二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
树德中学高 2022级高二上学期半期考试数学试题 对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
命题人：肖兵 审题人：叶强、杨世卿、严芬 9.下列选项正确的是 ( )
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 A. 若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行
求的. B. 若直线 a
2x- y+ 1= 0与直线 x+ ay- 2= 0垂直，则 a= 0
1 a ．空间向量 = 1, -1,1 ，b= 1,3,x ，若 a b，则实数 x= ( ) C. 若直线 ax+ 2y- 1= 0与直线 8x+ ay+ 2- a= 0平行，则 a=-4
A. 1 B. - 2 C. 0 D. 2 D. 若直线 l的一个方向向量是 e
= -1, 3 π ，则直线 l的倾斜角是 3
2. 已知直线的方程为 xsinα- y+ 2= 0,(α∈R)，则该直线的倾斜角 θ的取值范围是 ( ) 10．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD= 4,CD=AD= 2，
, π ∪ π , 3π 3π π 3π , π ∪ 3π , M ,N分别为PA,PC的中点，G为线段PB上的动点，则 ( )A. 0 4 2 4 B. 0，4 C. 4 ，4 D. 0 4 4 π A. 四面体N-BCD每个面都是直角三角形
3.已知圆A的方程为 x2+ y2- 4x- 2y+ 1= 0，圆B的方程为 x2+ y2+ 2x- 10y+ 26-m= 0，若圆A B. DG⊥MN
与圆B外切，则m的值为 ( ) C. 当点G异于P点时，AC∥平面MNG
A. 1 B. 9 C. 10 D. 16
D. 直线PB 2和平面DAC所成角的正切值为 2
4．在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中，AC=AB= 2，AC⊥AB，且CC1=
11．点P x ,y 2 20 0 是圆C：x + y - 8x- 6y+ 21= 0上的动点，则下面正确的有 ( )
2 ∠A AB=∠A AC= π， 1 1 3 ，则线段BC1的长度是 ( ) y
A. 圆的半径为 3 B. 0 既没有最大值，也没有最小值
A. 2 3 B. 3 C. 3 D. 4 x0- 3
5．在棱长为 2的正方体ABCD-A B C D 中，M ,N分别是棱AB,BC上的动点，且BN=AM ,当三棱 C. 2x0+ y0的范围是 11- 2 5，11+ 2 5 D. x
2
0+ y20+ 2x0+ 3的最大值为 72
1 1 1 1
锥B1-MNB的体积最大时，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值为 ( ) 12．已知圆C: x- k
2 + y- 2k+ 3 2 = 4 k∈R ，点P 2t,4t- 10 ， t∈R .过点P作圆C的两条切线
2 2 5 5 PA,PB,A,B为切点，则下列说法正确的有 ( )A. 3 B. - 3 C. 3 D. - 3 A. 当 k= 1时，不存在实数 t,使得线段AB的长度为整数
6．已知圆C : x+ 3 2 + y- 5 21 = 1，圆C2: x- 6 2 + y- 3 2 = 4，M，N分别是圆C1，C2的动点，P为
B. 若M是圆C上任意一点，则PM 7 5的最小值为
直线 x- y- 6= 0上的动点，则 PM + PN 的最小值为 ( ) 5
C. 当 k=-1时，不存在点P，使得△PAB的面积为 1
A. 6 B. 10 C. 13 D. 16
D. 当 k=-1且 2t∈N时，若在圆C上总是存在点Q，使得∠CPQ= π6 ，则此时 t∈
1
7．在Rt△ABC中，AB=BC= 2 2 ,D为AC的中点．将△ABD沿BD进行旋转，得到三棱锥C-
2 ,1
ABD 2π，当二面角A-BD-C为 时，C-ABD的外接球的表面积为 ( ) 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.3 13．已知直线 l:3x- y- 6= 0与圆C:(x- 1)2+ (y- 2)2= 5，则直线 l被圆C所截得的弦长为 .
A. 16π B. 40 32 3 π C. 20π D. 3 π 14．在三棱锥P-ABC中，N在线段PA上，满足PA= 3PN ,M是平面ABC内任意一点，4PM =
8．已知正方体ABCD-A B C D 的边长为 1，点C 关于平面ABCD对称的点为C ，矩形AA CC 内 5PN + xPB+ 2PC,则实数 x= . 1 1 1 1 1 2 1 1
(包括边界) 的点P满足PC1⊥PC2，记直线AP与平面ABCD所成线面角为 θ.当 θ最大时，过直线AP 15．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点 (x0,y0,z0)，且以向量n= (a,b,c) (abc≠ 0)为方向向量，则
做平面 α平行于直线BD，则此时平面 α截正方体所形成图形的周长为 ( ) x- x0 = y- y0 = z- z这条直线可以用方程 0a c 来表示，已知直线 l的方程为 x- 2= y- 4= 2z，则点Pb
A. 2 2+ 2 3+ 2 B. 2 2+ 2 3 C. 2 2+ 2 3- 2 D. 2 3- 2 (4,4,2)到直线 l的距离为 .
16.如图，在△ABC中，AC= 2 2 ,BC= 6，CA BC =-12,过AC中点
M的动直线 l与线段AB交于点N，将△AMN沿直线 l向上翻折至
△A1MN，使得点A1在平面BCMN内的射影H落在线段BC上，则斜线
A1M与平面BCMN所成角的正弦值的取值范围为_______．
高二数学 2023-11半期 第1页 共2页
四、解答题：本题共 6小题，第 17小题 10分，其余小题每题 12分，共 70分.解答题应写出文字说明、证明 20．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是边长为 3的正三角形，BC⊥CD，BC=CD，PD⊥AB，
过程或演算步骤. 平面PBD⊥平面ABCD．
17．已知点A -2,0,2 、B -1,1,2 、C -3,0,4 ，a=AB，b=AC． (1)求证：PD⊥平面ABCD；
(1) c = 6 c= λCB c (2)若PD= 4，求二面角C-PB-D的平面角的正切值．若 ，且 ，求 的坐标；
(2)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积．
18．已知直线 l1经过A -2, -8 ，B 3,2 两点，l1⊥ l2， 6,3 ∈ l2． 21．如图，菱形ABCD的边长为 4，∠BAD= 60°，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使A到达
(1)求直线 l1和直线 l2的一般式方程； A ，连接A B，A C，得到四棱锥A -BCDE．
(2)已知直线 l3经过直线 l1与直线 l2的交点，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的 4倍，求直线 l3的一 (1)证明：DE⊥A B；
般式方程.
(2) A -DE-B π , 3π当二面角 的平面角在 内变化时，求直线A C与平面A 4 4 DE所成角的正弦值的
最大值.
19．如图所示，有一个矩形坐标场地ABCD(包含边界和内部，A为坐标原点)，AD长为 8米，在AB边
上距离A点 4米的F处放置一个行走仪，在距离A点 2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为
v，行走仪行走速度为 2v，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么行走仪
将被机器人捕获，称点M叫捕获点．
22．已知圆O:x2+ y2= 4和点M (2,4).
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程.
(2)点N是圆O上任意一点，S在线段NM的延长线上，且点M是线段SN的中点，求S点运动的轨迹E
的方程.
(3)设圆O与 x轴交于C,D两点，线段MO上的点T上满足 16TC DT =CM MD,若T∈直线 l,且直
线 l与 (2)中曲线E交于A,B两点,满足TA= 3AB.试探究是否存在这样的直线 l,若存在，请说明理由
(1)求在这个矩形场地内捕获点M的轨迹方程；
并写出直线 l的斜率，若不存在，请说明理由.
(2)若N为矩形场地AD边上的一点，若行走仪在线段FN上都能逃脱，问：N点的位置应在何处？
高二数学 2023-11半期 第2页 共2页树德中学高 2022级高二上学期半期考试数学试题答案 2x- y- 4= 0联立 + - =
x= 4
x 2y 12 0 y= 4 , ∴交点坐标是 4,4
选填参考答案：1-8:D D B A A B C C 由题意知 4,4 ∈ l3
9-12:AC BC BC ACD i 当直线 l3在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的 4倍且为 0时,即 0,0 ∈ l3
此时 l3的方程为 x- y= 0 8分
13-16: 10 1 2 0, 2 2 ii 当直线 l3在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的 4倍且不为 0时3 5 y
此时可设直线 l3的方程为
x
4a + a = 1 a≠ 0 , ∵ 4,4 ∈ l3, ∴
4 + 4 = 1
四、解答题：本题共 6小题，第 17小题 10分，其余小题每题 12分，共 70分.解答题应写出文字说明、证 4a a
可得 a= 5,满足条件，此时 l3的方程为 x+ 4y- 20= 0
明过程或演算步骤. 综上，l3的方程为 x- y= 0或 x+ 4y- 20= 0 … 12分
17．已知点A -2,0,2 、B -1,1,2 、C -3,0,4 ，a =AB，b=AC． 2
19
4 16 4
．【答案】(1)x2+
y- 3 = 9 0≤ x≤ 3
(1)若 c = 6，且 c= λCB，求 c的坐标；
(2)P
4 3
的横坐标范围为 ,8 即可逃脱.
答案：c= 4,2, -4 或 c= -4, -
2,4 3
(1)分别以AD，AB为 x，y轴，建立平面直角坐标系，则E 0,2 ，F 0,4 ，CB= 2,1, -2 ,c= λCB= 2λ,λ, -2λ
c = 2λ 2+ λ2+ -2λ 2= 3 λ = 6 MF ME, = x
2+ y- 2 2 x2+ y- 4
2
设捕获点M x y ，可得 2v v ，即 = ，∴ λ= 2或 λ=-2 v 2v
2∴ c= 4,2, -4 或 c = -4, -2,4 x2+ y- 4 = 165分 化简得 3 9 ，因为点M需在矩形场地内，
(2)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积． 4 4 2 16 4
所以 0≤ x≤ 3 ，故所求轨迹方程为 x
2+ y- 3 = 9 0≤ x≤ 3 ． 6 分（不写范围得 4答案：3
分）
a b
a= 1,1,0 ,b= 1,0,2 ,a b= 1,cos a ,b = 1
a
= 4
b 10 (2) FP (1) sin∠AFP= 3 = 1 当线段 与 中圆相切时，则 ，
∴ sin a
,b 4 2 = 3 4-
10 3
∴S= a b sin a,b = 3 10分 所以∠AFP= 30°，所以 AP = 4tan30° = 4 33 ，
18 12 5．已知直线 l1经过A -2, -8 ，B 3,2 两点，l1⊥ l2，原点到直线 l2的距离为 5 ，且 l2经过第一象 若行走仪在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是 4 3 3 ,8 ． 12分
限．
( ) 20． (1)连接AC交BD于点O，由平面几何知识易知AC⊥BD，1 求直线 l1和直线 l2的一般式方程；
又平面ABCD⊥平面PBD，BD是交线，AC 平面ABCD，
答案：由题意可得：直线 l1的一般式方程为 2x- y- 4= 0 ∴AC⊥平面PBD，又PD 平面PBD，
∵ l1⊥ l2, ∴可设 l2的方程为 x+ 2y+m= 0
∵ 6,3 ∈ l ∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB=A，AC,AB 平面ABCD，2
∴m=-12 ∴PD⊥平面ABCD； 4分（不写AC∩AB=A得 3分）
∴ l2的方程为 x+ 2y- 12= 0 (2)如图，以O为坐标原点，OC为 x轴，OD为 y轴，建立如图空间直角坐标系，
l :2x- y- 4= 0
综上：1l :x+ 2y- 12= 0 5分 PD= 4，则C 32 ,0,0 ,D 0,
3
2 ,0 ,B 0, -
3
2 ,0 ,P 0,
3
2 ,42
(2)已知直线 l3经过直线 l1与直线 l2的交点，且在 x轴上的截距是在 y轴上的截距的 4倍，求直线 l 的 3 3 3 易知n1= 1,0,0 是平面PBD的一个法向量，BC =
一般式方程． 2
, 2 ,0 ,BP= (0,3,4)
设n2= (x,y,z)是平面PBC的一个法向量
n BC 3 3
则
2 = 0 x+ y= 0 ，即 2 2 ，取n2= (-4,4, -3)n2 BP= 0 3y+ 4z= 0
∴ , = n 1 ncos n n 2 = -41 2 = -4 41 10分
n1 n2 1× 41 41
∵二面角C-PB-D的平面角为锐角
数学参考答案第1页 ·共2页
4 41 22．已知圆O:x2 2∴二面角C-PB-D的平面角的余弦值为 11分 + y = 4和点M (2,4).41 (1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
∴ 5二面角C-PB-D的平面角的正切值为 4 . 12分 (2)点N是圆O上任意一点，S是线段NM的延长线上，且点M是线段 SN的中点，求 S点运动的轨迹
21．如图，菱形ABCD的边长为 4，∠BAD= 60°，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使A到达 E的方程.
A，连接AB，AC，得到四棱锥A -BCDE． (3)设圆O与 x轴交于C,D两点，线段MO上的点T上满足 16TC DT =CM MD,若T∈直线 l,且
( ) 1 证明：DE⊥A B； 直线 l与 (2)中曲线E交于不同的A,B两点,满足TA= 3AB.试探究是否存在这样的直线 l,若存在，请说明
(2)当二面角A -DE-B π 3π的平面角在 4 , 4 内变化时，求直线A
C与平面A DE所成角的正弦值的 理由并求出直线 l的斜率，若不存在，请说明理由.
(1)当斜率不存在时，显然 x= 2与圆O:x2+ y2= 4相切；
最大值．
【详解】(1)由题意证明如下， 当斜率存在时，设切线为 y= k(x- 2) + 4，由圆心到切线的距离为 2，
在菱形ABCD中，E为AB的中点，∠BAD= 60° ∴ |4- 2k|， = 2 3 3，解得 k= 4 ，则 y= 4 (x- 1) + 4，整理得 3x- 4y+ 13= 0.2
∴DE⊥ 1+ kAB，
综上，切线方程为 x= 2和 3x- 4y+ 13= 0. 3分（只写一条直线得 2分）在翻折过程中，恒有DE⊥AE，DE⊥BE，
(2) 设点S(x,y)，点N (x0,y0)，点M (2,4)且点M是线段SN的中点又AE∩BE=E，AE,BE 平面A BE，
x+ x0
∴DE⊥平面A BE， 2= 2 x0= 4- x
而A B 平面A
∴
BE， = y+ y 0 ，由题意，点N是圆O上任意一点4 y0= 8- y
∴DE⊥A B 24分（漏写相交得 3分）
∴ x2+ y2= 4，即 4- x 2
( ) ( ) 0 0
+ 8- y 2 = 4，符合题意
2 由题意及 1 得，
π 3π ∴S点运动的轨迹E的方程为 x- 4
2 + y- 8 2 = 4 6分
∠A EB为二面角A -DE-B的平面角，记其为 θ，则 θ∈ , 4 4 ， (3)由题设，T(1,2).若存在 l，由题意可不妨设 l的方程为 y- 2= k(x- 1)，由题意分析可得 k为正数.
以EB的方向为 x轴的正方向，ED的方向为 y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， y- 2= k(x- 1)联立 (1+ k2)x22 2 - (2k2+ 12k+ 8)x+ k2+ 12k+ 48= 0
则E 0,0,0 ，A 2cosθ,0,2sinθ ，D 0,2 3 ,0 ，C 4,2 3 ,0 ， x- 4 + y- 8 = 4
2
EA = 2cosθ,0,2sinθ ，ED= 0,2 3 ,0 ， △=-5k + 36k- 32> 0 (i) 8分
2xcosθ+ 2zsinθ= 0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),2≤ x1< x2.
设平面A DE的法向量n= x,y,z ，则EA n=ED n= 0，得 2 3y= 0, 由求根公式
2 2
令 x= sinθ ，得n= sinθ,0, -cosθ ，A C = 4- 2cosθ,2 3 , -2sinθ ， x = 2k + 12k+ 8- -5k + 36k- 32
1 ,2(1+ k2)
cos A C, = AC nn = 4sinθ = sinθ = 1则 ，
2
- - - 2k + 12k+ 8+ -5k
2+ 36k- 32
A C n 32 16cosθ 2 cosθ 2 cosθ x2= 2 10分
1- cos2θ 2(1+ k )
4x1= 3x2+ 1
令 t= 2- cosθ θ∈ π , 3π t∈ 2- 2， ，得 ,2+
2 TA= 3AB = + 由此可进一步推知：7 -5k
2+ 36k- 32= 12k+ 6 (ii)
4 4 2 2 4y1 3y2 2
cos A C,n 1 1 = = = - 3t + t + 4≤ 4- 2 3 = 3- 1，
(ii)在(i)的限制下有解，故存在这样的直线 l 11分
t 1
l k= 810- 28 41 810+ 28 41-3+ 4t- t2 3 并且可以解得直线 的斜率 或 k= 12分- t + t + 4 389 389
当且仅当 t= 3 时，等号成立
设直线A C与平面A DE所成角为 α，
则 sinα= cos A C,n 2 2 ，∵ 3 ∈ 2- 2 ,2+ 2
故直线A C与平面A DE所成角的正弦值的最大值为 3- 1 12分（不写取等条件得 11分）
数学参考答案第2页 ·共2页
