第三章函数 综合练习（含解析）

第三章函数综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下面说法不正确的是（ ）
A．在为增函数
B．的最小值为1
C．任意，，且，有
D．任意，，且，有
5．函数满足且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知集合，若对于任意时，都存在使得成立，则称集合为“理想集合”.下列集合是“理想集合”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（ ）
A．－6 B．6
C．－8 D．8
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．的图像是由的图像向左平移一个单位长度得到的
B．的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的
C．函数的图像与函数的图像关于轴对称
D．的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的
10．设，当时，规定，如，．则（ ）
A．
B．
C．设函数的值域为M，则M的子集个数为32
D．
11．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（ ）
A．f(x)＝ B．f(x)＝－x3
C．f(x)＝x|x| D．f(x)＝－
12．函数f(x)＝的图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是（ ）
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B．f(f(2019))＝－
C．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．函数g(x)＝f(x)－x2＋4有四个零点
三、填空题
13．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
14．函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1，3)，则不等式|f(2x－1)|<3的解集为 .
15．已知二次函数的图象经过点，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则函数的解析式＝ .
16．已知函数，若，则函数的零点个数为 ；若函数有4个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．
18．已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.
19．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求：
①的最小值；
②讨论关于m的方程的解的个数．
20．已知函数对一切实数，都有成立，且， .
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
21．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励经销商订购该零件，决定每次订购超过100个零件时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)求当经销商一次订购多少个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元；
(2)若经销商一次订购个零件时，该厂获得的利润为y元，写出y关于x的表达式．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据奇函数性质，令，即可判断A的正误；根据函数的对称性，可判断B的正误；根据奇函数及对称性，整理可判错C的正误；根据函数周期性，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，
所以，又，
令代入可得，故A正确；
对于B：因为，
所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C：因为为奇函数，
所以，
所以，则，故C正确；
对于D：由C选项可得，的周期为8，
所以，故D正确；
故选：B
2．D
【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.
【详解】是奇函数，不满足题意；
的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；
是非奇非偶函数，不满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；
故选：D
3．D
【分析】先根据知函数的对称中心和对称轴，再分别画出和的部分图象，由图象观察交点的个数．
【详解】因为，，
图象的对称中心为，图象的对称轴为，
由，，得，为单位圆的，
结合画出和的部分图象，如图所示，
据此可知与的图象在上有个交点．
故选：D.
4．D
【分析】可考虑对函数变形处理为，结合二次函数和对勾函数分析函数单调性，最值，函数值大小关系即可.
【详解】，，当且仅当时，等号成立，故可理解为由一个对称轴为的二次函数和一个在处取到最小值的对勾函数构成，故在时单减，在时单增，故A正确，，故B正确；结合图形可知，函数在的左侧和右侧分别为下凸函数，对于任意的，，且，为图中点对应函数值，为其中点对应函数值，故（另外两种情况完全等效），故C正确.
故选：D
5．D
【分析】结合所给函数性质逐一验证，只有D项符合
【详解】对A，若，则由可得，无法判断大小，故A错；
对B，若，则由可得，无法判断大小，故B错；
对C，若，则由可得，得到，无法判断大小，故C错；
对D，若，则有可得，则，又为增函数，故，故D正确.
故选：D
6．C
【分析】由题意得：，可得函数的图象与的图象关于直线对称，根据的单调性及题干条件，可得，即可得答案.
【详解】由题意得：，
所以函数的图象与的图象关于直线对称，
因为函数在R上单调递增，函数在R上单调递减，且，即，
所以，所以，即.
故选：C.
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的对称性，即“同周期异对称”，若，则表示函数对称轴为；若，则表示函数对称中心为，属中档题.
7．C
【解析】根据题设中条件，结合选项，根据定义和曲线的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，对于任意时，都存在使得成立，
即对于上任意一点，在上存在一点，使得成立,
对于A中，是以轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为，
在同一支上，任意，不存在，满足集合为“理想集合”的定义，
对于任意，再另一支上也不存在，使得成立，
所以不满足理想集合的定义，故不是理想集合.
对于B中，中，如点，设，
若满足理想集合，则，即，
又由与无交点，所以集合不是理想集合；
对于C中，由，解得，又由，解得，
此时和使得成立，所以是理想集合；
对于D中，在集合中，取，设，
若满足成立，可得，此时不满足函数的定义域，
所以不是理想集合.
故选：C.
【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、根据集合的新定义，可通过举出反例，说明不正确；
3、正确理解新定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.
8．C
【解析】由奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)可推出周期为8，对称轴为，画出函数大致图象，由图象分析f(x)＝m的根的分布情况即可
【详解】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，画出大致图象，如图：
由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，
则，故，
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论：
（1），则的周期为；
（2），则函数的对称轴为.
9．BCD
【分析】由函数的平移法则和对称性可直接判断A，B，C选项，采用分离常数法化简函数，再结合函数平移法则可判断D选项.
【详解】的图像是由的图像向右平移一个单位长度得到的，故A项错误；
的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的，故B项正确；
函数的图像与函数的图像关于轴对称，故C项正确；
，故的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D项正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.
【详解】对于A中，例如，则，
可得，所以A错误；
对于B中，由，所以，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为，可得，
当时，可得，
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C正确；
对于D中，设，
若，可得，所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时；
，此时；
，此时；
，此时，
所以，结合周期为，即恒为，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.
11．BD
【解析】A项是奇函数，但是不符合减函数定义；B项符合；C项去绝对值求出分段函数，判断为增函数；D项结合定义判断正确
【详解】A．在定义域上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；
对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意；
对于C，f(x)＝x|x|＝在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；
对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．
故选：BD．
12．BD
【解析】根据新定义，结合函数图像，逐个分析即可得解.
【详解】
由于函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故A错误；
f(f(2 019))＝，故B正确；
因为函数为偶函数，所以其图像关于y轴对称，故C错误；
，
作出和y＝x2－4的图像如图所示，可知D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了函数的定义域和求值，考查了函数的对称轴和零点问题，属于中档题.
解决零点问题有以下几点：
（1）首先转化，把函数零点问题转化为函数图像交点问题；
（2）其次画图，把两个函数图像置于同一个坐标系中；
（3）观察函数图像，找到交点个数即可得解.
13．
【分析】结合奇偶性求解函数的解析式，得恒成立，利用函数单调性得恒成立，分离参数即可得解..
【详解】由题意知，则，
所以恒成立等价于恒成立.
由题意得在R上是增函数，
所以恒成立，即恒成立.
又，所以当时，取得最大值
所以，解得.
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．
【解析】由函数的增减性和经过A(－2，－3)和B(1，3)，确定|f(2x－1)|<3自变量取值范围，再解不等式即可
【详解】因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1，3)，所以f(－2)＝－3，f（1）＝3.又|f(2x－1)|<3，所以－3所以－2<2x－1<1，即即所以，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查由函数的增减性求自变量取值范围，常用以下方法：
（1）分析函数的增减性和奇偶性；
（2）采用去“”的方式解关于自变量的不等式.
15．x2－4x＋3
【解析】由可得的对称轴为x＝2，根据题意,结合二次函数图像对称性可得，f(x)＝0的两根为1和3，则可设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0).，代入点坐标，求出a的值，即可得答案.
【详解】∵对恒成立，
∴的对称轴为x＝2，
又∵的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0).
又∵f(x)的图象经过点(4，3)，
∴3a＝3，即a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
故答案为：x2－4x＋3
【点睛】本题考查函数的对称性的应用、二次函数的图像与性质，考查分析理解，推理计算的能力，属基础题.
16． 2
【分析】当时，由对勾函数的性质可判定其顶点处恰好为零点位置；
分类讨论时，由对勾函数的性质确定顶点位置，条件需有4个零点等价转换为顶点值小于4，进而构建不等式解得范围；时不成立；时，由对勾函数的性质确定顶点位置其在x轴处，都成立，最后综上总结即可.
【详解】当时，，由对勾函数的性质易得，当且仅当时，等号成立，所以函数的零点个数为2个.
当时，由对勾函数的性质易得，当且仅当时，等号成立，
要使有4个零点，则有，解得；
当时，，易知此时函数有2个零点，不符合题意；
当时，函数，当且仅当时，等号成立，所以此时函数有4个零点，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：2；
【点睛】本题考查利用函数性质研究函数零点的个数，以及由函数零点个数求参数取值范围，利用对勾函数的性质求解，注意绝对值对函数的值域的影响，属于较难题.
17．(1)递增区间为，.
(2).
(3)
【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.
（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；
（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.
【详解】（1）解（1）当时，，
即，则，
故函数的递增区间为，递减区间为，.
（2）由题可知，
当时，在上递减，在递增，则；
当时，在上递减，则，
综上：．
（3）（3）令，只需，
当，且时，，在上单调递减，
∴，
当时，，在上单调递增，
∴；
当时，，在上递减，∴，
综上可知，，所以．
18．(1){x|x≠-1}
(2)是增函数，证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据函数f(x)有意义，列出不等关系求解即可；
（2）先分离常数转化函数为f(x)==2-，根据反比例函数的单调性判断函数单调性，再利用定义证明即可；
（3）结合（2）中函数单调性求解即可
【详解】（1）∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.
（2）∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1∵-10，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)（3）∵函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，
∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，
∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=.
19．(1)
(2)①；②答案见解析
【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；
（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；
②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.
【详解】（1）（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
（2）（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.
20．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）在中，令可求得结果；
（2）在中，令可得，从而可得的解析式；
（3）令,结合函数的图象将关于x的方程有三个不同的实数解转化为方程在内有一个实根，在内有一实根，再利用二次函数图象列式可求得结果.
【详解】（1）在中，
令，得，又，所以.
（2）在中，
令，得，得，
所以.
（3）令，则，
则函数的图象如图：
方程化为，即，即，
因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知，
方程有两个不等实根，不妨设，则，，
令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．(1)550个
(2)
【分析】（1）依题意设一次订购个零件，实际出厂单价恰好为51元，即可得到方程，解得即可；
（2）设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，根据的取值范围确定的值，则利润计算可得；
【详解】（1）解：设零件的实际出厂单价恰好为51元时，一次订购个零件，
则，解得，
所以当一次订购550个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元．
（2）解：设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，
当时，；
当时，；
当时，．
由题意得，
当时，；
当时，;
当时，．
故．
答案第1页，共2页
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