2.4二次函数的应用（二）
一、选择题
1．如图2－109所示的抛物线的解析式是 ( )
A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2
( http: / / www.21cnjy.com )
2. （2014 佛山，第6题3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A、y=x B、y=2x﹣1 C、y= D、y=x2
3 （2014 浙江金华，第9题，3分）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A、﹣1≤x≤3 B、x≤﹣1 C、x≥1 D、x≤﹣1或x≥3
4.（2014 甘肃天水，第4题4分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A y=（x﹣1）2+2 B y=（x+1）2+2 C y=（x﹣1）2﹣2 D y=（x+1）2﹣2
5．（2014 齐齐哈尔，9题3分）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A ①②④ B ③④ C ①③④ D ①②
二、填空题
6．如图2－110所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是 ．
7．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 .
8．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是 ．
9. （2014 辽宁沈阳，第15题，4 ( http: / / www.21cnjy.com )分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．
10.（2014 甘肃天水，第18题4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
11．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大 最大面积是多少
12．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，SBDEF=y cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y最大 最大值是多少
13．如图2 - 113所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．
(1)求证△BEF∽△CEG；
(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少
14．如图2－114所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．
(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y的最大值．
15. （2014 湖北潜江仙桃，第25题1 ( http: / / www.21cnjy.com )2分）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．D[提示：应用待定系数法．]
2.C
3.D
4.A
5.A
6．1[提示：抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]
7．x＝ (3，0), (－，0) (0，－3)
8．－3
9.25
10（10.5，﹣0.25）
11．解：设窗框的长为x米，则窗框的宽为米，矩形窗框的面积y＝x()＝－x2＋4x．配方得y＝－(x－2)2＋4．∵a=－l＜0，∴函数y＝－(x－2)2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值＝4平方米，此时＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．
12．解：(1)设A到BC的距离为d cm，E到BC的距离为h cm，则y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80． (3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200．
13．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG．
(2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG为△DEF中EF边上的高．在Rt△BFE中，∠B=60°，EF＝BEsin B＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=(3－x)cos 60°=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EF·DG=－x2＋x，其中0＜x≤3．
(3)解：∵a=－＜0，对称轴x＝，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x＝3，即E与C重合时，S有最大值，S最大值＝3．
14．解：(1)以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x(16－2x)．当S1＝S2，即x(16－2x)=4x时，解得x1=0(舍去)，x2＝6．∴当x＝6时，S1＝S2．
(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x2＋20x．当8≤x≤16时，如图2－117所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S1＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x2＋52x－256．(2)解法1：②当0≤x＜8时，y＝－2x2＋20x＝－2(x2－10x＋25)＋50=－2(x－5)2＋50，∴当x＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x2＋52x－256=－2(x－13)2＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．解法2：②y＝－2x2＋20x(0≤x＜8)，当x＝－＝5时，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－＝13时，y最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．
15.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ，
∴y=﹣x2﹣x+2．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BQ=AP，
∴2﹣t=（2+t），
∴t=．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BQ=AP，
∴t﹣2=（2+t），
∴t=6．
综上所述，t=或6时，BQ=AP．
（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，
，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），
∴，
解得 或 ，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
( http: / / www.21cnjy.com )
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2+2t﹣2=0，
∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2﹣6t﹣18=0，
∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．
综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．2.4二次函数的应用（一）
一、选择题：
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－90所示，则下列判断错误的是 ( )
A．a＞0 B．c＜0 C.函数有最小值 D．y随x的增大而减小
2．关于二次函数y=x2＋4x－7的最大(小)值叙述正确的是 ( )
A．当x＝2时，函数有最大值
B．当x=2时，函数有最小值
C.当x＝－2时，函数有最大值
D．当x＝－2时，函数有最小值
3.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
X ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
（1）ac＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
4．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com )B ( http: / / www.21cnjy.com )C ( http: / / www.21cnjy.com )D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5.（2014 菏泽第8题3分）如图，R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．抛物线y＝－2x2＋5x－l有 点，这个点的坐标是 ．
7．把二次函数y＝2x2－4x＋5化成y= ( http: / / www.21cnjy.com )a(x－h)2＋k的形式是 ，其图象开口方向 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值，当x 时，y随x的增大而减小．
8. （2014 扬州，第16题，3分）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
（第3题图）
9．（2014 菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= ______．
三、解答题：
10．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝－3，求此二次函数的解析式．
11．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R元，售价为每只P元，且R，P与x之间的函数关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x.
(1)当日产量为多少只时，每日获得的利润为1750元
(2)当日产量为多少只时，每日可获得最大利润 最大利润是多少元
12. 2014 广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．某商场试销一种成本 ( http: / / www.21cnjy.com )为60元／件的T恤衫，规定试销期间销售单价不低于成本单价，获利不得高于成本单价的40％．经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元／件)符合一次函数y＝kx＋b，且当x＝70时，y＝50；当x＝80时，y＝40．
(1)求一次函数y=kx＋b的解析式；
(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润 最大利润是多少
14．南博汽车城销售某种型号的汽车 ( http: / / www.21cnjy.com )，每辆车的进货价为25万元．市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．(销售利润＝销售价－进货价)
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大 最大利润是多少
15. （2014 广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．D[提示：对称轴异侧的增减性不一致．]
2．D[提示：y＝x2＋4x－7＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(x＋2)2－11．∵a＞0，∴函数有最小值．当x＝－2时，函数y=(x＋2)2－11的最小值是－11．]
3.B
4.C
5.A
6．最高
7．y＝2(x－1)2＋3 向上 (1，3) 1 小 ＜1 21世纪教育网
8、0
9.3﹣_
10．提示：y＝－(x＋3)2＋4＝－x2－x＋.
11．解：设每日利润是y元，则y＝Px－R=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x2＋140x－500=－2(x－35)2＋1950(其中0＜x≤40，且x为整数)．(1)当y=1750时，－2x2＋140x－500＝1750，解得x1＝25，x2=45(舍去)，∴当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元． (2)∵y＝－2(x－35)2＋1950，∴当日产量为35只时，每日可获得最大利润，为1950元．
12.解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，）代入y=ax2得：a=，
∴二次函数的解析式为y=x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF==x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴x2+1=4，
解得：x=±2，
∴x2=×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．解：(1)由题意得解得故所求一次函数解析式为y=－x＋120(60≤x≤84)． (2)w=(x－60)(－x＋120)=－x2＋180x－7200=－(x－90)2＋900．∵抛物线开口向下，∴当x＜90时，w随x的增大而增大．又∵60≤x≤84，∴x＝84时，w＝(84－60)×(120－84)=864，∴当销售单价定为84元／件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．
14．解：(1)y=29－25－x，∴y＝－x＋4(0≤x≤4)． (2)z＝(8＋×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)=－8x2＋24x＋32=－8(x－)2＋50．(3)由(2)的计算过程可知，当x＝＝1.5时，z最大值＝50．即当定价为29－1.5＝27.5万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
15.（1）解：
∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=，
∴k=1．
∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，
∴顶点（﹣，1﹣）在y=x上，
∴﹣=1﹣，
解得 a=﹣．
（2）
①解：∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，r：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，
∵△==0，
∴（b﹣1）2+4a=0，
当k=2时，r：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，
∵△==0，
∴（b﹣2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组 ，
解得 或 ．
∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，
∴△=．
当时，△===0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
当时，△==，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．
∴C：y=﹣x2+1．
②证明：
根据题意，画出图象如图1，
( http: / / www.21cnjy.com )
由P在抛物线y=﹣x2+1上，设P坐标为（x，﹣x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，
∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，
∴OP====，
PQ=2﹣yP=2﹣（﹣x2+1）=，
∴OP=PQ．
