福州市八县（市）协作校2023-2024学年第一学期期中联考
高二数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分,共40分，只有一个选项符合题目要求）
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.两条平行直线与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线与圆：交于两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，
向量在基底下的坐标为，则向量在基底
下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.已知长方体中，，若棱上存在点，使得
，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上
关于原点对称的两个点，若，且,则椭圆的离心率
为（ ）
B. C. D.
二、多选题：（共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的有（ ）
A.若,共线，则∥
B.任意向量满足
C.若是空间的一组基底，且，
则四点共面
D.若为空间四点，且有，
则是三点共线的充要条件
10.下列结论不正确的有（ ）
A.直线在轴上的截距为
B.如果，那么直线不经过第三象限
C.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为
D.直线恒过定点
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，
若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，
的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为 B.的面积可能为
C.的最大值为 D.的最小值为
12.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为
侧面上的一个动点，且∥平面,则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.平面截正方体所得的截面面积为
C.平面将正方体分成的两部分的体积比为7∶16
D.点的轨迹长度为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线，，若，则实数的值为 ▲ ．
14.在正方体中，分别为的中点，则异面直线
与所成角的余弦值为 ▲ ．
15.已知两直线，若直线与
不能构成三角形，则满足条件的实数 ▲ ．（写出一个即可）.
阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼
斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比
，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 ▲ ．
四、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）
17．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，
设，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的长.
18.（本小题满分12分）
已知的顶点，边上的高所在直线方程为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)在下列两个条件中任选一个，求直线的一般式方程.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在直线方程为.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面，，∥，
，，点为棱的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20. (本小题满分12分)
已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若一条光线从点射出，经直线反射后，恰好与圆
相切，求反射后光线所在直线的方程.
21. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，
分别是线段的中点，平面⊥平面.
(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点，
求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
22. (本小题满分12分)
已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.福州市八县(市)协作校2023-2024学年第一学期半期联考
高二数学试卷参考答案
一、单选题 1-8: C D B C B A C D
二、多选题 9.CD 10.BC 11.AC 12.ABD
三、填空题
13. 1或- 1 02 14.
1 0
3 89
15. 1，- ，-4（ 写一个即可） 16.
2 4
四、解答题
17.解：
1 1
（1）AN =AC +CN =AC + CP=AC + (AP- 1 1AC) = AC + AP
2 2 2 2
1 = AB+ 1
1
AD+ AP
2 2 2
1 + 1
+ 1 = a b c 5分
2 2 2
|
（2）由已知，得 a| = |b| = 2,|c | = 4,
2 a = b2= 4,c 2= 16
a b= 2× 2× cos90o= 0， a c = b c = 2× 4× cos60o= 4 7分
|AN | = ( 1 1a+ b+ 1 c )2 8分
2 2 2
1 2 2 2
= a + b + c + 2(a b+ a c +b c ) 9分
2
1
= 4+ 4+ 16+ 2(0+ 4+ 4)
2
= 10
所以AN 的长为 10 10分
·1·
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18.解：
1
（1）AB边上的高所在的直线的方程可化为斜截式 y= x+ 1 1分
2
因此，直线AB的斜率为-2 2分
直线AB的方程为：y- 2=-2(x- 3) 4分
整理可得直线AB的一般式方程为：2x+ y- 8= 0 5分
（ 2）选①
2x+ y- 8= 0, x= 6, 解方程组 得 x+ y- 2= 0. y=-4.
所以A(6,- 4) 7分
设B点关于直线 x+ y- 2= 0对称的点为B (x1,y1)
y 1
- 2
- (-1) =-1,x1 3 x1= 0, 解方程组 得
x 1+ 3 + y 1+ 2 - 2= 0. y1=-1.
2 2
所以B (0,- 1) 10分
易得B 也在直线AC上
-
所以直线AC的方程为: y+ 1= 1+ 4- (x- 0) 11分0 6
整理可得直线AC的一般式方程为：x+ 2y+ 2= 0 12分
选②
10x+ 11y- 16= 0, x= 6,
解方程组 得 2x+ y- 8= 0. y=-4.
所以A(6,- 4) 7分
设C(x2,
x + 3 y + 2
y2) ，则BC中点坐标为 ( 2 , 2 ) 8分2 2
10× x 2+ 3 + ×
y 2+ 211 - 16= 0, x2=-2,
解方程组 2 2 得- + = x2 2y 2 0. y2= 0.2
所以C( -2,0) 10分
0- (-4)
所以直线AC的方程为: y- 0= - - (x+ 2) 11分2 6
整理可得直线AC的一般式方程为：x+ 2y+ 2= 0 12分
·2·
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19（. 1）证明：取PC的中点M，连接ME,BM, 1分
∵M,E分别为棱PC,PD的中点
, = 1 ∴ME DC ME DC
2
又AB , = 1DC AB DC
2
∴ME AB且ME=AB
即四边形ABME是平行四边形 3分
∴AE BM 4分
又AE 平面PBC,BM 平面PBC 5分
∴AE 平面PBC 6分
（ 2）解：∵PA 底面ABCD,AD AB
∴以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的
空间直角坐标系， 7分
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)，
∴AE= (0,1,1), BD= (-1,2,0),PB= (1,0,- 2).
设平面PBD的法向量为n= (x,y,z),则
n BD= 0, -x+ 2y= 0, x= 2y, 即 ∴ n PB= 0. x- 2z= 0. x= 2z.
取 x= 2,则 y= 1,z= 1．所以n= (2,1,1)是平面PBD的一个法向量 9分
设直线AE与平面PBD所成的角为 θ,则
| AE n| |0+ 1+ 1| 3
sinθ= |cos
|= = = 11分|AE||n| 2 × 6 3
即直线AE与平面PBD所成的角的正弦值为 3 12分
3
·3·
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20.解：
（1）设圆C的方程为 (x- a)2+ (y- b)2= r2
因为A(3,0)和B(5,2)都在圆上，圆心 (a,b)在直线 2x- y- 4= 0上
(3- a)
2+ (0- b)2= r2, a= 3
得到方程组 (5- a)
2+ (2- b)2= r2, 解得 b= 2 4分
2a- b- 4= 0. r2= 4
所以，圆C的方程为 (x- 3)2+ (y- 2)2= 4 5分
（2）设M ( -4,- 3)关于直线 x- y- 4= 0的对称点为M (x0,y0)
y 0+ 3 + × 1=-1,x 4 x0= 1
0解方程组 得
x 0- 4 - y 0- 3
- = y0=-8 4 02 2
所以M (1,- 8) 7分
设反射后光线所在的直线为 l
当直线 l斜率不存在时，直线 l的方程为：x= 1,符合题意 8分
当直线 l斜率存在时，设直线 l的方程为：y+ 8= k(x- 1),即 kx- y- k- 8= 0
( , ) = |3k 圆心 3 2 到直线 l的距离为：d - 2 - k - 8 | = 2 9分
k2+ 1
12
解得 k= 10分
5
12 12
所以直线 l的方程为 x- y- - 8= 0,整理得 12x- 5y- 52= 0 11分
5 5
综上所述：反射后光线所在的直线的方程为：x= 1或 12x- 5y- 52= 0 12分
21（. 1）证明：连接AC1
∵四边形C1CAA1是菱形
∴A1C AC1
又D,E分别为AC,CC1的中点
∴DE AC1
∴A1C DE 1分
又△ABC为等边三角形，D 为AC的中点
·4·
{#{QQABJYyUggAAQAJAAAhCAwkACAOQkAGCCIoGAAAIMAIBwQFABAA=}#}
∴BD AC
∵平面ABC 平面C1CAA1，平面ABC ∩平面C1CAA1=AC,BD 平面ABC
∴BD 平面C1CAA1 2分
又A1C 平面C1CAA1
∴BD A1C 3分
又A1C DE,BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE 4分
∴A1C 平面BDE 5分
(2)解：∵AC =CC1= 4,∠ACC1= 60o
∴△C1CA为等边三角形
∵D是AC的中点
∴C1D AC
由（1），得又BD 平面C1CAA1
∴以D为原点，DB,DA,DC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的
空间直角坐标系， 6分
则D(0,0,0),B(2 3,0,0),C1(0,0,2 3),C(0,- 2,0),A1(0,4,2 3)
设C1P= λC1B1(0≤ λ≤ 1),即C1P= λCB= λ(2 3,2,0) = (2 3λ,2λ,0)
∴P(2 3λ,2λ,2 3) 7分
∴DB= (2 3,0,0),DP= (2 3λ,2λ,2 3)
设平面PBD的法向量为n= (x,y,z),则
n DB= 0, 2 3x= 0,
x= 0,
即 ∴ n DP= 0. 2 3λx+ 2λy+ 2 3z= 0. z=- 3 λy.
3
取 y= 3,则 z= λ．所以n= (0, 3,- λ)是平面PBD的一个法向量 8分
由（1）得m=CA1= (0,6,2 3)是平面BDE的一个法向量 9分
|m n| |6 3 - 2 3λ| |3 2
∴| cos |= = =
- λ| = 1 (3 - λ)
|m||n| 4 3 × 3+ λ2 2 3+ λ2 2 3+ 2
10分
λ
令 3- λ= t∈ [2,3],则 λ= 3- t
2 2 2
(3 - λ) = t = t = 1 = 1 + 11分3 λ2 3+ (3- t)2 t2- 6t+ 12 12 - 6 + 1 12( 1 - 1 )2+ 1
t2 t t 4 4
1 ∈ [ 1 , 1 ] ( 1 - 1
2
∵ ∴ 12 )2+ 1 ∈ [ 1 , (3- λ)1] ∴ ∈[1,3]
t 3 2 t 4 4 3 3+ λ2
∴| cos |∈ [ 1 , 3 ]
2 2
1 3
即平面 PBD与平面 BDE的夹角的余弦值的取值范围为 [ , ] 12 分
2 2
·5·
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22.解：
（1）因为点Q是线段FP的垂直平分线上的一点
所以 |QF| = |QP| 1分
因为 |QE| +|QF| = |QE| +|QP| = 2 2 >|EF| = 2
所以点Q的轨迹C是以E,F为焦点的椭圆 2分
其中 a= 2,c= 1,b2= a2- c2= 1 3分
x2
所以点Q的轨迹C的方程为： + y2= 1 4分
2
（2）解法一：
6 6 6 6
（i）当直线AB垂直于 x轴时，不妨设A( , )，B( ,- )，
3 3 3 3
此时OA OB= 0，所以OA OB，故以AB为直径的圆过点O. 5分
（ii）当直线AB不垂直于 x轴时，设直线AB方程为 y= kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2).
因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离为 d= |m | = 6 ，
k2+ 1 3
即 3m2- 2k2- 2= 0. 7分
y= kx+m 由 2 x2 得（2k + 1）x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0，+ y2= 12
-4k 2
所以 x + x = m 2m - 21 2 2+ ，x1x =
2 2+ ， 9分2k 1 2k 1
所以OA OB= x1x2+ y1y2= x1x2+ (k1x+m) (kx2+m) = (1+ k2)x1x2+ km(x + x ) +m21 2 ，
2
=（1+ 2 2m - 2 + ( - 4kmk）（ 2+ ） km 2+ )+m
2，
2k 1 2k 1
2 2 2 2
=（ 1 + k ）（ 2m - 2 ）+ km ( - 4 km ) + m (2 k + 1 )
2k2+ ，1
3m2 2= - 2 k - 22+ = 0 11分2k 1
所以OA OB，故以AB为直径的圆过点O.
综上所述，以AB为直径的圆过定点O. 12分
·6·
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解法二：
（i）当直线AB不垂直于 x轴时，设直线的方程为 y= kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2).
= |m | 6 因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离为 d = ，
k2+ 1 3
即 3m2- 2k2- 2= 0. 6分
y= kx+m 由 x2 得（2k2+ 1）x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0，+ y2= 12
+ = - 4k
2
m = 2m - 所以 x x ，x x 21 2 2+ 1 2 2+ ， 8分2k 1 2k 1
2m
y + y = k(x + x ) + 2m= 1 2 1 2 2k2+ ,1
2 2
y1 y2= (k1x+m) (kx +m) = k22 x1x2+ km(x1+ x2) + 2=
m - 2km
2k2+ 1
2 2
+ = 2m - 2 m - 2k
2
= 3m
2 2
x x y y + - 2 k - 21 2 1 2 2+ 2+ 2+ = 0. 9分2k 1 2k 1 2k 1
设N (x,y)是以AB为直径的圆上的任意一点，由NA NB= 0，
得 (x- x1) (x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0，
化简得 x2+ y2- (x1+ x2)x- (y1+ y2)y+ x1x2+ y1 y2= 0，
4k
故圆的方程为 x2+ y2+ m x- 2m 2+ 2+ y= 0，它恒过定点O. 11分2k 1 2k 1
6 6 6 6
（ii）当直线AB垂直于 x轴时，不妨设A( , )，B( ,- )，
3 3 3 3
此时OA OB= 0，所以OA OB，故以AB为直径的圆过点O.
综上所述，以AB为直径的圆过定点O. 12分
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