3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间 同步练习（含解析）

3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．数学探究活动是数学建模
B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模
C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括
D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题
2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A． B． C． D．
4．某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分,则乙所得奖励比甲所得奖励多(　　)
A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700元
5．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
6．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系图象如图，则时，汽车已行驶的路程为（ ）
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
7．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细．现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃．设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位）的图像大致是（ ）.
A． B．
C． D．
8．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数表示，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为（ ）
A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元
二、填空题
9．在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
10．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/小时时，总费用最小．
11．某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出 张门票.
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．
现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是 ．(填序号)
三、解答题
13．某村民欲修建一座长方体形水窖，水窖的容积为6立方米，深度为1.5米，底面周长不超过10米，水窖的底部每平方米造价为400元，侧面每平方米造价为200元，顶部每平方米造价为300元，设水窖的底面一边长为（单位：米），总造价为（单位：元）．
(1)求函数的解析式及定义域．
(2)当取何值时，水窖的总造价最低？最低是多少？
14．由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据．
刹车时车速 15 30 40 50 60 80
刹车距离 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40
(1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；
(2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算）
15．苍苍黑土，漭漭龙江．北国骊珠，普育名庠．2023年10月6日，哈三中将迎来建校百年庆典．某公司为哈三中百年校庆设计了文创产品，并批量生产进行售卖．经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，产品销售周可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个吉祥物还需要投入其他成本0.5万元．
(1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
16．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库时，测得和分别为4万元和9万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该最小值．（结果精确到）
17．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.
(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大 并求出最大年利润.
18．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？
(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？
(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据数学探究活动的概念及数学建模的基本概念分析即得.
【详解】数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程；
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建数学模型解决问题的过程；故AB错误；
数学建模的一般步骤：1.提出问题；2.建立模型；3.求解模型；4.检验结果；故C错误；
数学建模的对象是现实世界中的实际问题，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.
【详解】解：由题意得：
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为
故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
3．A
【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程.
【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得，
则，解得.
答：该职工这个月实际用水为.
故选：A
【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量.
4．D
【详解】k(18)=200,
∴f(18)=200×(18-10)=1600(元).
又∵k(21)=300,
∴f(21)=300×(21-10)=3300(元),
∴f(21)-f(18)=3300-1600=1700(元).
故选D.
5．D
【分析】水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．
【详解】解：由图得水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数． 据四个选项提供的信息，
当，，我们可将水“流出”设想成“流入”，
这样每当增加一个单位增量△时，
根据鱼缸形状可知，函数的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，
故关于的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题．
6．C
【分析】根据题中图像，直接计算，即可得出结果.
【详解】由题中图像可得，时，
汽车行驶的路程为：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，属于基础题型.
7．B
【分析】求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论，判断函数的图象即可．
【详解】设长为，则长为，
又因为要将点围在矩形内，
，则矩形的面积为，
当时，当且仅当时，，
当时，，
，
由函数特征可知B选项正确.
故选：B.
【点睛】本题考查函数轨迹图象的判断，考查推理论证能力，考查分类与整合思想，属于常考题.
8．B
【分析】首先利用是不小于m的最小整数求出，再直接代入
即可求出结论.
【详解】由是大于或等于m的最小整数可得，
所以.
故选B.
【点睛】本题涉及到了对新定义的考查，解决本题的关键在于对是不小于m的最小整数的理解和应用，求出.
9．①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）
【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.
【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
10．40
【详解】设轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费为速度为，则，
因为当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元，所以，设这艘轮船匀速行驶海里总费用是，则，当时等号成立，所以这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小，故答案为.
【点晴】本题主要考查阅读能力及建模能力、函数的解析式及基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
11．234
【分析】利用待定系数法求出时的解析式，再解不等式即可.
【详解】解析由题图知，盈利额每天要超过1 000元时，这一区间，
设，将(200，500)，(300，2 000)代入得，
得即，由，得，
故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元.
故答案为：234.
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，解答本题的关键是看懂图形中所给的信息，属于基础题.
12．②④
【详解】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错．5min以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④．
【点睛】当图像是一条直线的增函数时，是匀速增加．当图像为上凸的增函数时（如本题），增加速度是越来越慢的．当图像为下凸的增函数时增加速度是越来越快的．
13．(1)，
(2)米，元．
【分析】（1）根据长方体体积公式可得边长为，另一边长为，即可根据每平米造价分别求面积求解，
（2）由基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题知，水窖底面积为平方米，
水窖底部造价为元．顶部造价为元．
水窖的底面一边长为，水窖底面的另一边长为，
水窖的侧面积为，
水窖侧面的造价为，
．
由解得，
所以定义域为．
（2）由（1）知，
，
当且仅当即时，取等号，
所以(元).
14．(1)选择二次函数模型，
(2)，
【分析】（1）选择二次函数模型，结合图象经过点，再代入两个点，求出答案；
（2）在（1）的基础上，代入求值即可.
【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和，
设二次函数为，
故，解得，
可求得；
（注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．）
（2）当时，；
当时，有，解得（负舍）．
15．(1)
(2)万元时，利润最大为8万元
【分析】（1）由利润的计算公式，结合与的函数关系，分段写出增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
（2）利用基本不等式和函数的单调性，求利润最大值.
【详解】（1）本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系为.
（2）当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时有最大值8；
当时，单调递减，在时，有最大值5.5，
综上可知，为4万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为8万元
16．；12万元
【分析】先设出，，代入自变量及对应的函数值，求出和，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值即可．
【详解】设，，
当时，，
，，
，，其中，
两项费用之和为，
当且仅当时，
即当时等号成立，
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为12万元．
17．(1);
(2)产量为（千件）时,利润最大为（万元）
【分析】(1)根据将,,三点代入中,即可求出a,b,c的值,根据利润等于收益减总成本,列出关系,将代入即可;
(2)根据(1)中的解析式,分别求出,时的最值,进行比较即可求得最大年利润.
【详解】（1）解:将,,三点代入中有:
,解得,
故,
由题知;
（2）由(1)知,
当时,,
所以当（千件）时,（万元）,
当时,
,
当且仅当,即（千件）时取等,
所以（万元）,
综上: 当（千件）时,（万元）
所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元.
18．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；
（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.
【详解】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：
①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用与里程的函数关系式子；
②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.
（2）由（1）中所建立的函数模型：
①由题意，当时；当时；当时.
故.
②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数，即，分别作出函数图象.

由图象可得，与有交点，联立有，解得.
故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足公里时不停靠更划算，当路程不足公里时停靠更划算.
答案第1页，共2页
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