吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2023九上·长春开学考）分式 有意义的条件是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠0 D．x=0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
2．（2023九上·长春开学考）下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（-3，2） B．（2，5） C．（5，-2） D．（-5，-5）
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A是第二象限的角，符合题意；
B是第一象限的角，不符合题意；
C是第四象限的角，不符合题意；
D是第三象限的角，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据各象限点的特征即可求出答案。
3．（2023九上·长春开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AB//CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B.∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C.∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D.∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据平行四边形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
4．（2023九上·长春开学考）一元二次方程（x+2）（x-4）＝x-4的解是（ ）
A．x＝-2 B．x＝-1 C．x＝-1，x＝4 D．x＝-2，x＝4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
（x+2）（x-4）-（x-4）=0
则（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
解得：x=4或-1
故答案为：C
【分析】移项，提公因式，再根据因式分解求解即刻。
5．（2023九上·长春开学考）若直线l与直线y＝2x-3关于y轴对称，则直线l的解析式是（ ）
A．y＝-2x+3 B．y＝-2x-3 C．y＝2x+3 D．y＝2x-3
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 直线l与直线y＝2x-3关于y轴对称的点的坐标为：横坐标互为相反数，纵坐标不变
则y=2（-x）-3，即y=-2x-3
故答案为：B
【分析】根据y轴对称的点的坐标特征即可求出答案。
6．（2023九上·长春开学考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案。
7．（2023九上·长春开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，若过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AP、EF
四边形AEPF为矩形
∴AP=EF
点P从B点沿着BD往D点移动， 当AP⊥BD时，AP取最小值
在Rt△BAD中
则EF=AP=
故答案为：B
【分析】连接AP、借助矩形的性质，将EF的最小值转换到AP上去，再结合垂线段最短及三角形面积即可求出答案。
8．（2023九上·长春开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
9．（2023九上·长春开学考）关于x的方程x2-5x+1＝0的根的判别式的值为 ．
【答案】21
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：21
【分析】根据二次方程判别式的公式即可求出答案。
10．（2023九上·长春开学考）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB=2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 ．
【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，四边形ABCD是菱形，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=2，
∴AC=AB=2，
即 A，C两点间的距离为2，
故答案为：2.
【分析】根据题意先求出AB=BC，四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质求出，最后根据等边三角形的判定与性质证明求解即可。
11．（2023九上·长春开学考）y与x的函数解析式为 ，当-2＜x≤0时， 则y的范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2＜x≤0时，y随x的增大而增大
当x=-2时，y=-3
当x=0时，y=0
则y的范围是：
故答案为：
【分析】判断y随x的增大而增大，则在x=-2时，y取最小值，当x=0时，y取最大值。
12．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
13．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG。若AB=4，CE＝10，则AG＝ ．
【答案】3
【知识点】矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵CE=10， F为CE的中点，
∴，
∴BG=BF=5，
∵AB=4，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质求出∠ABC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线求出BF=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．（2023九上·长春开学考）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
【答案】（ ，2 ）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥x轴，过点C作CH⊥x轴，过点B作BG⊥CH，
∵点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴，
解得：k=2，
∴双曲线的解析式为：，
∵点A（2，2），
∴AD=OD，
∴∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°-∠AOD=45°，
∵OA//BC，
∴∠CBO=180°-∠AOB=135°，
∴∠CBG=∠CBO-∠OBG=45°，
∴∠CBG=∠BCG，
∵BC=2，
∴，
∴点C的横坐标为，
∴，
∴点C的坐标是（ ，2 ） ，
故答案为： （ ，2 ） .
【分析】利用待定系数法求出双曲线的解析式为：，再根据平行线的性质求出∠CBO=180°-∠AOB=135°，最后求点的坐标即可。
15．（2023九上·长春开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先把括号内通分，然后按照分式加减法法则（同分母分式相加减，分母不变，分子相加减）进行减法运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时按照分式除法法则（除以一个分式，相当于乘以这个式子的倒数）把除法运算化为乘法运算（分子的积做分子，分母的积做分母），再约分化为最简形式 ，然后把x的值代入计算即可.
16．（2023九上·长春开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）当 ABCD的对角线满足 时，四边形BPCO是菱形．
【答案】（1）解：四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝ AC ，，
∵以点B，C为圆心， ， 长为半径画弧， 两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）AC＝BD
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（2） 当 ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形BPCO是菱形，
，
∴OB=OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为菱形，
故答案为：AC=BD.
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出OC＝OA＝ AC ，，再根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出OB=OC，再利用菱形的判定方法证明求解即可。
17．（2023九上·长春开学考）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等，请问：A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
【答案】解： 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，
根据题意得 ，
解得x＝0.9，
经检验x＝0.9是原方程的解，
x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可。
18．（2023九上·长春开学考）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹 ，不写画法
（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；
（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；
（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，DE，使△ABE∽△CDE．
【答案】（1）解：如图①所示，
∵ ，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：如图②所示，
∵AM∥BN，
∴△AMP∽△BNP，
∴ ，
∵ ，
∴BP＝3；
（3）解：如图③所示，连接QD交AC于点E，连接BE，DE，点E即为所求，
∵QE＝BE，
∴∠EBQ＝∠EQB，
∵QB∥CD，
∴∠Q＝∠D＝∠EBQ，
又∵∠C＝∠EAB＝90°，
∴△ABE∽△CDE．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意要求作三角形即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等找点求解即可；
（3） 根据平行线的性质以及相似三角形的判定方法找点求解即可。
19．（2023九上·长春开学考）如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）在反比例函数y＝ 的图象上 ，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）解：由题意得： ＝2x，
解得：x＝1或x=-1，
经检验x＝1或x=-1是原方程的解，
∴B（-1，-2），
∵点A（1，2），
∴AB＝ ，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，
∴AD＝AB＝ ，
∴D（1+2 ，2）．
∴菱形的面积＝2 ×（2+2）＝8 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入直线解析式 y＝2x 可求出a值，再代入反比例函数解析式计算求解即可；
（2）根据题意先求出B（-1，-2）， 再利用两点间的距离公式求出AB的值，最后求点的坐标以及菱形的面积即可。
20．（2023九上·长春开学考）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD=20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。当DQ=10米时，求△APQ的面积．
【答案】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30米，
∵矩形ABCD，
∴CD＝AB，
∵DC∥AP，
∴
∴
∴AP＝90，
∴S△APQ＝ AQ AP＝1350（米）2；
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】利用矩形的性质求出 CD＝AB， 再根据平行线分线段成比例求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．（2023九上·长春开学考）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
【答案】（1）l2；30；20
（2）解： 设甲出发x小时两人恰好相距5km，
由题意可得：30x+20（x-0.5）+5＝60或30x+20（x-0.5）-5＝60 ，
解得：x＝1.3或1.5，
答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象可得： 表示乙离A地的距离与时间关系的图象是l2，
甲的速度为：（km/h），
乙的速度为：（km/h），
故答案为：l2；30；20；
【分析】（1）根据函数图象，利用速度与路程，时间之间的关系计算求解即可；
（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km，再根据题意找出等量关系列方程计算求解即可。
22．（2023九上·长春开学考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程 ，我们来解决下面 的问题：分段函数y=
（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y=2；则a＝ ，b＝ ．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；
③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ▲ ．
【答案】（1）3；6
（2）解：①∵y＝ ，
故可作图如下：
②∵B（4，y2）是函数图象上的点，
∴y2＝1.5，
∵y1＜y2，
∴y1＜1.5，
由函数图象知，当y＜1.5时， x＜1.5，
∵A（m，y1）在函数图象上，
∴m＜1.5，
故m的取值范围为：m＜1.5；
③ 直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 0＜k＜3；
故答案为： 0＜k＜3.
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）将x=1，y=0代入y=ax-3得：
a-3=0，
解得：a=3；
将x=3，y=2代入得：
，
解得：b=6；
故答案为：3；6；
【分析】（1）将x和y的值代入函数解析式计算求解即可；
（2）①根据题意作函数图象即可；
②根据题意先求出y2＝1.5， 再求出y1＜1.5， 最后求m的取值范围即可；
③根据所给的函数图象求取值范围即可。
23．（2023九上·长春开学考）如图
阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上， ＝ ，AD与BE相交于点P，求 的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答： 的值为 ．
（2）参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ， 点E在AC上，且 ，求 的值；
（3）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ， 点E在AC上， 且 ， 直接写出 的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作AF∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵ ，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，过点C作CF∥AD交BE的延长线于点F，
，
∵BE为AC边的中线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点C作CF∥AP交PB于F，
，
，
设CF=2x，PD=3x，
∵CF∥AP，
，
，
∴AP=7x，AD=4x，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质求出 ， 再计算求解即可；
（3）结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
24．（2023九上·长春开学考）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，作点P关于直线DB的对称点P'，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 ；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t的值为 ．
【答案】（1）解：由已知可得ts时，DP＝2t，BQ=t，
∵AD＝4，
∴AP＝AB-DP＝5-2t，
∵在正方形ABCD中，
∴AD∥CB，即AP∥BQ，
当PQ∥AB时，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴4-2t＝t，
解得：t＝ s，
当PQ∥AB时，t＝ ；
（2）解：∵点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动， 同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∵点P关于直线DB的对称点为P' ，
∴当点P′与点Q重合时，必在CD边上，
当时间为ts时，P点行程为AD+AP＝2t，
∵AB＝AD＝4，
∴AP＝2t-4，
∴BP＝AB-AP＝8-2t ，
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴BP＝BQ＝8-2t，
又∵点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∴ts时，BQ＝t，
∴8-2t＝t，
解得：t＝ ，
故当点P′与点Q重合时，t＝ ，
（3） 或3
（4）1或3.2
【知识点】平行线的判定；勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（3）当P′Q＝1时，分两种情况：
当P′在CD上时，根据已知可知0＜t≤2，
由已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
如图所示：
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴DP＝DP′＝2t ，
∵CD＝CB＝4，
∴CP′＝CD-DP′＝4-2t，
此时CQ＝BC-BQ＝4-t ，
∵∠C＝90°，
∴P′Q3＝P′C2+CQ2，
即1＝（4-2t）2+（4-t）2，
∴5t2-24t+31＝0，
∵242-4×5×31＜0，
∴方程无解，故不存在；
当P′在CB边上时又分两种情况：
①P′在Q上方时，即2＜t＜，
如图所示：
由已知可知CD+P′C＝2t，
∴BP′＝CD+BC-（CD+P′C）＝8-2t，
∵BQ＝t，
∴当P′Q＝1时，则P′Q＝BP′-BQ，
∴1＝8-2t-t，
解得：t＝ ；
②当P′在Q下方时，即 ＜t＜4时，
此时同理BP′＝8-2t，BQ＝t，
∴1＝t-（8-2t），
解得：t＝3，
综上所述：P′Q＝1时，t＝ 或3 ，
故答案为： 或3；
（4）分两种情况：当P在AD上时，Q在BC边上，
根据已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
∵P与P′关于正方形ABCD的对角线BD对称，
∴P′在CD边上，且DP′＝DP＝2t，
根据已知可得PD∥CQ，
∴四边形DPQC为直角梯形，
当P′E与正方形ABCD的边平行时，
则P′E必平行于DA，即P′E∥PD∥CQ，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为直角梯形DPQC的中位线，
∴P′为CD的中点，
∴DP′＝ CD＝2，
即2t＝2，
∴t＝1，
如图所示：
当P在AB边上时，其对称点P′在BC边上，
且P′点须在Q点下方时，
P′E方可平行正方形ABCD的边，如图所示：′
由题意可得：ts时，BP＝8-2t，BQ＝t，
根据对称的性质，BP′＝8-2t，
此时P′E∥AB，即P′E∥BP，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为△BPQ的中位线，
∴P′为BQ中点，
∴BP′＝ BQ，
∴8-2t＝ t，
解得：t＝3.2，
综上所述：当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t＝1或3.2．
故答案为：1或3.2.
【分析】（1）根据题意先求出AP，再根据平行四边形的判定与性质，列方程计算求解即可；
（2）根据题意先求出 当点P′与点Q重合时，必在CD边上， 再求出 BP＝BQ＝8-2t， 最后列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，根据正方形的性质以及勾股定理等，列方程计算求解即可；
（4）分类讨论，根据三角形的中位线、梯形中位线等，列方程计算求解即可。
1 / 1吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2023九上·长春开学考）分式 有意义的条件是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠0 D．x=0
2．（2023九上·长春开学考）下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（-3，2） B．（2，5） C．（5，-2） D．（-5，-5）
3．（2023九上·长春开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
4．（2023九上·长春开学考）一元二次方程（x+2）（x-4）＝x-4的解是（ ）
A．x＝-2 B．x＝-1 C．x＝-1，x＝4 D．x＝-2，x＝4
5．（2023九上·长春开学考）若直线l与直线y＝2x-3关于y轴对称，则直线l的解析式是（ ）
A．y＝-2x+3 B．y＝-2x-3 C．y＝2x+3 D．y＝2x-3
6．（2023九上·长春开学考）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·长春开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，若过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
8．（2023九上·长春开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
9．（2023九上·长春开学考）关于x的方程x2-5x+1＝0的根的判别式的值为 ．
10．（2023九上·长春开学考）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB=2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 ．
11．（2023九上·长春开学考）y与x的函数解析式为 ，当-2＜x≤0时， 则y的范围是 ．
12．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 ．
13．（2023九上·长春开学考）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG。若AB=4，CE＝10，则AG＝ ．
14．（2023九上·长春开学考）如图，点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
15．（2023九上·长春开学考）先化简，再求值：，其中．
16．（2023九上·长春开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）当 ABCD的对角线满足 时，四边形BPCO是菱形．
17．（2023九上·长春开学考）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等，请问：A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
18．（2023九上·长春开学考）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹 ，不写画法
（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；
（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；
（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，DE，使△ABE∽△CDE．
19．（2023九上·长春开学考）如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
20．（2023九上·长春开学考）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD=20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。当DQ=10米时，求△APQ的面积．
21．（2023九上·长春开学考）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
22．（2023九上·长春开学考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程 ，我们来解决下面 的问题：分段函数y=
（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y=2；则a＝ ，b＝ ．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；
③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ▲ ．
23．（2023九上·长春开学考）如图
阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上， ＝ ，AD与BE相交于点P，求 的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答： 的值为 ．
（2）参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ， 点E在AC上，且 ，求 的值；
（3）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ， 点E在AC上， 且 ， 直接写出 的值为 ．
24．（2023九上·长春开学考）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，作点P关于直线DB的对称点P'，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 ；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A是第二象限的角，符合题意；
B是第一象限的角，不符合题意；
C是第四象限的角，不符合题意；
D是第三象限的角，不符合题意。
故答案为：A
【分析】根据各象限点的特征即可求出答案。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.由AB//CD，AD=BC无法判断四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
B.∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C.∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D.∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】结合图形，根据平行四边形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
（x+2）（x-4）-（x-4）=0
则（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
解得：x=4或-1
故答案为：C
【分析】移项，提公因式，再根据因式分解求解即刻。
5．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 直线l与直线y＝2x-3关于y轴对称的点的坐标为：横坐标互为相反数，纵坐标不变
则y=2（-x）-3，即y=-2x-3
故答案为：B
【分析】根据y轴对称的点的坐标特征即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AP、EF
四边形AEPF为矩形
∴AP=EF
点P从B点沿着BD往D点移动， 当AP⊥BD时，AP取最小值
在Rt△BAD中
则EF=AP=
故答案为：B
【分析】连接AP、借助矩形的性质，将EF的最小值转换到AP上去，再结合垂线段最短及三角形面积即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
9．【答案】21
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：21
【分析】根据二次方程判别式的公式即可求出答案。
10．【答案】2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，四边形ABCD是菱形，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=2，
∴AC=AB=2，
即 A，C两点间的距离为2，
故答案为：2.
【分析】根据题意先求出AB=BC，四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质求出，最后根据等边三角形的判定与性质证明求解即可。
11．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2＜x≤0时，y随x的增大而增大
当x=-2时，y=-3
当x=0时，y=0
则y的范围是：
故答案为：
【分析】判断y随x的增大而增大，则在x=-2时，y取最小值，当x=0时，y取最大值。
12．【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
13．【答案】3
【知识点】矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵CE=10， F为CE的中点，
∴，
∴BG=BF=5，
∵AB=4，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质求出∠ABC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线求出BF=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（ ，2 ）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥x轴，过点C作CH⊥x轴，过点B作BG⊥CH，
∵点A（2，2）在双曲线y＝ （x＞0）上，
∴，
解得：k=2，
∴双曲线的解析式为：，
∵点A（2，2），
∴AD=OD，
∴∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°-∠AOD=45°，
∵OA//BC，
∴∠CBO=180°-∠AOB=135°，
∴∠CBG=∠CBO-∠OBG=45°，
∴∠CBG=∠BCG，
∵BC=2，
∴，
∴点C的横坐标为，
∴，
∴点C的坐标是（ ，2 ） ，
故答案为： （ ，2 ） .
【分析】利用待定系数法求出双曲线的解析式为：，再根据平行线的性质求出∠CBO=180°-∠AOB=135°，最后求点的坐标即可。
15．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先把括号内通分，然后按照分式加减法法则（同分母分式相加减，分母不变，分子相加减）进行减法运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时按照分式除法法则（除以一个分式，相当于乘以这个式子的倒数）把除法运算化为乘法运算（分子的积做分子，分母的积做分母），再约分化为最简形式 ，然后把x的值代入计算即可.
16．【答案】（1）解：四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝ AC ，，
∵以点B，C为圆心， ， 长为半径画弧， 两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）AC＝BD
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（2） 当 ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形BPCO是菱形，
，
∴OB=OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为菱形，
故答案为：AC=BD.
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出OC＝OA＝ AC ，，再根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出OB=OC，再利用菱形的判定方法证明求解即可。
17．【答案】解： 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，
根据题意得 ，
解得x＝0.9，
经检验x＝0.9是原方程的解，
x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可。
18．【答案】（1）解：如图①所示，
∵ ，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：如图②所示，
∵AM∥BN，
∴△AMP∽△BNP，
∴ ，
∵ ，
∴BP＝3；
（3）解：如图③所示，连接QD交AC于点E，连接BE，DE，点E即为所求，
∵QE＝BE，
∴∠EBQ＝∠EQB，
∵QB∥CD，
∴∠Q＝∠D＝∠EBQ，
又∵∠C＝∠EAB＝90°，
∴△ABE∽△CDE．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意要求作三角形即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等找点求解即可；
（3） 根据平行线的性质以及相似三角形的判定方法找点求解即可。
19．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）在反比例函数y＝ 的图象上 ，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）解：由题意得： ＝2x，
解得：x＝1或x=-1，
经检验x＝1或x=-1是原方程的解，
∴B（-1，-2），
∵点A（1，2），
∴AB＝ ，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，
∴AD＝AB＝ ，
∴D（1+2 ，2）．
∴菱形的面积＝2 ×（2+2）＝8 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入直线解析式 y＝2x 可求出a值，再代入反比例函数解析式计算求解即可；
（2）根据题意先求出B（-1，-2）， 再利用两点间的距离公式求出AB的值，最后求点的坐标以及菱形的面积即可。
20．【答案】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30米，
∵矩形ABCD，
∴CD＝AB，
∵DC∥AP，
∴
∴
∴AP＝90，
∴S△APQ＝ AQ AP＝1350（米）2；
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】利用矩形的性质求出 CD＝AB， 再根据平行线分线段成比例求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）l2；30；20
（2）解： 设甲出发x小时两人恰好相距5km，
由题意可得：30x+20（x-0.5）+5＝60或30x+20（x-0.5）-5＝60 ，
解得：x＝1.3或1.5，
答：甲出发1.3小时或1.5小时两人恰好相距5km．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象可得： 表示乙离A地的距离与时间关系的图象是l2，
甲的速度为：（km/h），
乙的速度为：（km/h），
故答案为：l2；30；20；
【分析】（1）根据函数图象，利用速度与路程，时间之间的关系计算求解即可；
（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km，再根据题意找出等量关系列方程计算求解即可。
22．【答案】（1）3；6
（2）解：①∵y＝ ，
故可作图如下：
②∵B（4，y2）是函数图象上的点，
∴y2＝1.5，
∵y1＜y2，
∴y1＜1.5，
由函数图象知，当y＜1.5时， x＜1.5，
∵A（m，y1）在函数图象上，
∴m＜1.5，
故m的取值范围为：m＜1.5；
③ 直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 0＜k＜3；
故答案为： 0＜k＜3.
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）将x=1，y=0代入y=ax-3得：
a-3=0，
解得：a=3；
将x=3，y=2代入得：
，
解得：b=6；
故答案为：3；6；
【分析】（1）将x和y的值代入函数解析式计算求解即可；
（2）①根据题意作函数图象即可；
②根据题意先求出y2＝1.5， 再求出y1＜1.5， 最后求m的取值范围即可；
③根据所给的函数图象求取值范围即可。
23．【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作AF∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵ ，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，过点C作CF∥AD交BE的延长线于点F，
，
∵BE为AC边的中线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点C作CF∥AP交PB于F，
，
，
设CF=2x，PD=3x，
∵CF∥AP，
，
，
∴AP=7x，AD=4x，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质求出 ， 再计算求解即可；
（3）结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
24．【答案】（1）解：由已知可得ts时，DP＝2t，BQ=t，
∵AD＝4，
∴AP＝AB-DP＝5-2t，
∵在正方形ABCD中，
∴AD∥CB，即AP∥BQ，
当PQ∥AB时，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴4-2t＝t，
解得：t＝ s，
当PQ∥AB时，t＝ ；
（2）解：∵点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动， 同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∵点P关于直线DB的对称点为P' ，
∴当点P′与点Q重合时，必在CD边上，
当时间为ts时，P点行程为AD+AP＝2t，
∵AB＝AD＝4，
∴AP＝2t-4，
∴BP＝AB-AP＝8-2t ，
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴BP＝BQ＝8-2t，
又∵点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∴ts时，BQ＝t，
∴8-2t＝t，
解得：t＝ ，
故当点P′与点Q重合时，t＝ ，
（3） 或3
（4）1或3.2
【知识点】平行线的判定；勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（3）当P′Q＝1时，分两种情况：
当P′在CD上时，根据已知可知0＜t≤2，
由已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
如图所示：
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴DP＝DP′＝2t ，
∵CD＝CB＝4，
∴CP′＝CD-DP′＝4-2t，
此时CQ＝BC-BQ＝4-t ，
∵∠C＝90°，
∴P′Q3＝P′C2+CQ2，
即1＝（4-2t）2+（4-t）2，
∴5t2-24t+31＝0，
∵242-4×5×31＜0，
∴方程无解，故不存在；
当P′在CB边上时又分两种情况：
①P′在Q上方时，即2＜t＜，
如图所示：
由已知可知CD+P′C＝2t，
∴BP′＝CD+BC-（CD+P′C）＝8-2t，
∵BQ＝t，
∴当P′Q＝1时，则P′Q＝BP′-BQ，
∴1＝8-2t-t，
解得：t＝ ；
②当P′在Q下方时，即 ＜t＜4时，
此时同理BP′＝8-2t，BQ＝t，
∴1＝t-（8-2t），
解得：t＝3，
综上所述：P′Q＝1时，t＝ 或3 ，
故答案为： 或3；
（4）分两种情况：当P在AD上时，Q在BC边上，
根据已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
∵P与P′关于正方形ABCD的对角线BD对称，
∴P′在CD边上，且DP′＝DP＝2t，
根据已知可得PD∥CQ，
∴四边形DPQC为直角梯形，
当P′E与正方形ABCD的边平行时，
则P′E必平行于DA，即P′E∥PD∥CQ，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为直角梯形DPQC的中位线，
∴P′为CD的中点，
∴DP′＝ CD＝2，
即2t＝2，
∴t＝1，
如图所示：
当P在AB边上时，其对称点P′在BC边上，
且P′点须在Q点下方时，
P′E方可平行正方形ABCD的边，如图所示：′
由题意可得：ts时，BP＝8-2t，BQ＝t，
根据对称的性质，BP′＝8-2t，
此时P′E∥AB，即P′E∥BP，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为△BPQ的中位线，
∴P′为BQ中点，
∴BP′＝ BQ，
∴8-2t＝ t，
解得：t＝3.2，
综上所述：当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t＝1或3.2．
故答案为：1或3.2.
【分析】（1）根据题意先求出AP，再根据平行四边形的判定与性质，列方程计算求解即可；
（2）根据题意先求出 当点P′与点Q重合时，必在CD边上， 再求出 BP＝BQ＝8-2t， 最后列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，根据正方形的性质以及勾股定理等，列方程计算求解即可；
（4）分类讨论，根据三角形的中位线、梯形中位线等，列方程计算求解即可。
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