人教B版（2019）必修第一册 1.1集合 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册 1.1集合 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 789.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-10 15:39:37 | ||
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文档简介
1.1集合同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是由0，，个元素组成的集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
5．已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，若，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C． D．
11．给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有8个
12．已知集合，则以下正确的有（ ）
A． B．
C． D．集合A的真子集个数为4
三、填空题
13．若全集，，则用列举法表示集合 ．
14．已知集合，若，则实数的值为
15．已知集合，，则 ．
16．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知集合，，，全集．
(1)求；；
(2)如果，求a的取值范围．
18．已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
19．已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
20．对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义.
(1)设，请直接写出集合；
(2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值．
21．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义即可得解.
【详解】因为集合，，所以.
故选：C.
2．C
【分析】根据补集的运算即可求解.
【详解】由于，
又所以，
故选：C
3．C
【分析】根据集合的运算的定义结合Venn图计算.
【详解】由题意或，
图中阴影部分为，
故选：C．
4．B
【分析】由题意可知或，求出再检验即可．
【详解】因为，所以或．
当时，，不合题意，舍去；
当时，或，但不合题意，舍去．
综上可知，．
故选：B．
5．B
【分析】根据整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，讨论只有一个点得到矛盾，进而有中元素不止一个，取分析是否满足要求即可.
【详解】对于整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，
若只有一个点，取的点使和分别同奇偶，有公因子2（或重合），不合题意，
故中元素不止一个，令，对于的点，
当或3时，取；当或4时，取；
由于、横坐标之差为，故内部无整点；
当，时，取，此时横坐标之差为，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当，时，取，此时横坐标之差为，纵坐标之差为，二者互素；
综上，中的元素个数最小值是2.
故选：B
【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数为关键.
6．C
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断AB，根据交集、并集运算判断CD.
【详解】对于A，集合有元素0，故，错误；
对于B，集合，，所以，错误；
对于C，集合，，所以，正确；
对于D，集合，，所以，错误
故选：C
7．C
【分析】集合的基本运算问题.
【详解】因为，所以，
且，所以 =.
故选：C
8．C
【分析】根据集合的概念直接判断各选项.
【详解】若，则存在，使得，
同理，若，则存在，使得，
故，C选项正确，ABD选项错误，
故选：C.
9．BD
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为是实数，所以，错误；
对于B，因为自然数是有理数的一部分，所以，正确；
对于C，因为空集无元素，所以，错误；
对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】先求集合A，然后根据集合间的关系分类讨论计算即可.
【详解】由题，得，因为，所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，所以或，解得或，
综上，实数的值可以为.
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据空集的定义判断A，根据整数集的定义判断B，根据无限集的定义判断C，列举法表示集合，即可得到其子集个数，即可判断D.
【详解】对于A：或 ，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：因为，为无限集，所以集合是无限集，故C正确；
对于D：集合，
所以集合的子集共有个，故D正确；
故选：BCD
12．AC
【分析】根据条件，先求出集合，再对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】由，得到，所以，则选项A正确；
对于选项B，因为集合与集合间的关系是包含关系，所以选项B错误；
对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确；
对于选项D，因为，集合含2个元素，故集合A的真子集个数为，所以选项D错误.
故选：AC.
13．
【分析】先用描述法求出，进而采用列举法求出.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
14．/0.5
【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可.
【详解】因为，，
所以或，解得或.
当时，，不符合元素的互异性，舍；
当时，，符合题意.
综上，.
故答案为：
15．
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故答案为：
16． 或
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由可知，当时，，此时；
当时，，此时，
当时，；
又，若与构成“全食”，则，
当时，满足题意；当时，不合题意；
当时，要使，则，即，解得；
综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；
若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，
当时，由，所以，即，解得，
此时的取值范围是.
故答案为：或；
17．(1)；．
(2)．
【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解；
（2）根据集合交集的运算结果求参数即可.
【详解】（1）∵，，
∴，
．
（2）∵，，，
．
18．(1)；
(2)证明见解析
(3)1348
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，证明即可；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【详解】（1）因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
（2）由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.
【详解】（1）因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
（2）当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
20．(1)
(2)34
(3)3或4或5
【分析】（1）直接由的定义计算即可求解.
（2）若，则，则只需每个组成的数组能够覆盖即可，从而，其中表示不超过的最大整数.
（3）首先证明，其次结合的定义得出满足距离的三角不等式：，从而运用到本题中即可得解.
【详解】（1）若，
则由集合新定义可知.
（2）设有个元素，下证.
一方面，，则，
所以，即，
而，，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有100个元素矛盾，
所以.
综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34.
（3）一方面：先来证明，
，
因此只要，就有，
而，，，
所以，
所以，
即，
从而.
另一方面：如果，，，
那么，，，
从而，同理，
因此由定义可得，
即满足距离的三角不等式；
所以在本题中，，，
即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为3或4或5.
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有，从而只需每个组成的数组能够覆盖即可；而第三问的关键是要注意到表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式，从而顺利得解.
21．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；
（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．
【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或；
（2）已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3
所以，整理得
解得或
当或或或时，
综上，；
（3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含，
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是由0，，个元素组成的集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
5．已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，若，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C． D．
11．给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有8个
12．已知集合，则以下正确的有（ ）
A． B．
C． D．集合A的真子集个数为4
三、填空题
13．若全集，，则用列举法表示集合 ．
14．已知集合，若，则实数的值为
15．已知集合，，则 ．
16．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知集合，，，全集．
(1)求；；
(2)如果，求a的取值范围．
18．已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
19．已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
20．对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义.
(1)设，请直接写出集合；
(2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值．
21．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】利用交集的定义即可得解.
【详解】因为集合，，所以.
故选：C.
2．C
【分析】根据补集的运算即可求解.
【详解】由于，
又所以，
故选：C
3．C
【分析】根据集合的运算的定义结合Venn图计算.
【详解】由题意或，
图中阴影部分为，
故选：C．
4．B
【分析】由题意可知或，求出再检验即可．
【详解】因为，所以或．
当时，，不合题意，舍去；
当时，或，但不合题意，舍去．
综上可知，．
故选：B．
5．B
【分析】根据整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，讨论只有一个点得到矛盾，进而有中元素不止一个，取分析是否满足要求即可.
【详解】对于整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数，
若只有一个点，取的点使和分别同奇偶，有公因子2（或重合），不合题意，
故中元素不止一个，令，对于的点，
当或3时，取；当或4时，取；
由于、横坐标之差为，故内部无整点；
当，时，取，此时横坐标之差为，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当，时，取，此时横坐标之差为，纵坐标之差为，二者互素；
综上，中的元素个数最小值是2.
故选：B
【点睛】关键点睛：根据题设分析出整点的连线内部没有其它整点，当且仅当与互为素数为关键.
6．C
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断AB，根据交集、并集运算判断CD.
【详解】对于A，集合有元素0，故，错误；
对于B，集合，，所以，错误；
对于C，集合，，所以，正确；
对于D，集合，，所以，错误
故选：C
7．C
【分析】集合的基本运算问题.
【详解】因为，所以，
且，所以 =.
故选：C
8．C
【分析】根据集合的概念直接判断各选项.
【详解】若，则存在，使得，
同理，若，则存在，使得，
故，C选项正确，ABD选项错误，
故选：C.
9．BD
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为是实数，所以，错误；
对于B，因为自然数是有理数的一部分，所以，正确；
对于C，因为空集无元素，所以，错误；
对于D，因为空集是任何集合的子集，所以，正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】先求集合A，然后根据集合间的关系分类讨论计算即可.
【详解】由题，得，因为，所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，所以或，解得或，
综上，实数的值可以为.
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据空集的定义判断A，根据整数集的定义判断B，根据无限集的定义判断C，列举法表示集合，即可得到其子集个数，即可判断D.
【详解】对于A：或 ，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：因为，为无限集，所以集合是无限集，故C正确；
对于D：集合，
所以集合的子集共有个，故D正确；
故选：BCD
12．AC
【分析】根据条件，先求出集合，再对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】由，得到，所以，则选项A正确；
对于选项B，因为集合与集合间的关系是包含关系，所以选项B错误；
对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确；
对于选项D，因为，集合含2个元素，故集合A的真子集个数为，所以选项D错误.
故选：AC.
13．
【分析】先用描述法求出，进而采用列举法求出.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
14．/0.5
【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可.
【详解】因为，，
所以或，解得或.
当时，，不符合元素的互异性，舍；
当时，，符合题意.
综上，.
故答案为：
15．
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故答案为：
16． 或
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由可知，当时，，此时；
当时，，此时，
当时，；
又，若与构成“全食”，则，
当时，满足题意；当时，不合题意；
当时，要使，则，即，解得；
综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；
若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，
当时，由，所以，即，解得，
此时的取值范围是.
故答案为：或；
17．(1)；．
(2)．
【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解；
（2）根据集合交集的运算结果求参数即可.
【详解】（1）∵，，
∴，
．
（2）∵，，，
．
18．(1)；
(2)证明见解析
(3)1348
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，证明即可；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【详解】（1）因为集合，，，
所以由，可得，
，可得．
（2）由于集合，，
则T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者，
故即，故，
故中的4个元素为0，，，，
且，，与，，重复，
而，故即，
而，故，故或，
若，则，，与题设矛盾；
故即.
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
∴，即，∴．
实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，即，
故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.
【详解】（1）因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
（2）当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
20．(1)
(2)34
(3)3或4或5
【分析】（1）直接由的定义计算即可求解.
（2）若，则，则只需每个组成的数组能够覆盖即可，从而，其中表示不超过的最大整数.
（3）首先证明，其次结合的定义得出满足距离的三角不等式：，从而运用到本题中即可得解.
【详解】（1）若，
则由集合新定义可知.
（2）设有个元素，下证.
一方面，，则，
所以，即，
而，，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有100个元素矛盾，
所以.
综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34.
（3）一方面：先来证明，
，
因此只要，就有，
而，，，
所以，
所以，
即，
从而.
另一方面：如果，，，
那么，，，
从而，同理，
因此由定义可得，
即满足距离的三角不等式；
所以在本题中，，，
即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为3或4或5.
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有，从而只需每个组成的数组能够覆盖即可；而第三问的关键是要注意到表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式，从而顺利得解.
21．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；
（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．
【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或；
（2）已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3
所以，整理得
解得或
当或或或时，
综上，；
（3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含，
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.
答案第1页，共2页
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