa cosB+sinasinp
一、由余弦定理，求e;
(2)二倍角公式
二、
由正弦或余弦定理，求A;
sin2a-2sinacosa
解三角形中求角
三、Bπ-A-C
cos2a=cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a
常用到的三角函数公式
或三角函数值
变形为降幂公式为：cosa=1+c9s2a;im'a=1一c0s2a
表现形式：已知三边.
2
2
示例：已知a,b,c,求4，B,C.
(3)辅助角公式
步骤：
asina+bcoa=-VG+不sn(a中p)(其中anp-2)
一、由余弦定理求较小两边所对的角，
二、再由A十B十C=π，求第三个角
表现形式：对称型（如口十b)求边的最值或取值范思
步骤：
方法1：不等式法：
第一步：根据已知角选择余弦定理公式
表现形式：已知两角及其中一角的对边
第二步：利用不等式把边的乘积形式转化成和的形式：
示例：已知A,B,a,求b,c.
第三步：整理得答案
求边、角或面积最值（范围）
三角函数与解三角形
步骤：
方法2：三鱼函数法
一、C=π-A-B:
第
:利用正弦
理
边转化成角的形式
第二步：利用角求最值的方法求最值，
对称型求最值问题
二、由正弦定理，求b,c
解三角形中求
方法3：黄金设k法
边长（和）
表现形式：已知两边及其中一边的对角
第一步：令要求的式子等于k《如设b十C=k):
第二步：把其中的一个未知数用k和另外一个未知数表示出来
边的最值问题
示例：已知a,b,A,求B,c,C.
如6
步骤：
第三步：把第二步的式子，代入到知的等式中，整理成一元二次
一、
由正弦定理，求B:
方程的形式其中把k看成常数（若不是一元二次方程的
二、C=π-A-B:
形式这种方法不能用)；
三、利用正弦或余弦定理，求
第四步：令4≥0，求出的一个范困
表现形式：非称型（如十2b)求边的最值或取值范围
方法：三角函数法
表现形式：求三角形的面积或己知三角形面积求其他
步骤：
非对称型求最值问题
解题思路：
第一步：利用正弦定理把边转化成角的形式
解三角形中求面积
利用面积公试S=)absinC=-}acsin B=-besin
第二步：利用角求最值的方法求最值
得到三角形的面积；
表现形式：求三角形面积的品值。
若已知三角形面积求其他量，可应用面积公式
方法：不等式法、三角函数法、倍长中线法
结合正余弦定理求解
思路：
已知一角及两邻边和（如a+b=1):
利用≤（色士'，求山的最值进而求面积的最值
求三角形面积的最值
已知一角及对边：
首选余弦定理+重要不等式（解不出来再考虑对勾函数）
后选正弦定理十三角函数（计算量较大）
倍长中线法：遇到中线常见思路为把中线延长为原来的2倍
把三角形补成一个平行四边形求解
求面积的最值问题
表现形式：求三角形面积的取值范围
方法：几何法、三角函数法
步骤：几何法：
第一步：正确地画出三角形的图象，找出临界值的两个三角形
第二步：求两个临界三角形的面积，进而求面积的范围。
三角函数法：
求三角形面积的取值范围
第一步：统一角把两个内角化成只含有一个内角(B)的形式
第二步：把边长利用正弦定理转化成角的形式：
第三步：利用两角和差公式、辅助角公式等，化成一个三角
函数名的三角函数：
第四步
利用三角函数求面积的取值范围
