四川省成都市武侯区棕北中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（2023九上·武侯开学考）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·武侯开学考）若x＞y，则下列各式正确的是（ ）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．﹣2x＜﹣2y D．
3．（2023九上·武侯开学考）将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（ ）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
4．（2023九上·武侯开学考）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△AED是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．（2023九上·武侯开学考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．（2023九上·武侯开学考）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·武侯开学考）如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+6的图象相交于点P，则不等式﹣x+6＞kx的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
8．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE＝2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．20
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2017·深圳模拟）因式分解：2x2﹣18= ．
10．（2023九上·武侯开学考）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是2：1，则n的值为 ．
11．（2023九上·武侯开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2023九上·武侯开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移得到的，B的坐标上，已知A，C，D三点的坐标分别为（2，1），（4，2），（3，4），则点B的坐标为 ．
13．（2023九上·武侯开学考）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2023九上·武侯开学考）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
15．（2023九上·武侯开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
⑴画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
⑵画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
⑶根据⑴（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．
16．（2023九上·武侯开学考）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形：卡片②是长为b，宽为a的长方形； 卡片③是边长为b的正方形
（1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为 ；
（2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③， 并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的长方形， 请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为 ；
（3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a＝1.6，b=2.8，求正方形M的边长．
17．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数。
18．（2023九上·武侯开学考）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE，连接BE.
（1）求∠CBE的度数；
（2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°，求线段AE的长；
（3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N，求线段BN的长。
四、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，答案写在答题卡上）
19．（2023九上·武侯开学考）已知x＝y+3，则x2﹣2xy+y2的值为 ．
20．（2023九上·武侯开学考）已知不等式组的解集为x≥3，则m的取值范围是 ．
21．（2023九上·武侯开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2DF，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则 ．
五、解答题（11分）
22．（2023九上·武侯开学考）在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点B的对应点为点E，线段EC与边AD交于点F．
（1）∠ACB＝30°，求∠FCD的度数；
（2）若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；
（3）如图2，连接BE，CA的延长线交BE于点N，当点M到BC的距离最小值时，求出此时△BCN的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，∴C符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵x>y，∴x+2>y+2 ，∴A不正确，不符合题意；
B、∵x>y，∴x﹣2>y﹣2 ，∴B不正确，不符合题意；
C、∵x>y，∴-2x<-2y ，∴C正确，符合题意；
D、∵x>y，∴，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】∵﹣＝3，
∴分式方程两边同时乘（x-2），可得x+2=3（x-2），
故答案为：D.
【分析】将分式方程两边同时乘（x-2），可得答案.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点D，E是BC的三等分点，
∴BD=DE=CE，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CAE+∠C，
∴∠BAD=30°，∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=120°，
故答案为：C.
【分析】根据三等分点求出BD=DE=CE，再根据等边三角形的性质求出AD=AE=DE，∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：△ABC≌△DEC，
∴AC=DC，∠ECD=∠ACB=30°，
∴∠DAC=∠ADC=（180°-∠ECD）÷2=75°，
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质求出△ABC≌△DEC，再利用三角形的内角和定理计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：D.
【分析】利用分式的混合运算的计算方法求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】根据图象可得，点P的纵坐标为4，
将y=4代入y＝﹣x+6，
可得：4=-x+6，
∴x=2，
∴点P的坐标为（2，4），
根据函数图象可得：当x<2时，﹣x+6＞kx ，
故答案为：B.
【分析】先求出点P的坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AD//BC，
∴点O是AC和BD的中点，
∵点E、F分别是AB和AD的中点，
∴OE和OF分别是△ABD和△BCD的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，
∴C ABCD=2×（AB+BC）=2×（4+6）=20，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的中位线求出AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
9．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
10．【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】根据题意可得：正多边形的一个外角=，
∴正多边形的边数=360°÷60°=6，
故答案为：6.
【分析】先求出正多边形的一个外角，再利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角”计算即可.
11．【答案】k＜﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程无实数根，
∴△＜0，
即22-4×1×（-k）＜0，
解得：k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1 .
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可.
12．【答案】（1，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵线段CD是由线段AB平移得到的，点C的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，1），
∴线段CD由线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得，
∵点D的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3-2，4-1），即（1，3），
故答案为：（1，3）.
【分析】先利用点A、C的坐标，判断出线段CD由线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得，再结合点D的坐标求出点B的坐标即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
根据题意可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∵AC2+BC2=82+62=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，
在△BCD中，由勾股定理可得：BC2+CD2=BD2，
∴62+CD2=（8-CD）2，
解得：CD=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°，再利用勾股定理可得62+CD2=（8-CD）2，再求出CD的长即可.
14．【答案】（1）解：（1），由①得：x≥﹣5，
由②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：-5≤x＜3；
（2）解：原式
.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可；
（2）利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
15．【答案】解：⑴如图，Δ A1B1C1；即为所求；
⑵如图，Δ A2B2C2即为所求；
⑶ΔAA1A2的面积＝×2×2＝2．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式求解即可.
16．【答案】（1）（a2+ab+b2）
（2）
（3）解：根据题意得，正方形M的面积为：4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，
∴正方形M的边长为（2a+b），
当a＝1.6，b＝2.8时，2a+b＝2×1.6+2.8＝6，
即正方形M的边长为6．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为： （a2+ab+b2），
故答案为：（a2+ab+b2）；
（2）由图②可得：矩形的长为（2a+b），宽为（a+b），
∴矩形的面积为；
∵小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，
∴矩形的面积也可以表示为：2a2+3ab+b2 ，
∴根据图2的面积写一个多项式的因式分解为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，结合图形求面积即可；
（2）利用矩形的面积公式，结合题意求解即可；
（3）根据正方形的面积求出正方形M的边长为（2a+b），再将 a＝1.6，b=2.8代入计算求解即可。
17．【答案】（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD， AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∵AB＝DC＝DF，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAC＝80°，
∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ∠BAF＝∠DCE， 再利用SAS证明 △ABF≌△CDE ，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 BE＝DF， 再求出 ∠BEA＝∠BAC＝80°， 最后利用三角形的内角和定理计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝120°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°；
（2）解：如图所示：过C点作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
由（1）知，△ACD≌△BCE，∠CBE=∠CAD=30°，
∵∠ACD＝30°，AD＝4，
∴AD＝CD＝CE＝BE＝4，∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴CE∥AB，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴四边形MNEC是矩形，
∴MN＝CE＝4，
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，∠CDM=∠CAD+∠ACD=60°，
∴∠DCM＝30°，
∴DM＝CD＝2，
同理可得，BN＝BE=2，
∴NE＝＝2，
∴AN＝AD+DM+MN＝4+2+4＝10，
∴AE＝＝＝，
即AE的长为；
（3）解：连接DP，过点N作NQ⊥PB于Q，
∵AD＝AC，点M为CD中点，
∴AP是CD的垂直平分线，
∴CP＝DP，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCP＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠DPB＝∠PCD+∠PDC＝90°，
∵BD＝2，∠PBD＝30°，
∴DP＝BD＝1，＝，
设BN＝x，则NQ＝x，＝x，
∵∠NPQ＝∠CPM＝45°，
∴PQ＝NQ＝x，
∵PB＝PQ+QB，
∴＝，
解得x＝3﹣，
即BN的长为3﹣．
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和求出∠CAD＝30°，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出四边形MNEC是矩形，再利用矩形的性质以及勾股定理等计算求解即可；
（3）先作图，再求出AP是CD的垂直平分线，最后根据勾股定理，列方程计算求解即可。
19．【答案】9
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵x＝y+3，
∴x2﹣2xy+y2=（x-y）2=（y+3-y）2=9，
故答案为：9.
【分析】将x＝y+3代入x2﹣2xy+y2=（x-y）2计算即可.
20．【答案】m≤1
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】，
由①可得x≥3，
由②可得x≥m+2，
∵不等式组的解集为x≥3，
∴m+2≤3，
∴m≤1，
故答案为：m≤1.
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x≥3，可得m+2≤3，再求出m的取值范围即可.
21．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AF=2DF，
∴设DF=m，AF=2m，AD=3m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC=3m，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先设DF=m，AF=2m，AD=3m，再利用平行线分线段成比例的性质可得，再求出即可.
22．【答案】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠FCD＝∠BCD﹣∠ACB﹣∠ACF＝135°﹣30°﹣30°＝75°，
即∠FCD的度数为75°；
（2）解：①若CF＝CD，如图：延长EA交BC于点G，
此时，∠D＝∠CFD＝45°，
∴∠FCD＝90°，
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠FCD＝45°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠EGC＝90°，
即△ABG和△EGC都是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴AE＝AB＝2，AG＝，
∴EC＝EG＝，
即BC＝EC＝2；
②当CF＝FD时，如图：
此时∠FCD＝∠D＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴BC＝2；
综上所述，线段BC的长为或；
（3）解：过点M作MQ⊥BC于点Q，
∵∠ABC＝45°，
∴△BQM是等腰直角三角形，
∴MQ＝BM，
若要MQ最小，则BM最小即可，
即当BM⊥EC时，BM最小，过点E作ET⊥BC于点T，
∴AS＝AM＝AB＝，
∴MQ＝BQ＝BM，，
∵ET＝EC＝BM＝2+，△BCE是等腰三角形，CN是∠BCE的角平分线，
∴△BCN的面积是△BCE面积的一半，
即S△BCN＝S△BCE＝＝＝．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠BCD的度数，再结合∠ACB＝∠ACF＝30°，利用角的运算求出∠FCD的度数即可；
（2）分类讨论：结合图形，利用等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可；
（3）根据题意先求出△BQM是等腰直角三角形，再求出△BCN的面积是△BCE面积的一半，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1四川省成都市武侯区棕北中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）
1．（2023九上·武侯开学考）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，∴C符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2023九上·武侯开学考）若x＞y，则下列各式正确的是（ ）
A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．﹣2x＜﹣2y D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵x>y，∴x+2>y+2 ，∴A不正确，不符合题意；
B、∵x>y，∴x﹣2>y﹣2 ，∴B不正确，不符合题意；
C、∵x>y，∴-2x<-2y ，∴C正确，符合题意；
D、∵x>y，∴，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
3．（2023九上·武侯开学考）将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（ ）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】∵﹣＝3，
∴分式方程两边同时乘（x-2），可得x+2=3（x-2），
故答案为：D.
【分析】将分式方程两边同时乘（x-2），可得答案.
4．（2023九上·武侯开学考）在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△AED是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点D，E是BC的三等分点，
∴BD=DE=CE，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CAE+∠C，
∴∠BAD=30°，∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=120°，
故答案为：C.
【分析】根据三等分点求出BD=DE=CE，再根据等边三角形的性质求出AD=AE=DE，∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，最后计算求解即可。
5．（2023九上·武侯开学考）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：△ABC≌△DEC，
∴AC=DC，∠ECD=∠ACB=30°，
∴∠DAC=∠ADC=（180°-∠ECD）÷2=75°，
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质求出△ABC≌△DEC，再利用三角形的内角和定理计算求解即可。
6．（2023九上·武侯开学考）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：D.
【分析】利用分式的混合运算的计算方法求解即可.
7．（2023九上·武侯开学考）如图，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+6的图象相交于点P，则不等式﹣x+6＞kx的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】根据图象可得，点P的纵坐标为4，
将y=4代入y＝﹣x+6，
可得：4=-x+6，
∴x=2，
∴点P的坐标为（2，4），
根据函数图象可得：当x<2时，﹣x+6＞kx ，
故答案为：B.
【分析】先求出点P的坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE＝2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AD//BC，
∴点O是AC和BD的中点，
∵点E、F分别是AB和AD的中点，
∴OE和OF分别是△ABD和△BCD的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，
∴C ABCD=2×（AB+BC）=2×（4+6）=20，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的中位线求出AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2017·深圳模拟）因式分解：2x2﹣18= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
10．（2023九上·武侯开学考）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是2：1，则n的值为 ．
【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】根据题意可得：正多边形的一个外角=，
∴正多边形的边数=360°÷60°=6，
故答案为：6.
【分析】先求出正多边形的一个外角，再利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角”计算即可.
11．（2023九上·武侯开学考）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程无实数根，
∴△＜0，
即22-4×1×（-k）＜0，
解得：k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1 .
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可.
12．（2023九上·武侯开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段AB平移得到的，B的坐标上，已知A，C，D三点的坐标分别为（2，1），（4，2），（3，4），则点B的坐标为 ．
【答案】（1，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵线段CD是由线段AB平移得到的，点C的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，1），
∴线段CD由线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得，
∵点D的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3-2，4-1），即（1，3），
故答案为：（1，3）.
【分析】先利用点A、C的坐标，判断出线段CD由线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得，再结合点D的坐标求出点B的坐标即可.
13．（2023九上·武侯开学考）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，则线段CD的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接BD，如图所示：
根据题意可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∵AC2+BC2=82+62=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，
在△BCD中，由勾股定理可得：BC2+CD2=BD2，
∴62+CD2=（8-CD）2，
解得：CD=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形且∠C=90°，再利用勾股定理可得62+CD2=（8-CD）2，再求出CD的长即可.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2023九上·武侯开学考）（1）解不等式组：．
（2）计算：．
【答案】（1）解：（1），由①得：x≥﹣5，
由②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：-5≤x＜3；
（2）解：原式
.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可；
（2）利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
15．（2023九上·武侯开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，3），C（3，4）．
⑴画出△ABC关于原点O成中心对称的Δ A1B1C1；
⑵画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°所得到的Δ A2B2C2；
⑶根据⑴（2）画出的图形，求出Δ AA1A2的面积．
【答案】解：⑴如图，Δ A1B1C1；即为所求；
⑵如图，Δ A2B2C2即为所求；
⑶ΔAA1A2的面积＝×2×2＝2．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式求解即可.
16．（2023九上·武侯开学考）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形：卡片②是长为b，宽为a的长方形； 卡片③是边长为b的正方形
（1）卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为 ；
（2）小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③， 并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的长方形， 请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为 ；
（3）小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a＝1.6，b=2.8，求正方形M的边长．
【答案】（1）（a2+ab+b2）
（2）
（3）解：根据题意得，正方形M的面积为：4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，
∴正方形M的边长为（2a+b），
当a＝1.6，b＝2.8时，2a+b＝2×1.6+2.8＝6，
即正方形M的边长为6．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为： （a2+ab+b2），
故答案为：（a2+ab+b2）；
（2）由图②可得：矩形的长为（2a+b），宽为（a+b），
∴矩形的面积为；
∵小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，
∴矩形的面积也可以表示为：2a2+3ab+b2 ，
∴根据图2的面积写一个多项式的因式分解为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，结合图形求面积即可；
（2）利用矩形的面积公式，结合题意求解即可；
（3）根据正方形的面积求出正方形M的边长为（2a+b），再将 a＝1.6，b=2.8代入计算求解即可。
17．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数。
【答案】（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD， AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∵AB＝DC＝DF，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAC＝80°，
∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ∠BAF＝∠DCE， 再利用SAS证明 △ABF≌△CDE ，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 BE＝DF， 再求出 ∠BEA＝∠BAC＝80°， 最后利用三角形的内角和定理计算求解即可。
18．（2023九上·武侯开学考）如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE，连接BE.
（1）求∠CBE的度数；
（2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°，求线段AE的长；
（3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N，求线段BN的长。
【答案】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE＝120°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝30°；
（2）解：如图所示：过C点作CM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
由（1）知，△ACD≌△BCE，∠CBE=∠CAD=30°，
∵∠ACD＝30°，AD＝4，
∴AD＝CD＝CE＝BE＝4，∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴CE∥AB，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴四边形MNEC是矩形，
∴MN＝CE＝4，
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，∠CDM=∠CAD+∠ACD=60°，
∴∠DCM＝30°，
∴DM＝CD＝2，
同理可得，BN＝BE=2，
∴NE＝＝2，
∴AN＝AD+DM+MN＝4+2+4＝10，
∴AE＝＝＝，
即AE的长为；
（3）解：连接DP，过点N作NQ⊥PB于Q，
∵AD＝AC，点M为CD中点，
∴AP是CD的垂直平分线，
∴CP＝DP，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCP＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠DPB＝∠PCD+∠PDC＝90°，
∵BD＝2，∠PBD＝30°，
∴DP＝BD＝1，＝，
设BN＝x，则NQ＝x，＝x，
∵∠NPQ＝∠CPM＝45°，
∴PQ＝NQ＝x，
∵PB＝PQ+QB，
∴＝，
解得x＝3﹣，
即BN的长为3﹣．
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和求出∠CAD＝30°，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出四边形MNEC是矩形，再利用矩形的性质以及勾股定理等计算求解即可；
（3）先作图，再求出AP是CD的垂直平分线，最后根据勾股定理，列方程计算求解即可。
四、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，答案写在答题卡上）
19．（2023九上·武侯开学考）已知x＝y+3，则x2﹣2xy+y2的值为 ．
【答案】9
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵x＝y+3，
∴x2﹣2xy+y2=（x-y）2=（y+3-y）2=9，
故答案为：9.
【分析】将x＝y+3代入x2﹣2xy+y2=（x-y）2计算即可.
20．（2023九上·武侯开学考）已知不等式组的解集为x≥3，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】，
由①可得x≥3，
由②可得x≥m+2，
∵不等式组的解集为x≥3，
∴m+2≤3，
∴m≤1，
故答案为：m≤1.
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x≥3，可得m+2≤3，再求出m的取值范围即可.
21．（2023九上·武侯开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2DF，直线BF交AC于点E，BE交CD的延长线于点G，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AF=2DF，
∴设DF=m，AF=2m，AD=3m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC=3m，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先设DF=m，AF=2m，AD=3m，再利用平行线分线段成比例的性质可得，再求出即可.
五、解答题（11分）
22．（2023九上·武侯开学考）在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点B的对应点为点E，线段EC与边AD交于点F．
（1）∠ACB＝30°，求∠FCD的度数；
（2）若△CDF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；
（3）如图2，连接BE，CA的延长线交BE于点N，当点M到BC的距离最小值时，求出此时△BCN的面积．
【答案】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠FCD＝∠BCD﹣∠ACB﹣∠ACF＝135°﹣30°﹣30°＝75°，
即∠FCD的度数为75°；
（2）解：①若CF＝CD，如图：延长EA交BC于点G，
此时，∠D＝∠CFD＝45°，
∴∠FCD＝90°，
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠FCD＝45°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴∠EGC＝90°，
即△ABG和△EGC都是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴AE＝AB＝2，AG＝，
∴EC＝EG＝，
即BC＝EC＝2；
②当CF＝FD时，如图：
此时∠FCD＝∠D＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∵∠E＝∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴BC＝2；
综上所述，线段BC的长为或；
（3）解：过点M作MQ⊥BC于点Q，
∵∠ABC＝45°，
∴△BQM是等腰直角三角形，
∴MQ＝BM，
若要MQ最小，则BM最小即可，
即当BM⊥EC时，BM最小，过点E作ET⊥BC于点T，
∴AS＝AM＝AB＝，
∴MQ＝BQ＝BM，，
∵ET＝EC＝BM＝2+，△BCE是等腰三角形，CN是∠BCE的角平分线，
∴△BCN的面积是△BCE面积的一半，
即S△BCN＝S△BCE＝＝＝．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠BCD的度数，再结合∠ACB＝∠ACF＝30°，利用角的运算求出∠FCD的度数即可；
（2）分类讨论：结合图形，利用等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可；
（3）根据题意先求出△BQM是等腰直角三角形，再求出△BCN的面积是△BCE面积的一半，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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