北京市朝阳区2023-2024学年高三期中数学试卷（无答案）

2023年北京市朝阳区高三数学期中考试
本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，，则
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
3. 若，则
A. B. C. D.
4. 已知，，，则
A. B. C. D.
5. 函数的图象的一条对称轴是
A. B. C. D.
6. 设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 已知平面内四个不同的点满足，则
A. B. C. D.
8. 已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为. 在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为
A. B. C. D.
9. 已知函数，. 设，若存在，使得，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
10. 已知点集，. 设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数，则的最小正周期是_________.
12. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为_________.
13. 设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为_________.
14. 古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，
他的《天文学大成》包含一张弦表（即不同圆心角的弦长表），
这张表本质上相当于正弦三角函数表. 托勒密把圆的半径等分，
用圆的半径长的作为单位来度量弦长. 将圆心角所对的弦长
记为. 如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于
圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为个单位，
即. 若为圆心角，，则_________.
15. 如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，且，给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②动点的轨迹与没有公共点；
③三棱锥的体积的最小值为；
④平面截该正方体所得截面的面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知是递增的等比数列，其前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式及；
（Ⅱ）若，求的最小值.
17.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.
18.（本小题15分）
如图，在三棱锥中，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
19.（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求在区间上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若，求证：在处取得极小值.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试比较与的大小，并说明理由.
21.（本小题15分）
已知是个正整数组成的行列的数表，当
，时，记. 设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，，使数表得，则称为数表.
（Ⅰ）判断是否为数表，并求的值；
（Ⅱ）若数表满足，求中各数之和的最小值；
（Ⅲ）证明：对任意数表，存在，，使得.
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