第三单元 函数的概念与性质 综合练习（含解析）

第三单元函数的概念与性质综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
2．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（ ）
A．不等式对任意实数恒成立
B．不存在，使
C．函数的值域是的子集
D．函数的最小值大于0
二、多选题
9．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
10．下列命题中是假命题的是（ ）
A．函数有意义
B．函数的图象是一直线
C．函数是其定义域到值域的对应关系
D．函数的图象是抛物线
11．函数的图象与直线的公共点个数是（ ）
A．
B．
C．
D．无数个
12．函数的定义域为，对任意的，都满足，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上是单调递减函数 B．
C．的解为 D．
三、填空题
13．高斯，德国著名数学家，物理学家和天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子"之美称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：，当时，函数的值域为 .
14．写出一个定义域为R的函数，使得不等式的解集为，该函数 ．
15．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是 .
16．已知是定义在上的偶函数,若在上是增函数,则满足的实数m的取值范围为 ;若当时,,则当时,的解析式是 .
四、解答题
17．已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．
18．已知二次函数是R上的偶函数，且.
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式.
19．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金(单位：元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用(单位：元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
（1）求函数的解析式及其定义域.
（2）当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
20．已知定义在R上的函数在上是增函数．为偶函数，且当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若函数与的值域相同，求实数m的值；
（3）令讨论关于x的方程的实数根的个数．
21．已知函数．
(1)用分段函数的形式表示；
(2)画出的图象；
(3)写出函数的值域．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故A正确．
由的周期为4，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：B．
2．B
【分析】化简各选项中的函数解析式，利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.
【详解】由题意可得，
对于A，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于B，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，函数为偶函数；
对于C，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于D，，
设，对任意的，，
，，则，函数不是偶函数.
故选：B.
3．B
【分析】分析可得，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为函数的图象关于对称，则，
因为函数在上单调递增，且，
所以，，即.
故选：B.
4．C
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，
故对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为，
故选：C.
5．D
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
6．A
【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
7．B
【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.
【详解】的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.
故选：B.
8．D
【分析】利用等价命题的定义进行分析判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，
不等式对任意实数恒成立；
不存在，使；
函数的值域是的子集；
函数的最小值大于等于；
故选：D.
9．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
10．ABD
【分析】求出的取值范围可判断A选项的正误；由函数图象的特征可判断BD选项的正误；利用函数定义域与值域的关系可判断C选项的正误.
【详解】A选项，且，不存在，A错；
B选项，函数的图象是由离散的点组成的，B错，
C选项，函数是其定义域到值域的对应关系，C对，
D选项，函数的图象是由两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线，D错.
故选：ABD.
11．AB
【分析】按照函数的定义域中是否含有元素分类讨论，结合函数的概念可得答案.
【详解】当函数的定义域中含有元素时，根据函数的概念可知，存在且唯一，则函数的图象与直线的公共点个数是；
当函数的定义域中不含有元素时，函数的图象与直线的公共点个数是.
故选：AB.
12．BC
【分析】由，可得，所以可判断出在上为增函数，然后逐个分析判断即可
【详解】解：由，得，
所以在上单调递增，所以错，
因为为上的递增函数，所以，所以对，
因为在上为增函数，，所以对
函数上为增函数时，不一定有，如在上为增函数，但，所以不一定成立，故错．
故选：
13．
【分析】根据定义域，求得的范围，根据所给定义，逐步分析，即可得答案.
【详解】由，则，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
所以函数值域为.
故答案为：
14．（不唯一）
【分析】根据函数图象的平移可知的解，再根据函数的零点及增减性构造函数即可求解.
【详解】将的图象向右平移1个单位可得到的图象，
故的解集为，
故可取函数.
故答案为：（不唯一）
15．①③
【分析】验证①②③中的函数是否满足，由此可得出结论.
【详解】对于①，，该函数的定义域为，
对任意的，，满足条件；
对于②，，该函数的定义域为，
对任意的，，不满足条件；
对于③，因为，当时，，则，
当时，，，
当时，.
所以，对任意的，.
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为：①③.
16．
【分析】根据偶函数以及增函数的性质可得，解此不等式可得答案；当时， ，根据奇函数的性质可得答案.
【详解】∵是定义在上的偶函数,若在上是增函数,
∴不等式等价为,
即得,得,
若,则,
则当时,,
则当时,,
故答案为：（1）,（2）
【点睛】本题考查了利用奇偶性和单调性解不等式，考查了根据奇函数性质求函数解析式，属于基础题.
17．(1)递增区间为，.
(2).
(3)
【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.
（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；
（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.
【详解】（1）解（1）当时，，
即，则，
故函数的递增区间为，递减区间为，.
（2）由题可知，
当时，在上递减，在递增，则；
当时，在上递减，则，
综上：．
（3）（3）令，只需，
当，且时，，在上单调递减，
∴，
当时，，在上单调递增，
∴；
当时，，在上递减，∴，
综上可知，，所以．
18．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）先用待定系数法求出，进而求出，再用定义法证明即可.
（2）先化简不等式，然后对参数进行讨论.
【详解】（1）设
由题意得，，解得.
.
，
设且，
则.
由，得.于是，即，
所以函数在区间上单调递增.
（2）原不等式可化为.因为，故.
①当，即时，得或.
②当，即时，得到，所以；
③当，即时，得或.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，解含参不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.
19．（1）；（2）当每辆自行车的日租金定在11元时，一日的净收入最多.
【解析】（1）分和两种情况求函数的解析式，并且利用总收入高阳管理费用，求函数的定义域；（2）根据（1）分段求函数的最大值，再比较最大值.
【详解】解：（1）当时，，令，解得.
∵，∴，∴，.
当时，，
令，得，
上述不等式的整数解为，
所以，
所以.
（2）对于，
显然当时，(元)，
对于，
当时，(元).
因为，
所以当每辆自行车的日租金定在11元时，一日的净收入最多.
【点睛】思路点睛：本题考查分段函数的应用，关键是读懂题意，尤其是当时，计算出租自行车的数量是关键，
20．（1）；（2）；（3）当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．
【分析】（1）利用为偶函数即可求解析式；（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求m的值；（3）由，分类讨论m确定的零点情况即可；
【详解】（1）当时，则，而为偶函数，有．
（2）∵函数在上单调递增，
∴，且的值域为．
当时，，由是偶函数，
∴的值域为．
由题意知：．令，易知在上单调递增，且；
∴．
（3）由（2）有，令，
①当时， ，此时仅有一个零点．
②当时，，此时仅有一个零点．
③当时，在中，故无零点；在中单调增，而，，
∴故此时，使，即仅有一个有，．
④当时，在中，零点有，故有两个零点；在中单调增，而，即无零点；
综上所述，当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．
【点睛】本题考查了函数，利用函数的奇偶性求解析式，根据二次函数、指数函数确定值域结合已知条件求参数，将方程根的个数问题转化为函数的零点问题，应用分类讨论的方法研究函数的零点；
21．(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）直接去绝对值写出分段函数解析式；
（2）根据函数解析式作出分段函数图象；
（3）由图可得函数值域．
【详解】（1）解：
（2）解：的图象如下图所示：
（3）解：由图可知，的值域为．
答案第1页，共2页
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