2.3幂函数
【学习目标】
（1）了解幂函数定义，掌握常见幂函数的图象及性质；
（2）会根据函数的性质，画幂函数大致图象并简单应用；
（3）理解掌握数形结合和转化的数学思想方法。
【重点难点】
重点：从具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：由具体幂函数图象分类概括其性质。
【课前预习】
知识链接
指数函数
对数函数
定 义
图 象
性
质
定义域
值 域
定 点
单调性
新知呈现
1、请将下列问题中的y表示成x的函数：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付y= ______元；
(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y= ；
(3)如果正方体的边长为x,那么正方体的体积y= ；
(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么正方形的边长 y= ；
(5)如果某人x s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度y= km/s。
思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？
定义：一般地，函数 ____叫做幂函数，其中 是自变量，____是常数。
思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，，，的图象
列表：
3、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，的图象
列表：
4、观察上述图象，填写下表：
定义域
值 域
奇偶性
单调性
公共点
自我检测
（1）请指出下列函数中的幂函数：，，，，.
（2）与的大小关系是
（3）与的大小关系是
我在预习中存在的疑惑：
【课堂探究】
指数函数
幂函数
定 义
图 象
性
质
定义域
R
值 域
定 点
(0,1)
单调性
在R上单调递增
在R上单调递减
探究1.请在《新知呈现》第2题中画函数的图象；在《新知呈现》第3题中画函数的图象.（部分数据如下表）
…
0
1
2
3
…
…
0
1
1.26
1.44
…
…
1
4
…
…
4
3
2
1
…
探究2. 请根据以上函数图象,画出在时的大致图象形状.
探究3.如果不用描点法，如何画出在定义域的大致图象？ (举例说明)
探究4.类比指、对数函数的研究方法，归纳出函数的性质.（填入本页上方表格）
【课堂检测】
1．如右图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，
已知分别取 四个值，则相应图象依次为:________
2.比校大小：
3．连连看：试建立函数与图象之间的对应关系.
（A） (B) (C) (D) (E) (F)
【课后作业】
1.下列函数中，值域为的是 （ ）
A． B. C. D.
2．解关于的不等式
3.幂函数，当时为减函数，求实数的值，并求函数的定义域
4.证明幂函数在上是增函数。
《幂函数》教学设计
佳木斯一中 单丽波
一、教学内容解析
“幂函数”选自《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社?课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）A版必修1第2章第3节．在学生已经学习了三个简单的幂函数，对其图像和性质有了一定的感性认识基础上，进一步学习幂函数，有助于帮助学生形成关于幂函数完整的知识结构．幂函数是本章研究的最后一个函数，是在学生系统学习了函数概念与函数性质，有了指数函数和对数函数的学习经历之后，可以用类比的方法进行研究，渗透数形结合、分类讨论等数学思想，进一步培养学生的归纳、类比、概括等能力，体会和掌握研究基本初等函数的一般过程和方法．因而，本节内容是对前面函数概念和指数函数对数函数学习的一个总结和提升，也为后面学习三角函数等基本初等函数奠定坚实的基础．
二、教学目标设置
（一）教学目标
1．了解幂函数的定义；会画几个常见幂函数的图像；掌握幂函数的性质，并能进行简单的应用．
2．通过类比指、对数函数的研究方法和过程，对幂函数进行学习研究，掌握研究函数的一般方法；
3．（1）引导学生经历由具体函数研究，概括一般规律，再实际应用的过程，渗透数形结合、分类讨论等数学思想，体会特殊和一般的辩证关系，从而培养学生观察、分析、归纳和概括等逻辑思维能力；（2）通过小组合作学习，引导学生开展自主、合作、探究学习，培养学生主动探究的意识和严谨治学的科学精神，促进合作能力、沟通能力和表达交流能力的提高．
（二）教学目标解析
1．学生初中已经学习了三个简单的幂函数，对其图像和性质有了一定的感性认识．本节课在此基础上学习幂函数的概念，对幂函数的图像和性质进行分类研究，从而形成幂函数完整的知识结构，并应用性质解决简单的问题．
2．学生在本章已经系统学习了函数概念与函数性质，并且有了指数函数和对数函数的学习经历，为学习幂函数做好了方法上的准备，所以采用类比的方法进行研究，体现函数研究的一般方法，是对前面学习函数知识的总结和提升，也为今后学习其它基本初等函数奠定良好的基础．
3．渗透数形结合、分类讨论、转化等思想方法，以及特殊和一般辩证关系，通过小组合作学习，引导学生自主、合作、探究学习，经历观察、比较、分析、类比、归纳和概括等认知过程，使学生生动活泼地全面发展，数学思维品质和能力得到全面提升．
三、学生学情分析
学生初中已经学习掌握了几个简单的初等函数，进入高中阶段，在学习了函数的概念及单调性、奇偶性等函数性质基础上，独立研究过指数函数与对数函数的图像和性质，基本掌握了研究函数的一般方法和过程。但由于幂函数的情况比较复杂，学生对研究幂函数的角度，共性的归纳和概括，可能要克服一定的障碍。所教班级学生活泼，思维活跃，探索欲望强烈，合作意识浓，能够较好地通过小组合作学习进行自主、合作、探究学习，达成学习目标。
综上所述，确定本节课的教学难点是对幂函数的图象进行分类，从而概括出共性性质。
四、教学策略分析
教材提供了研究幂函数的五个具体函数，实际教学中添加了两个典型幂函数的研究，一方面是夯实双基，另一方面也为学生进行类比研究提供更多的素材，是对教材处理的创新之处。本节课采用导学案教学，课前，学生通过自主学习，进行充分的知识准备，课上，以问题为引领，以类比为主线，以学生的学为中心，通过组织小组合作学习，突出学生自主、合作、探究，学生扎实获得知识的同时，促进学生生动活泼地全面发展。
五、教学过程
一、课前预习
（1）【知识链接】指、对数函数性质填表；
指数函数
对数函数
定 义
图 象
性
质
定义域
值 域
定 点
单调性
师生活动：实物投影学生成果。
设计意图：为后面的类比研究作铺垫。
（2）【新知呈现】
1、请将下列问题中的y表示成x的函数：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付y= ______元；
(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y= ；
(3)如果正方体的边长为x,那么正方体的体积y= ；
(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么正方形的边长 y= ；
(5)如果某人x s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度y= km/s。
思考：这5个问题中的函数具有什么共同特征？
定义：一般地，函数 ____叫做幂函数，其中 是自变量，____是常数。
思考：你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
2、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，，，的图象
列表：
3、在同一平面直角坐标系中（用不同颜色的笔）画出函数，的图象
列表：
4、观察上述图象，填写下表：
定义域
值 域
奇偶性
单调性
公共点
师生活动：小组研讨确定答案后进行小组展示。其它同学提出质疑和修改方案。
设计意图：鼓励学生主动学习，检验预习成果。
（3）【自我检测】幻灯片展示答案
自我检测
①请指出下列函数中的幂函数：，，，，.
②与的大小关系是: <
③与的大小关系是: >
（4）【预习疑惑】
幻灯片放映课前扫描完的学生的疑惑。
师生活动：简单问题小组研讨，展示解答，其它问题本节课学习之后可解决。
设计意图：在预习其础上，将思考探究深入，提高学生认知能力。
二、课堂探究
幻灯放映指数函数（已填写）与幂函数（未填写）的对比表格
指数函数
幂函数
定 义
图 象
性
质
定义域
R
值 域
定 点
(0,1)
单调性
在R上单调递增
在R上单调递减
师生活动：提示学生下面的研究过程类比指数函数。
设计意思：让学生明确研究过程和方法，为自主探究提供方向。
（2）探究1
请在《新知呈现》第2题中画函数的图象；在《新知呈现》第3题中画函数的图象.（部分数据如下表）
…
0
1
2
3
…
…
0
1
1.26
1.44
…
…
1
4
…
…
4
3
2
1
…
师生活动：学生独立描点法画函数的图象，小组研讨收集成果并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：①规范基本作图方法——描点法；②为性质归纳提供更多具体函数
（3）探究2
请根据以上函数图象,画出在时的大致图象形状.
师生活动：独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：一象限内图象的研究需分类，可类比指数函数
（4）探究3
如果不用描点法，如何画出在定义域的大致图象？ (举例说明)
师生活动：独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答。
设计意图：使幂函数大致图象完整，解决预习中所有疑惑
（5）探究4
类比指、对数函数的研究方法，归纳出函数的性质.（填入前一页上方表格）
师生活动：①独立思考后，小组研讨并在班级进行展示，指定其它组为其点评，同学可以提出质疑，点评组解答；
②教师明确了解和掌握的性质内容，指导将指、幂函数图象性质对比表填写完整。
设计意图：①激发学生更深层探究；②类比研究后达成学习目标，明确重点。
三、课堂检测
1．如右图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，
已知分别取 四个值，则相应图象依次为:________
2.比校大小：
3．连连看：试建立函数与图象之间的对应关系.
（A） (B) (C) (D) (E) (F)
师生活动：学生独立思考，快速抢答。
设计意图：检验学习成果。
四、课堂小结
（1）学习的内容
（2）用过的数学思想方法
师生活动：学生总结，教师提升
设计意图：强化重点知识内容，提炼思想方法，提高学生数学学习能力
五、布置作业
1.下列函数中，值域为的是 （ ）
A． B. C. D.
设计意图：通过指、对、幂函数值域问题考查与区分，强化对这三个函数的认识。
2．解关于的不等式
设计意图：通过此题，学生运用幂函数单调性与奇偶性来解决问题，同时达到掌握本节课知识的目的．
3.幂函数，当时为减函数，求实数的值，并求函数的定义域
设计意图：此题是幂函数定义及单调性问题的综合应用，对这两个知识点加以巩固，并提高了学生解决问题的能力。
4.证明幂函数在上是增函数。
设计意图：课堂中重点是由图象归纳性质及性质的应用，此题是教材中例题，从单调性定义的角度理性地证明了在上是增函数，同时也复习了单调性证明的问题。
课件19张PPT。2.3幂 函 数环节一：课前预习知识链接：自我检测答案：（1）请指出下列函数中的幂函数：
， ， ， ， .（2） 与 的大小关系是： （3） 与 的大小关系是： <>预习中疑惑展示：1.2.3.4.环节二：课堂探究 探究1.
请在《新知呈现》第2题中画函数 的图象；
在《新知呈现》第3题中画函数 的图象. 4321-1-2-4-224x0y4321-1-2-3-4-4-2246x0y4321-1-4-224x0y探究2.请根据以上函数图象,
画出 在 时的大致
图象形状. 4321-1-4-224x0y探究3.如果不用描点法，
如何画出 在定义域
的大致图象？ (举例说明) 探究4.类比指、对数函数的
研究方法，归纳出函数
的性质.4321-1-4-224x0y 环节三：课堂检测1.如图，曲线是幂函数 在第一象限
内的图象，已知 分别取 四个值，
则相应图象依次为:__________ C4C2C3C12.比较大小：>3．连连看： （A） （B） （C） （D） （E） （F）环节四：课堂小结 谢 谢！
