3.1函数的概念与性质 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1函数的概念与性质 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 872.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-10 16:15:49 | ||
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文档简介
3.1函数的概念与性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则图像与x轴交点的个数是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象与轴有四个不同的交点
B．当时，
C．不等式的解集为
D．对于任意，，若，则的最大值为2
5．下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
7．已知函数是定义在区间上的奇函数，且对，当 时，总有，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．，都有
D．与图象所有交点的横坐标之和为
10．定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
11．设函数的定义域为D，，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知为偶函数，为奇函数，且满足，若方程有解，则实数m的取值范围是 .
14．设函数的定义域为，且，，则 ．
15．函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的最大值是 ．
16．已知函数函数的值域为 ，若且互不相等，则的范围为 ．
四、解答题
17．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
(2)若，求的取值范围．
18．已知函数是定义在上的函数，且的图象经过点．
(1)求的表达式；
(2)用单调性定义证明函数在上为增函数；
19．已知二次函数满足．
(1)求的解析式；
(2)设函数，判断在上的单调性，并用定义法证明．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)确定函数的解析式；
(2)已知函数在上是增函数，求不等式的解集.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且，
由在上递减，在上递增，
又的最小值为，故且，
综上，.
故选：A
2．A
【分析】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解.
【详解】由题意知，函数为偶函数，可得，
结合函数在上的图象，可得，
所以.
故选：A.
3．B
【分析】令，分类讨论进行求解即可.
【详解】令，
当时，由，显然无实数根；
当时，由，舍去，
综上所述图像与x轴交点的个数是，
故选：B
4．D
【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围.
【详解】当时，.
对于A,当时，令可得或，
所以或，
由函数是定义在的偶函数可得，，
故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确;
对于B,设，则，，
设，则，，
当时，，B不正确;
对于C,当时，令，则或，
所以或，，
由函数是定义在的偶函数可得，当时，，
综上：不等式的解集为，C错误;
对于D,不妨设，则，
①当时，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：对于任意的，，若，则，D正确，
故选：D
5．C
【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.
【详解】对于A：定义域都为，，，值域不同，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：定义域为，定义域为，
且，C正确；
对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，
故选：C
6．B
【分析】分，，，结合二次函数的单调性与基本不等式即可求解.
【详解】当时，在区间上单调递减，则，
所以，没有最大值，舍去；
当时，抛物线的对称轴为.
当时，据题意，可得，即.
.
当且仅当且，得，等号成立；
当时，抛物线开口向下，据题意得，，即..
当且仅当且，得，故应舍去.
要使得取得最大值，应有.
因为在上单调递减.
所以.
综上所述，的最大值为18.
故选：B.
7．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为，当 时，总有,
所以在为增函数，
不等式 ，
即
又因为函数 是定义在区间上的奇函数，
所以，
所以，
所以
所以，
解得
所以不等式 的解集为.
故选：D.
8．A
【分析】由得当是的值域的倍，然后利用分段函数值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.
【详解】解：由，可知，，， ，
所以当，对应就是的值域的倍，
由分段函数可以得，在，值域为；，值域为
可知当时，的值域为，
故对应值域为
对于恒成立，
可得，解得，，
故选：A．
9．ACD
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
10．BCD
【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；
是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；
所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错；
又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
11．ACD
【分析】根据“美丽函数”的定义可知f（x）的值域关于原点对称，即可结合选项求解函数值域，即可.
【详解】解：根据题意，，使得成立，
说明f（x）的值域关于原点对称，故“美丽函数”就是值域关于原点对称的函数．
对于A，函数的值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，A正确；
对于B，函数的值域为，不关于原点对称，故它不是“美丽函数”，B不正确；
对于C，函数的值域为，关于原点对称，故它是“美丽函数”，C正确；
对于D，函数的图象如下：故由图可知值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，D正确．
故选：ACD．
12．BC
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
13．
【分析】先将的替换为，然后解方程组求出和，带入，然后将表示出来，通过换元法，利用基本不等式求最值即可得答案.
【详解】为偶函数, ,
又为奇函数，，
由①得，
即②，
由①②得，
则方程为，
整理得
当，即时，方程为，方程无解；
当，即时，方程为，
令且，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
14．512．
【分析】根据得，由可依次递推得到.
【详解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：512．
15．/.
【分析】根据题意求出在，，上的解析式，画出函数图象，结合图象可求得结果.
【详解】因为，且当时，．
所以当时，，则，
当时，，则
，
当时，，则
，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，对任意，都有，必有，
所以m的最大值是，
故答案为：
16．
【分析】利用分段函数的性质，分和求解；作出函数的图象，由图象得到求解.
【详解】解：当时， ，
当 时， ，所以 ，
作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
所以，
故答案为：，
17．(1)单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据单调性定义，取且，应用作差法比较大小即可证；
（2）由函数的单调性和奇偶性列不等式组求参数范围.
【详解】（1）函数在上单调递增．
证明：任取且，
所以
，
因为，所以，
所以，即，故函数在上单调递增．
（2）由函数是定义在上的奇函数且，
则， 又函数在上单调递增．
所以，解得， 所以的取值范围是.
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）直接将点代入求出参数，即可求出函数解析式；
（2）利用单调性的定义证明函数单调性即可.
【详解】（1）将点代入可得，解得，
所以；
（2）设是区间上的任意两个数，且，则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为增函数.
19．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式为；
（2）根据单调性的定义按照取值、作差、变形定号、得出结论的步骤即可证明.
【详解】（1）设，
则，，
故．
因为，所以，
解得，，，
所以．
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）可得．
设，则
．
因为，所以，，所以，
所以，所以，
即，
故在上单调递增．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件列出方程组，求解即可；
（2）利用函数是奇函数变形不等式，根据函数单调性，列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，所以，
此时，满足奇函数的定义.
故
（2），，
是定义在上的增函数，
，解得，
所以不等式的解集为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则图像与x轴交点的个数是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数是定义在的偶函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象与轴有四个不同的交点
B．当时，
C．不等式的解集为
D．对于任意，，若，则的最大值为2
5．下列各组中的函数表示同一个函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
7．已知函数是定义在区间上的奇函数，且对，当 时，总有，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．，都有
D．与图象所有交点的横坐标之和为
10．定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
11．设函数的定义域为D，，使得成立，则称为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为R，值域为，则下列函数中值域同为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知为偶函数，为奇函数，且满足，若方程有解，则实数m的取值范围是 .
14．设函数的定义域为，且，，则 ．
15．函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的最大值是 ．
16．已知函数函数的值域为 ，若且互不相等，则的范围为 ．
四、解答题
17．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
(2)若，求的取值范围．
18．已知函数是定义在上的函数，且的图象经过点．
(1)求的表达式；
(2)用单调性定义证明函数在上为增函数；
19．已知二次函数满足．
(1)求的解析式；
(2)设函数，判断在上的单调性，并用定义法证明．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)确定函数的解析式；
(2)已知函数在上是增函数，求不等式的解集.
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且，
由在上递减，在上递增，
又的最小值为，故且，
综上，.
故选：A
2．A
【分析】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解.
【详解】由题意知，函数为偶函数，可得，
结合函数在上的图象，可得，
所以.
故选：A.
3．B
【分析】令，分类讨论进行求解即可.
【详解】令，
当时，由，显然无实数根；
当时，由，舍去，
综上所述图像与x轴交点的个数是，
故选：B
4．D
【分析】A选项,令，解方程求出零点；B选项,利用奇偶性求解析式；C选项,令，解不等式，得到解集；D选项,分段讨论，求出的范围.
【详解】当时，.
对于A,当时，令可得或，
所以或，
由函数是定义在的偶函数可得，，
故函数的图像与轴有三个不同的交点，A不正确;
对于B,设，则，，
设，则，，
当时，，B不正确;
对于C,当时，令，则或，
所以或，，
由函数是定义在的偶函数可得，当时，，
综上：不等式的解集为，C错误;
对于D,不妨设，则，
①当时，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
综上：对于任意的，，若，则，D正确，
故选：D
5．C
【分析】先判断定义域是否相同，再看解析式是否相同即可.
【详解】对于A：定义域都为，，，值域不同，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为，定义域不一致，故B错误；
对于C：定义域为，定义域为，
且，C正确；
对于D：定义域为，定义域为，定义域不一致，故D错误，
故选：C
6．B
【分析】分，，，结合二次函数的单调性与基本不等式即可求解.
【详解】当时，在区间上单调递减，则，
所以，没有最大值，舍去；
当时，抛物线的对称轴为.
当时，据题意，可得，即.
.
当且仅当且，得，等号成立；
当时，抛物线开口向下，据题意得，，即..
当且仅当且，得，故应舍去.
要使得取得最大值，应有.
因为在上单调递减.
所以.
综上所述，的最大值为18.
故选：B.
7．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为，当 时，总有,
所以在为增函数，
不等式 ，
即
又因为函数 是定义在区间上的奇函数，
所以，
所以，
所以
所以，
解得
所以不等式 的解集为.
故选：D.
8．A
【分析】由得当是的值域的倍，然后利用分段函数值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.
【详解】解：由，可知，，， ，
所以当，对应就是的值域的倍，
由分段函数可以得，在，值域为；，值域为
可知当时，的值域为，
故对应值域为
对于恒成立，
可得，解得，，
故选：A．
9．ACD
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
10．BCD
【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；
是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；
所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错；
又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
11．ACD
【分析】根据“美丽函数”的定义可知f（x）的值域关于原点对称，即可结合选项求解函数值域，即可.
【详解】解：根据题意，，使得成立，
说明f（x）的值域关于原点对称，故“美丽函数”就是值域关于原点对称的函数．
对于A，函数的值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，A正确；
对于B，函数的值域为，不关于原点对称，故它不是“美丽函数”，B不正确；
对于C，函数的值域为，关于原点对称，故它是“美丽函数”，C正确；
对于D，函数的图象如下：故由图可知值域为R，关于原点对称，故它是“美丽函数”，D正确．
故选：ACD．
12．BC
【分析】根据函数的值域对各个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：的定义域为R，值域为，即，
，故A错误；
对于B：，相当于对进行了平移，横向伸缩变换，
值域始终没变，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误．
故选：
13．
【分析】先将的替换为，然后解方程组求出和，带入，然后将表示出来，通过换元法，利用基本不等式求最值即可得答案.
【详解】为偶函数, ,
又为奇函数，，
由①得，
即②，
由①②得，
则方程为，
整理得
当，即时，方程为，方程无解；
当，即时，方程为，
令且，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
14．512．
【分析】根据得，由可依次递推得到.
【详解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：512．
15．/.
【分析】根据题意求出在，，上的解析式，画出函数图象，结合图象可求得结果.
【详解】因为，且当时，．
所以当时，，则，
当时，，则
，
当时，，则
，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，对任意，都有，必有，
所以m的最大值是，
故答案为：
16．
【分析】利用分段函数的性质，分和求解；作出函数的图象，由图象得到求解.
【详解】解：当时， ，
当 时， ，所以 ，
作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
所以，
故答案为：，
17．(1)单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据单调性定义，取且，应用作差法比较大小即可证；
（2）由函数的单调性和奇偶性列不等式组求参数范围.
【详解】（1）函数在上单调递增．
证明：任取且，
所以
，
因为，所以，
所以，即，故函数在上单调递增．
（2）由函数是定义在上的奇函数且，
则， 又函数在上单调递增．
所以，解得， 所以的取值范围是.
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）直接将点代入求出参数，即可求出函数解析式；
（2）利用单调性的定义证明函数单调性即可.
【详解】（1）将点代入可得，解得，
所以；
（2）设是区间上的任意两个数，且，则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为增函数.
19．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式为；
（2）根据单调性的定义按照取值、作差、变形定号、得出结论的步骤即可证明.
【详解】（1）设，
则，，
故．
因为，所以，
解得，，，
所以．
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）可得．
设，则
．
因为，所以，，所以，
所以，所以，
即，
故在上单调递增．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件列出方程组，求解即可；
（2）利用函数是奇函数变形不等式，根据函数单调性，列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，所以，
此时，满足奇函数的定义.
故
（2），，
是定义在上的增函数，
，解得，
所以不等式的解集为
答案第1页，共2页
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