福建省厦门市杏南中学2023-2024学年高二上学期11月期中阶段测试数学试题（PDF版含答案）

厦门市杏南中学 2023-2024 学年学年上学期期中阶段测试卷
高二年 数学
作答时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 直线 3x y 1 0的倾斜角是 （ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2. 直线 l1 :ax 2y 3 0 与直线 l2 : x (a 1)y 2 0互相垂直，则 a （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
x2 y2
3. 已知椭圆 C： 1的左、右焦点分别为 F1，F2，且 PF1 2，则 PF2 （ ）9 7
A. 4 B. 6 C. 2 7 2 D. 2 2 2
4. 已知直线 l : x 2y 1 0 C : x2 y2经过圆 Dx 2y 3 0的圆心，则D （ ）
A. 6 B. 2 C. 2 D. 6
5. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M是 AB的中点，则异面直线DB1，CM 所成
角的余弦值是 （ ）
2 15
A. B.
6 5
2 15
C. D.
15 15
6. 2 2已知圆C1 : x y 4x 2y 4 0 C （: x 1）
2
与圆 2 （y 3）
2 4，圆C1与圆C2的位
置关系是 （ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
7. x2 y2在圆 9的上任取一点 P，过 P作 x轴的垂线段 PD，垂足为D，并延长DP至M ，
PM 1使得 DP ，则点M 的轨迹方程是 （ ）
3
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9 4 16 9 9 16 3 4
x2 y2
8.已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0)a b 的右焦点为
F2，O 为坐标原点为，M 为 y 轴上一点，
点 A是直线MF2与椭圆 C的一个交点，且 OA OF2 2OM ，则椭圆 C的离心率是（ ）
1 2 5 5
A. B. C. D.
3 5 5 3
二、选择题多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9. 已知直线 l : 4x 3y 2 0，下列说法正确的是 （ ）
1
A. 直线 l经过点 P（1，2） B. 直线 l与坐标轴围成的三角形面积是
6
C. 直线 l与直线8x 6y 7 0 2的距离是 1 D. 直线 l与圆（x 1） （y 3）2 9相切
（高二数学试卷 第 1 页，共 4 页）
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10. 2已知双曲线C : x y2 4，下列说法正确的是 （ ）
x2
A. 双曲线C的实轴长是 2 B. 2双曲线C与椭圆 y 1有相同的焦点
9
C. 双曲线C的离心率 e 2 D. 直线 y 2x与双曲线C没有公共点
x2 y2
11. 已知椭圆 C： 19 4 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与焦点不重合。若 M 关于
F1，F2对称的点分别为 A，B，线段 MN 的中点 P 在椭圆 C 上，则 （ ）
A. 焦点分别为 F1，F2的坐标分别为（ 5，0）（， 5，0）
B. 点 N 一定在椭圆 C 外
2
C. M O N x y
2
当点 与原点 重合时，点 的轨迹方程是 1
36 16
D. NA NB 12
12．已知边长为 2的等边 ABC，点D、E分别是边 AC、AB上的点，满足DE // BC且
AD
( (0,1))，将 ADE沿直线DE折到 A DE的位置，在翻折过程中，下列
AC
结论成立的是 （ ）
A. 直线 BC //平面A DE
B．在边 A E 上存在点 F ，使得在翻折过程中，满足直线 BF //平面A CD
1C．若 ，当二面角 A DE B等于 60° A B 7时，2 2
1 D．存在 0, ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 A BC 平面 BCDE
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
x2 y2
13. 双曲线 1的渐近线方程是 ；
9 4
14. 若三点 A(0，1)，B(a，0），C（3，2）在同一条直线上，则a的值为 .
2 2
15. F x y已知 1，F2为椭圆 C： 1的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，25 9
且 PQ F1F2 ，则四边形 PF1QF2的面积为 ．
16．已知正方体的 ABCD A1B1C1D1 棱长为2，点M ,N分别是棱 BC,C1D1的中点，点 P
在平面 A1B1C1D1内，点Q在线段 A1N 上，若PM 6，则 PQ长度的最小值为 .
（高二数学试卷 第 2 页，共 4 页）
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5+5=10分）如图所示，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A为端点的三条棱
长都为 2，且两两夹角为 60 ，AC 与 BD 的交点为 O，点 M 在 BC 上，且
BM＝2MC ， AB a，AD b，AA c .
（1）用 a，b，c表示 AC ， OM ；
（2）求 AC 的长度．
18.（6+6=12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的半径 r 2，圆心是直线
l1 : 2x y 4 0与 l2 : x y 1 0的交点 C.
（1）求圆 C的方程；
（2）判断直线 l3 : 4x 3y 1 0与圆 C的位置关系，如果相交，设交点为 A，B，
并求弦长 AB 的大小。
2 2
19.（6+6=12 x y 1分）已知椭圆 C： a2
2 1(a b 0)b 的长轴长等于 6，离心率
e
3 .
（1）求椭圆 C 的方程；

（2）椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且 PF1F2 60 ，求 PF1F2的
面积。
（高二数学试卷 第 3 页，共 4 页）
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20.（6+6=12分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BD
1
的中点，点 G在 CD上，且CG CD .
4
(1)判断直线C1G是否与平面DEF平行，并说明理由；
(2)求点D 到平面 AEF1 的距离.
21.（6+6=12分）如图，在四棱锥 P－ABCD中，PC 底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，
AB AD， AB //CD，AB 2AD 2CD 2，E是 PB的中点．
（1）求证： AC 平面PBC；
2 P AC E 6（ ）若二面角 － － 的余弦值为 ，求直线 PA与平面 EAC 所成角的正弦值．
3
x2 y2
22.（4+8=12 分）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 经过点M ( 2，1)，且右焦点a b
F2 ( 3，0)．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）过N (1，0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 C于 A，B两点，记 t MA MB，若
t的最大值和最小值分别为 t1 ，t2，求 t1 t2的值．
（高二数学试卷 第 4 页，共 4 页）
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厦门市杏南中学 2023-2024 学年学年上学期期中阶段测试卷
高二年 数学
作答时间：120 分钟
1. 直线 3x y 1 0的倾斜角是 （ B ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2. 直线 l1 :ax 2y 3 0 与直线 l2 : x (a 1)y 2 0互相垂直，则 a （ C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
x2 y2
3. 已知椭圆 C： 19 7 的左、右焦点分别为 F1，F2，且
PF1 2，则 PF2 （ A ）
A. 4 B. 6 C. 2 7 2 D. 2 2 2
4. 已知直线 l : x 2y 1 0 2 2经过圆C : x y Dx 2y 3 0的圆心，则D （ A ）
A. 6 B. 2 C. 2 D. 6
5. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M是 AB的中点，则异面直线DB1，CM 所成
角的余弦值是 （ D ）
2 15
A. B.
6 5
2 15
C. D.
15 15
6. 2已知圆C1 : x y
2 4x 2y 4 0 2与圆C2（: x 1） （y 3）
2 4，圆C1与圆C2的位
置关系是 （ B ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
7. 在圆 x2 y2 9的上任取一点 P，过 P作 x轴的垂线段 PD，垂足为D，并延长DP至M ，
1
使得 PM DP ，则点M 的轨迹方程是 （ C ）
3
x2 y2 1 x
2 y2 x2 y2 x2 y2
A. B. 1 C. 1 D. 1
9 4 16 9 9 16 3 4
x2 y2
8.已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的右焦点为 F2，Oa b 为坐标原点为，
M 为 y 轴上一点，
点A是直线MF2与椭圆 C的一个交点，且 OA OF2 2OM ，则椭圆 C的离心率是（ D ）
1 2 5 5
A. B. C. D.
3 5 5 3
9. 已知直线 l : 4x 3y 2 0，下列说法正确的是 （ ABD ）
1
A. 直线 l经过点 P（1，2） B. 直线 l与坐标轴围成的三角形面积是
6
C. l 8x 6y 7 0 1 D. l （x 1）2 （y 3）2直线 与直线 的距离是 直线 与圆 9相切
10. 2已知双曲线C : x y2 4，下列说法正确的是 （ BD ）
x2
A. 双曲线C的实轴长是 2 B. 2双曲线C与椭圆 y 1有相同的焦点
9
C. 双曲线C的离心率 e 2 D. 直线 y 2x与双曲线C没有公共点
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
x2 y2
11. 已知椭圆 C： 19 4 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与焦点不重合。若 M 关于
F1，F2对称的点分别为 A，B，线段 MN 的中点 P 在椭圆 C 上，则 （ ACD ）
A. 焦点分别为 F1，F2的坐标分别为（ 5，0）（， 5，0）
B. 点 N 一定在椭圆 C 外
2 2
C. 当点 M x y与原点 O 重合时，点 N 的轨迹方程是 1
36 16
D. NA NB 12
12．已知边长为 2的等边 ABC，点D、E分别是边 AC、AB上的点，满足DE // BC且
AD
( (0,1))，将 ADE沿直线DE折到 A DE的位置，在翻折过程中，下列
AC
结论成立的是 （ AC ）
A. 直线 BC //平面A DE
B．在边 A E 上存在点 F ，使得在翻折过程中，满足直线 BF //平面A CD
1
C A DE B 7．若 ，当二面角 等于 60°时，
2 A B 2
1
D．存在 0, ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 A BC 平面 BCDE
2
x2 y2 2
13. 双曲线 1的渐近线方程是 y x ；
9 4 3
14. 若三点 A(0，1)，B(a，0），C（3，2）在同一条直线上，则a的值为 3 .
2 2
15. 已知 F x y1，F2为椭圆 C： 1的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，25 9
且 PQ F1F2 ，则四边形 PF1QF2的面积为 18 ．
16．已知正方体的 ABCD A1B1C1D1 棱长为2，点M ,N 分别是棱 BC,C1D1 的中点，点 P
在平面 A1B1C1D1内，点Q在线段 A1N 上，若 PM 6，则 PQ长度的最小值为 0 .
17．如图所示，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A为端点的三条棱长都为 2，且
两两夹角为 60 ，AC与 BD的交点为 O，点 M在 BC 上，且 BM＝2MC ，
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
AB a，AD b，AA c .
（1）用 a，b，c表示 AC ， OM ；
（2）求 AC 的长度．
解：（1） AC AB BC CC
AB AD AA a b c ------------3 分
OM OB BM 1 2 DB BC
2 3
1
(AB AD) 2 (AD AA )
2 3
1 -----------6 分
AB 1 AD 2 1 AA a 1 2 b c
2 6 3 2 6 3
（2） 由（1）知 AC a b c ----------------------------------------------------7 分
2 2 2 2
AC （a b c）2 a b c 2a b 2b c 2a c ---------------8 分
2 2 2
a b c 2 a b cos60 2b c cos60 2 a c cos60 -----10分
4 4 4 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 =24
2 2 2 -----11分
AC 2 6. 即 AC 的长度为 2 6 。--------------------------------12分
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C的半径 r 2，圆心是直线 l1 : 2x y 4 0与
l2 : x y 1 0的交点.
（1）求圆 C的方程；
（2）判断直线 l3 : 4x 3y 1 0与圆 C的位置关系，如果相交，设交点为 A，B，
并求弦长 AB 的大小。
2x y 4 0 x 3
解：（1）由 x y 1 0 得 y 2 ,
C(3，2)
---------------------------4 分
因为圆 C的半径 r 2，
2 2
所以圆 C的方程为（x 3) (y 2) 4. ---------------------------6 分
（2)由（1）知圆 C的方程为（x 3)2 (y 2)2 4，
圆心 C（3，2）到直线 l3 : 4x 3y 1 0的距离为
12 6 1
d 1 r
5 ---------------------------8 分
直线与圆相交. ---------------------------9 分
2 2弦长 AB 2 r d 2 4 1 2 3，
即弦长 AB 的大小为 2 3. ---------------------------12分
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
x2 y2 1
19.已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的长轴长等于 6，离心率 e a b 3 .
（1）求椭圆 C 的方程；

（2）椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且 PF1F2 60 ，求 PF1F2的
面积。
解：（1）依题意， 2a 6, a 3. ---------------------------2 分
e 1 c 1 ,即 , c 1.
3 a 3 ---------------------------3 分
b a2 c2 2 2. --------------------------4 分
x2 y2
椭圆 C 的方程为 1.9 8 ---------------------------6 分
（2）由（1）知， a 3, c 1,
设 PF1 m , PF2 n, 则
m n 6
2
m (2c)
2 2m 2c cos60 n2
m n 6 (i)
即 m2 4c2 2mc n2 (ii) ---------------------------8 分
在把 n 6 m，c 1代入 (ii) ， 得
m2 4 2m 36 12m m2 ,
10m 32, m 16 即 ，
5
n 6 14 m .
5 ---------------------------10分
1
S PF m 2c sin 60

1F2 2
1 16 3
2
2 5 2
8 3
.
5
PF1F
8 3
2的面积为 .5 ---------------------------12分
20. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BD的中点，点
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
1
G在 CD上，且CG CD .
4
(1)判断直线C1G是否与平面DEF平行，并说明理由；
(2)求点D1到平面 AEF 的距离.
解: （1）答：直线C G与平面DEF不平行。------------1 分1
下面给予证明：
以 D 为原点，如图建立空间直角坐标系Dxyz，则
D(0,0,0),E(0,0, 1 1 1），F ( , ,0) ,
2 2 2
C(0,1,0),C 31(0,1,1），G(0, ,0) , A(1,0,0)4 ----------------------------2 分
DE (0,0, 1) , DF (1 , 1 ,0), C G (0, 1 , 1) , AC ( 1,1,0)
2 2 2 1 4
AC DE 0 , AC DF 0 ,
AC是平面DEF的法向量. ----------------------------4 分
AC C 1 11G 0 0 0,4 4
直线C1G与平面DEF不平行. ----------------------------6 分
(2)由（1）知， AE ( 1,0, 1 ) , AF ( 1 , 1 ,0),
2 2 2 ----------------------------7 分
设 n (x, y, z)是平面 AEF 的法向量，则
1
n AE 0 x z 0
, 2 ，
n AF 0 1 1 x y 0
2 2
取 x 1,则 z 2, y 1. n (1,1,2). ----------------------------9 分
D1(0,0,1), A(1,0,0）， D1A (1,0, 1), ----------------------------10分
DA1 n 1 0 2 6
点D1到平面 AEF 的距离是 d .
n 6 6
6
即点D 到平面 AEF1 的距离为 .6 ----------------------------12分
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
21．如图，在四棱锥 P－ABCD中， PC 底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， AB AD，
AB //CD，AB 2AD 2CD 2，E是 PB的中点．
（1）求证： AC 平面PBC；
（2）若二面角 P－AC 6－E的余弦值为 ，求直线 PA与平面 EAC 所成角的正弦值．
3
12．(1)证明：因为 PC 平面 ABCD，
AC 平面 ABCD，
所以 AC PC． ----------------------------2 分
因为 AB＝2，AD＝CD＝1，
所以 AC＝BC＝ 2．
所以 AC 2＋BC 2＝AB2 ．
所以 AC BC． -----------------------------------------------4 分
又 BC PC＝C， BC,PC 平面PBC,
所以 AC 平面 PBC ． -------------------------------------------------------6 分

(2)解：如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别为 x轴、 y轴、 z轴正方向建立空间
直角坐标系， -------------------7 分
则C(0，0，0)， A(1，1，0) ， B(1，－1，0)，设 P(0，0，a)(a 0)，
E 1 , 1 a

则 ,

，CA＝(1，1，0)，CP ＝(0，0，a)
1 1 a
，CE＝ , , ．2 2 2 2 2 2 -------------------8 分
取 m ＝(1，－1，0)，因为 m CA m CP 0，所以 m 为平面 PAC 的法向量．

n (x y z) EAC n CA n CE 0
x y 0
设 ＝ ， ， 为平面 的法向量，则 ，即
x y az 0
取 x＝a，y＝－a，z＝－2，则 n = (a，－a，－2)， -------------------9 分
依题意， | cos m，n | n m a 6 ＝ ＝ ＝ ，则 a＝2．
n m a2+2 3 -------------------10分

于是 n ＝(2，－2，－2)， PA＝(1，1，－2)．

设直线 PA与平面 EAC 所成角为 ，则 sin ＝ | cos PA， n | P A n 2 ＝ ＝ ，
PA n 3
即直线 PA与平面 EAC 2所成角的正弦值为
3 ------------------12分.
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}
x2 y2
22. 已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)经过点M ( 2，1)，且右焦点 F2 ( 3，0)．a b
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）过N (1，0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 C于 A，B两点，记 t MA MB，若
t的最大值和最小值分别为 t1 ，t2，求 t1 t2的值．
解：（1）由椭圆 C的右焦点为 F ( 3,0)，知 a2 b2 3，即b2 a2 3，
x2 y2
则 2 2 1， a
2 3．
a a 3 -------------------1 分
4 1
又椭圆 C过点M ( 2,1)，所以 1，又 a22 2 3，所以 a
2 6．
a a 3 -------3 分
x2 y2
所以椭圆 C的标准方程为 1．
6 3 ------------------------------4 分
（2）设直线 AB 的方程为 y k (x 1)， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，------------5 分
x2 y2
1,
由 2 2 2 6 3 得 x 2k (x 1) 6，即 (1 2k 2 )x2 4k 2x 2k 2 6 0 ，
y k (x 1),
-----------------------------6 分
因为点 N (1,0)在椭圆 C内部，所以 0，
x x 4k
2 2
所以 1 2 2 ， x1x
2k 6
，
1 2k 2 1 2k 2 -----------------------------7 分
所以 t MA MB x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 -----------------8 分
(1 k 2 )x x 21 2 (2 k k)(x1 x
2
2) k 2k 5
2
(1 k 2 ) 2k 6
2
2 (2
4k
k 2 k) 2 k
2 2k 5
1 2k 1 2k
15k 2 2k 1
，
1 2k 2 -------------------------------9 分
所以 (15 2t)k 2 2k 1 t 0,k R，则 1 4 4(15 2t)(1 t) 0 ，
所以 2t 2 13t 16 0， -------------------------------11分
由题意知 t1， t2是方程 2t
2 13t 16 0的两根，
∴ t1 t
13
2 ．2 -------------------------------12分
{#{QQABDYyUogCgQAJAAQhCEwGgCACQkACCCAoGhAAMIAIBQRFABAA=}#}