第三单元 函数的概念与性质 综合练习(含解析)

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名称 第三单元 函数的概念与性质 综合练习(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-10 15:59:03

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第三单元函数的概念与性质综合练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知是定义在上的偶函数,且对任意,有,当时,,则下列结论错误的是( )
A.是以4为周期的周期函数
B.
C.函数有3个零点
D.当时,
2.设函数,则下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象关于对称,且在上单调递增,设,,,则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知,则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.已知幂函数的图象过点,则( )
A. B. C. D.
6.已知函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.下列函数中,与函数是相等函数的是( )
A. B. C. D.
8.与命题“函数的定义域为”等价的命题不是( )
A.不等式对任意实数恒成立
B.不存在,使
C.函数的值域是的子集
D.函数的最小值大于0
二、多选题
9.已知函数是定义在R上的奇函数,是偶函数,当,则下列说法中正确的有( )
A.函数关于直线对称
B.4是函数的周期
C.
D.方程恰有4不同的根
10.下列命题中是假命题的是( )
A.函数有意义
B.函数的图象是一直线
C.函数是其定义域到值域的对应关系
D.函数的图象是抛物线
11.函数的图象与直线的公共点个数是( )
A.
B.
C.
D.无数个
12.函数的定义域为,对任意的,都满足,下列结论正确的是( )
A.函数在上是单调递减函数 B.
C.的解为 D.
三、填空题
13.高斯,德国著名数学家,物理学家和天文学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子"之美称.函数称为高斯函数,其中表示不超过实数的最大整数,例如:,当时,函数的值域为 .
14.写出一个定义域为R的函数,使得不等式的解集为,该函数 .
15.已知具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①;②;③,其中满足“倒负”变换的函数是 .
16.已知是定义在上的偶函数,若在上是增函数,则满足的实数m的取值范围为 ;若当时,,则当时,的解析式是 .
四、解答题
17.已知,函数.
(1)当,请直接写出函数的单调递增区间和最小值(不需要证明);
(2)记在区间上的最小值为,求的表达式;
(3)对(2)中的,当,恒有成立,求实数的取值范围.
18.已知二次函数是R上的偶函数,且.
(1)设,根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增;
(2)当时,解关于x的不等式.
19.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金(单位:元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求函数的解析式及其定义域.
(2)当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
20.已知定义在R上的函数在上是增函数.为偶函数,且当时,.
(1)求在上的解析式;
(2)若函数与的值域相同,求实数m的值;
(3)令讨论关于x的方程的实数根的个数.
21.已知函数.
(1)用分段函数的形式表示;
(2)画出的图象;
(3)写出函数的值域.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案:
1.B
【分析】根据函数对称性和奇偶性,可得的周期,即可判断A的正误,根据解析式及周期,代入数据,可判断B的正误;分别作出和的图像,即可判断C的正误;根据函数周期及奇偶性,化简整理,可判断D的正误,即可得答案.
【详解】因为,且为偶函数,
所以

故的周期为4,故A正确.
由的周期为4,则,,
所以,故B错误;
令,可得,
作函数和的图像如下图所示,
由图可知,两个函数图像有3个交点,故C正确;
当时,,则,故D正确.
故选:B.
2.B
【分析】化简各选项中的函数解析式,利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.
【详解】由题意可得,
对于A,,
设,对任意的,,函数的定义域为,
,,,函数不是偶函数;
对于B,,
设,对任意的,,函数的定义域为,
,函数为偶函数;
对于C,,
设,对任意的,,函数的定义域为,
,,,函数不是偶函数;
对于D,,
设,对任意的,,
,,则,函数不是偶函数.
故选:B.
3.B
【分析】分析可得,利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为函数的图象关于对称,则,
因为函数在上单调递增,且,
所以,,即.
故选:B.
4.C
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组,即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数,,
故对于函数,有,解得且,
因此,函数的定义域为,
故选:C.
5.D
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求的值
【详解】解:设,则,得,
所以,
所以,
故选:D
6.A
【分析】利用分段函数,将不等式化为具体不等式,即可得出结论.
【详解】解:,
当时,,所以或;
当时,,所以,
所以不等式的解集是,,,
故选:A.
7.B
【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同,二者皆相同即为同一函数,由此得到结果.
【详解】的定义域为;
对于A,定义域为,与定义域不同,不是同一函数,A错误;
对于B,,与定义域相同,解析式相同,是同一函数,B正确;
对于C,定义域为,与定义域不同,不是同一函数,C错误;
对于D,,与解析式不同,不是同一函数,D错误.
故选:B.
8.D
【分析】利用等价命题的定义进行分析判断即可.
【详解】因为函数的定义域为,
不等式对任意实数恒成立;
不存在,使;
函数的值域是的子集;
函数的最小值大于等于;
故选:D.
9.ABD
【分析】根据奇偶性的定义,结合函数的对称性,即可判断A的正误;根据题意,结合函数的周期性,可判断B的正误;根据函数的周期性,结合解析式,即可判断C的正误;分别作出和的图象,即可判断D的正误,即可得答案.
【详解】对于A:因为是偶函数,
所以,即
所以关于对称,故A正确.
对于B:因为,
所以,
所以,即周期,故B正确
对于C:
所以,故C错误;
对于D:因为,且关于直线对称,
根据对称性可以作出上的图象,
又,根据对称性,可作出上的图象,
又的周期,
作出图象与图象,如下图所示:
所以与有4个交点,故D正确.
故选: ABD
10.ABD
【分析】求出的取值范围可判断A选项的正误;由函数图象的特征可判断BD选项的正误;利用函数定义域与值域的关系可判断C选项的正误.
【详解】A选项,且,不存在,A错;
B选项,函数的图象是由离散的点组成的,B错,
C选项,函数是其定义域到值域的对应关系,C对,
D选项,函数的图象是由两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线,D错.
故选:ABD.
11.AB
【分析】按照函数的定义域中是否含有元素分类讨论,结合函数的概念可得答案.
【详解】当函数的定义域中含有元素时,根据函数的概念可知,存在且唯一,则函数的图象与直线的公共点个数是;
当函数的定义域中不含有元素时,函数的图象与直线的公共点个数是.
故选:AB.
12.BC
【分析】由,可得,所以可判断出在上为增函数,然后逐个分析判断即可
【详解】解:由,得,
所以在上单调递增,所以错,
因为为上的递增函数,所以,所以对,
因为在上为增函数,,所以对
函数上为增函数时,不一定有,如在上为增函数,但,所以不一定成立,故错.
故选:
13.
【分析】根据定义域,求得的范围,根据所给定义,逐步分析,即可得答案.
【详解】由,则,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,.
所以函数值域为.
故答案为:
14.(不唯一)
【分析】根据函数图象的平移可知的解,再根据函数的零点及增减性构造函数即可求解.
【详解】将的图象向右平移1个单位可得到的图象,
故的解集为,
故可取函数.
故答案为:(不唯一)
15.①③
【分析】验证①②③中的函数是否满足,由此可得出结论.
【详解】对于①,,该函数的定义域为,
对任意的,,满足条件;
对于②,,该函数的定义域为,
对任意的,,不满足条件;
对于③,因为,当时,,则,
当时,,,
当时,.
所以,对任意的,.
综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为:①③.
16.
【分析】根据偶函数以及增函数的性质可得,解此不等式可得答案;当时, ,根据奇函数的性质可得答案.
【详解】∵是定义在上的偶函数,若在上是增函数,
∴不等式等价为,
即得,得,
若,则,
则当时,,
则当时,,
故答案为:(1),(2)
【点睛】本题考查了利用奇偶性和单调性解不等式,考查了根据奇函数性质求函数解析式,属于基础题.
17.(1)递增区间为,.
(2).
(3)
【分析】(1)当时,函数去绝对值,利用分段的形式写出函数的表达式,根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.
(2)函数去绝对值,利用分段的形式写出函数,讨论的取值范围,求解函数的单调性,进而求出最小值的表达式;
(3)构造函数,只需即可,讨论的取值范围,求解函数的单调性,进而求出函数最大值即可.
【详解】(1)解(1)当时,,
即,则,
故函数的递增区间为,递减区间为,.
(2)由题可知,
当时,在上递减,在递增,则;
当时,在上递减,则,
综上:.
(3)(3)令,只需,
当,且时,,在上单调递减,
∴,
当时,,在上单调递增,
∴;
当时,,在上递减,∴,
综上可知,,所以.
18.(1)证明见解析;(2)答案见解析.
【分析】(1)先用待定系数法求出,进而求出,再用定义法证明即可.
(2)先化简不等式,然后对参数进行讨论.
【详解】(1)设
由题意得,,解得.
.

设且,
则.
由,得.于是,即,
所以函数在区间上单调递增.
(2)原不等式可化为.因为,故.
①当,即时,得或.
②当,即时,得到,所以;
③当,即时,得或.
综上所述,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
【点睛】本题考查了函数的单调性的证明,解含参不等式,分类讨论是常用的方法,需要熟练掌握.
19.(1);(2)当每辆自行车的日租金定在11元时,一日的净收入最多.
【解析】(1)分和两种情况求函数的解析式,并且利用总收入高阳管理费用,求函数的定义域;(2)根据(1)分段求函数的最大值,再比较最大值.
【详解】解:(1)当时,,令,解得.
∵,∴,∴,.
当时,,
令,得,
上述不等式的整数解为,
所以,
所以.
(2)对于,
显然当时,(元),
对于,
当时,(元).
因为,
所以当每辆自行车的日租金定在11元时,一日的净收入最多.
【点睛】思路点睛:本题考查分段函数的应用,关键是读懂题意,尤其是当时,计算出租自行车的数量是关键,
20.(1);(2);(3)当时,方程有两个实数根;当时,方程仅一个实数根.
【分析】(1)利用为偶函数即可求解析式;(2)根据二次函数、指数函数求值域,结合已知即可求m的值;(3)由,分类讨论m确定的零点情况即可;
【详解】(1)当时,则,而为偶函数,有.
(2)∵函数在上单调递增,
∴,且的值域为.
当时,,由是偶函数,
∴的值域为.
由题意知:.令,易知在上单调递增,且;
∴.
(3)由(2)有,令,
①当时, ,此时仅有一个零点.
②当时,,此时仅有一个零点.
③当时,在中,故无零点;在中单调增,而,,
∴故此时,使,即仅有一个有,.
④当时,在中,零点有,故有两个零点;在中单调增,而,即无零点;
综上所述,当时,方程有两个实数根;当时,方程仅一个实数根.
【点睛】本题考查了函数,利用函数的奇偶性求解析式,根据二次函数、指数函数确定值域结合已知条件求参数,将方程根的个数问题转化为函数的零点问题,应用分类讨论的方法研究函数的零点;
21.(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】(1)直接去绝对值写出分段函数解析式;
(2)根据函数解析式作出分段函数图象;
(3)由图可得函数值域.
【详解】(1)解:
(2)解:的图象如下图所示:
(3)解:由图可知,的值域为.
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