湖南省长沙市北雅中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2023九上·长沙开学考）2021年5月15月07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·蒙城模拟）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是85分，甲成绩的方差是16，乙成绩的方差是5，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲稳定
C．甲乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定
3．（2021九上·江油期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．（2022八下·湖南开学考）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
5．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·长沙开学考）我市6月的某一周每天的最高气温（单位：）统计如下：26，32，33，26，32，27，32，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．26，26 B．32，26 C．26，32 D．32，32
8．（2023九上·长沙开学考）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017八下·陆川期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
10．（2018九上·惠阳期中）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x+2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1
C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
11．（2023九上·长沙开学考）如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
12．（2023九上·长沙开学考）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，当最大时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021八下·沭阳月考）使分式 有意义的x的取值范围是 .
14．（2022九上·海陵月考）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣1，则代数式a﹣b的值是 ．
15．（2023九上·长沙开学考）如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则 ．
16．（2023九上·长沙开学考）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 °．
三、解答题
17．（2023九上·长沙开学考）解下列方程：
（1）；
（2）；
18．（2021·成都）先化简，再求值： ，其中 .
19．（2023九上·长沙开学考）已知二次函数
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
20．（2023九上·长沙开学考）直线与x轴交于点，与y轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在x轴负半轴上存在点C，使的面积等于10，求点C的坐标．
21．（2023九上·长沙开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
22．（2023九上·长沙开学考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
23．（2023九上·长沙开学考）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，8），点D在线段BC上（不与B，C重合），将△OCD沿OD翻折，使得点C落在同一平面内的点E处．
（1）如图1，当OD＝10时．
①求点D的坐标．
②延长DE交AB于点F，求点F的坐标．
（2）连结BE并延长，交正方形OABC的边于点G，若BD＝OG，求点D的坐标．
25．（2023九上·长沙开学考）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】5460万=54600000=，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故答案为：B．
【分析】直接运用方差的意义逐项排查即可．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】将x=0代入y＝x＋1，可得y=1，
∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，1），
将y=0代入y＝x＋1，可得x=-1，
∴一次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），
∴一次函数的图象为：
故答案为：C.
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再作出图象即可.
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
7．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：26，26，27，32，32，32，33，
∴这组数据的中位数与众数分别是32，32，
故答案为：D.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数和众数的定义求解即可.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵，，
∴一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴2m-1＜0，
解得：，
故答案为：A.
【分析】先求出一次函数的函数值y随x的增大而减小，可得2m-1＜0，再求出m的取值范围即可.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则就可以进行计算.
【分析】直接根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求解即可。
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设道路的宽为x米，
根据题意可得：（100-x）（80-x）=7644，
解得：x1=2，x2=178，
∵80-x＞0，
∴x＜80，
∴x=2，
故答案为：B.
【分析】设道路的宽为x米，再根据“绿化面积为7644平方米”列出方程（100-x）（80-x）=7644求解即可.
12．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
≤AB，当A、B、M三点共线时取等号，
当三点共线时，最大，
则直线与对称轴的交点即为点．
由可知，，
对称轴
设直线为．
故直线解析式为
当时，
.
故选：．
【分析】先证出当三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，再将x=1代入解析式求出y的值，可得点M的坐标.
13．【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】根据分式有意义的条件，分母不为零，可得x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣1，
∴1﹣b+a＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
故答案为：-1.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入方程中并化简即可得到a-b的值.
15．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AB=×8=4，
∵，，
∴EF=BC=×6=3，
∴DE=DF-EF=4-3=1，
故答案为：1.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出DF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出EF的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
16．【答案】60
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
在△ABE中，
∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）÷2=（180°-150°）÷2=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°，
故答案为：60°.
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，再利用等边三角形的性质求出∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，再利用角的运算及三角形外角的性质求出∠BFC的度数即可.
17．【答案】（1）解：∵，，，
∴
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
则，
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．【答案】解：
，
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再把除法转变为乘法，将各分式的分子和分母分解因式并约分，然后把a的值代入化简后的代数式计算即可求解.
19．【答案】（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再直接求出二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的开口方向及对称轴求解即可.
20．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：，
，
，
，
点C 在x轴负半轴上，，
点C 的横坐标为，
点C 的坐标为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）根据，求出，再结合点C在x轴负半轴上，，求出点C的坐标即可.
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
22．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）解：四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△AFE≌△DBE，可得AF=BD，再结合BD=CD，可得AF=DC；
（2）先证出四边形ADCF是平行四边形，再结合AD=DC，即可得到平行四边形ADCF是菱形．
23．【答案】（1）y＝﹣2x+160
（2）解：根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）解：设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“总利润=每件的利润×数量”列出方程 （x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，再求解即可；
（3）设每天获利w元，根据题意列出函数解析式w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，再利用二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）解：①如图所示：连接OF，
由折叠的性质可得：OC=OE=8，CD=DE，∠OCD=∠OED=90°，
∵OD=10，
∴，
∴点D的坐标为（6，8）；
②∵∠OED=90°，
∴∠OEF=∠OAF=90°，
∵OE=OA，OF=OF，
∴Rt△OEF≌Rt△OAF（HL），
∴EF=AF，
设EF=AF=m，
∴BF=8-m，DF=6+m，
∵BD=8-6=2，
∴，
解得：，
∴点F的坐标为.
（2）解：当BE交正方形OABC的边OA于点G时，如图：
∵BD=OG，又BD∥OG，
∴四边形BDOG是平行四边形，
∴BG∥DO，
∴∠CDO=∠DBE，∠ODE=∠DEB，
∵∠CDO=∠ODE，CD= DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴CD= DE=DB=4，
∴点D的坐标为(4，8)；
当BE交正方形OABC的边OC于点G时，如图：
连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵BD=OG，∴CD=CG，
∴Rt△BCGRt△OCD(SAS)，
∴∠2=∠3，
∵△OCD与△OED关于OD对称，
∴OD是线段CE的垂直平分线，CD=DE，
∴∠1+∠CDO=90°，∠2+∠CDO=90°，
∴∠1=∠2=∠3，
∴CE=BE，
同理可证∠ECG=∠EGC，
∴CE=BE=GE，则EH=GC，CH=BC=4，
设CD=CG=2x，则DE=CD=2x，EH= x，DH=4-2x，
在Rt△DEH中，，
即，
解得：或 (不合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(，8)；
∴点D的坐标为(，8)；
综上，点D的坐标为(，8)或(4，8)．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出OC=OE=8，CD=DE，∠OCD=∠OED=90°，再利用勾股定理求出CD=6，最后求点的坐标即可；
（2）根据题意先求出∠OEF=∠OAF=90°，再利用全等三角形的判定与性质，勾股定理列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
25．【答案】（1）解：∵直线 与轴交于点，与 轴交于点，
∴点的坐标是， 点的坐标是，
∵抛物线 经过两点，
，解得
；
（2）解：如图1，过点作轴的平行线交直线于点， 交轴于点，
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点的坐标是则点的坐标是
，
，
，
∴，
∴当时， 即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
（3），或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）在抛物线上存在点P， 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图，当四边形为平行四边形时
由，可得点的横坐标是，
∵点在直线 上，
∴点的坐标是，
又∵点的坐标是，
∴点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
的对称轴是直线，
∴设点的坐标是， 点的坐标是，
∵根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
∴点的坐标是；
③如图，当四边形为平行四边形时，
∴且，
由平移可知：，解得
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是，或．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点的坐标是则点的坐标是再利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，③当四边形为平行四边形时，再分别画出图形并利用平行四边形的性质求解即可.
1 / 1湖南省长沙市北雅中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2023九上·长沙开学考）2021年5月15月07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】5460万=54600000=，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2．（2021·蒙城模拟）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲乙两位同学的平均分都是85分，甲成绩的方差是16，乙成绩的方差是5，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲稳定
C．甲乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故答案为：B．
【分析】直接运用方差的意义逐项排查即可．
3．（2021九上·江油期末）已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.
4．（2022八下·湖南开学考）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、92+402=412，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵0.32+0.42=0.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、82+242≠252，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于较大边长的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断.
5．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】将x=0代入y＝x＋1，可得y=1，
∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，1），
将y=0代入y＝x＋1，可得x=-1，
∴一次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），
∴一次函数的图象为：
故答案为：C.
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再作出图象即可.
6．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
7．（2023九上·长沙开学考）我市6月的某一周每天的最高气温（单位：）统计如下：26，32，33，26，32，27，32，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．26，26 B．32，26 C．26，32 D．32，32
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：26，26，27，32，32，32，33，
∴这组数据的中位数与众数分别是32，32，
故答案为：D.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用中位数和众数的定义求解即可.
8．（2023九上·长沙开学考）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵，，
∴一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴2m-1＜0，
解得：，
故答案为：A.
【分析】先求出一次函数的函数值y随x的增大而减小，可得2m-1＜0，再求出m的取值范围即可.
9．（2017八下·陆川期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
10．（2018九上·惠阳期中）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x+2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1
C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则就可以进行计算.
【分析】直接根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律求解即可。
11．（2023九上·长沙开学考）如图所示，在长为100米宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路剩余部分进行绿化要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设道路的宽为x米，
根据题意可得：（100-x）（80-x）=7644，
解得：x1=2，x2=178，
∵80-x＞0，
∴x＜80，
∴x=2，
故答案为：B.
【分析】设道路的宽为x米，再根据“绿化面积为7644平方米”列出方程（100-x）（80-x）=7644求解即可.
12．（2023九上·长沙开学考）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，当最大时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
≤AB，当A、B、M三点共线时取等号，
当三点共线时，最大，
则直线与对称轴的交点即为点．
由可知，，
对称轴
设直线为．
故直线解析式为
当时，
.
故选：．
【分析】先证出当三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，再将x=1代入解析式求出y的值，可得点M的坐标.
二、填空题
13．（2021八下·沭阳月考）使分式 有意义的x的取值范围是 .
【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】根据分式有意义的条件，分母不为零，可得x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
14．（2022九上·海陵月考）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣1，则代数式a﹣b的值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣1，
∴1﹣b+a＝0，
∴a﹣b＝﹣1．
故答案为：-1.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入方程中并化简即可得到a-b的值.
15．（2023九上·长沙开学考）如图，中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且，若，，则 ．
【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AB=×8=4，
∵，，
∴EF=BC=×6=3，
∴DE=DF-EF=4-3=1，
故答案为：1.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出DF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出EF的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
16．（2023九上·长沙开学考）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 °．
【答案】60
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
在△ABE中，
∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）÷2=（180°-150°）÷2=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°，
故答案为：60°.
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，再利用等边三角形的性质求出∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，再利用角的运算及三角形外角的性质求出∠BFC的度数即可.
三、解答题
17．（2023九上·长沙开学考）解下列方程：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：∵，，，
∴
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
则，
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
18．（2021·成都）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：
，
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再把除法转变为乘法，将各分式的分子和分母分解因式并约分，然后把a的值代入化简后的代数式计算即可求解.
19．（2023九上·长沙开学考）已知二次函数
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
【答案】（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再直接求出二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的开口方向及对称轴求解即可.
20．（2023九上·长沙开学考）直线与x轴交于点，与y轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在x轴负半轴上存在点C，使的面积等于10，求点C的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：，
，
，
，
点C 在x轴负半轴上，，
点C 的横坐标为，
点C 的坐标为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）根据，求出，再结合点C在x轴负半轴上，，求出点C的坐标即可.
21．（2023九上·长沙开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
22．（2023九上·长沙开学考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）解：四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△AFE≌△DBE，可得AF=BD，再结合BD=CD，可得AF=DC；
（2）先证出四边形ADCF是平行四边形，再结合AD=DC，即可得到平行四边形ADCF是菱形．
23．（2023九上·长沙开学考）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+160
（2）解：根据题意得：（x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）解：设每天获利w元，
w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据“总利润=每件的利润×数量”列出方程 （x﹣30） （﹣2x+160）＝1200，再求解即可；
（3）设每天获利w元，根据题意列出函数解析式w＝（x﹣30） （﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，再利用二次函数的性质求解即可.
24．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，8），点D在线段BC上（不与B，C重合），将△OCD沿OD翻折，使得点C落在同一平面内的点E处．
（1）如图1，当OD＝10时．
①求点D的坐标．
②延长DE交AB于点F，求点F的坐标．
（2）连结BE并延长，交正方形OABC的边于点G，若BD＝OG，求点D的坐标．
【答案】（1）解：①如图所示：连接OF，
由折叠的性质可得：OC=OE=8，CD=DE，∠OCD=∠OED=90°，
∵OD=10，
∴，
∴点D的坐标为（6，8）；
②∵∠OED=90°，
∴∠OEF=∠OAF=90°，
∵OE=OA，OF=OF，
∴Rt△OEF≌Rt△OAF（HL），
∴EF=AF，
设EF=AF=m，
∴BF=8-m，DF=6+m，
∵BD=8-6=2，
∴，
解得：，
∴点F的坐标为.
（2）解：当BE交正方形OABC的边OA于点G时，如图：
∵BD=OG，又BD∥OG，
∴四边形BDOG是平行四边形，
∴BG∥DO，
∴∠CDO=∠DBE，∠ODE=∠DEB，
∵∠CDO=∠ODE，CD= DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴CD= DE=DB=4，
∴点D的坐标为(4，8)；
当BE交正方形OABC的边OC于点G时，如图：
连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵BD=OG，∴CD=CG，
∴Rt△BCGRt△OCD(SAS)，
∴∠2=∠3，
∵△OCD与△OED关于OD对称，
∴OD是线段CE的垂直平分线，CD=DE，
∴∠1+∠CDO=90°，∠2+∠CDO=90°，
∴∠1=∠2=∠3，
∴CE=BE，
同理可证∠ECG=∠EGC，
∴CE=BE=GE，则EH=GC，CH=BC=4，
设CD=CG=2x，则DE=CD=2x，EH= x，DH=4-2x，
在Rt△DEH中，，
即，
解得：或 (不合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(，8)；
∴点D的坐标为(，8)；
综上，点D的坐标为(，8)或(4，8)．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出OC=OE=8，CD=DE，∠OCD=∠OED=90°，再利用勾股定理求出CD=6，最后求点的坐标即可；
（2）根据题意先求出∠OEF=∠OAF=90°，再利用全等三角形的判定与性质，勾股定理列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
25．（2023九上·长沙开学考）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线 与轴交于点，与 轴交于点，
∴点的坐标是， 点的坐标是，
∵抛物线 经过两点，
，解得
；
（2）解：如图1，过点作轴的平行线交直线于点， 交轴于点，
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点的坐标是则点的坐标是
，
，
，
∴，
∴当时， 即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是.
（3），或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）在抛物线上存在点P， 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图，当四边形为平行四边形时
由，可得点的横坐标是，
∵点在直线 上，
∴点的坐标是，
又∵点的坐标是，
∴点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
的对称轴是直线，
∴设点的坐标是， 点的坐标是，
∵根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，
即，解得，
∴点的坐标是；
③如图，当四边形为平行四边形时，
∴且，
由平移可知：，解得
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是，或．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点的坐标是则点的坐标是再利用割补法求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，③当四边形为平行四边形时，再分别画出图形并利用平行四边形的性质求解即可.
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