扬州市教研室新课程高考数学基础百题整理(解答题部分38题)

基础百题训练——解答题（基础38题）
101．定义在上的奇函数有最小正周期2，且时，。
（1）求
（2）求在上的解析式；
解：（1） ，
（2）设，则，
为奇函数，
，

0
102．已知函数 f (x) = lg (x 2 + ax + 1) ．
（1）若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．
解：（1），
（2）
103．已知集合若，求实数的取值范围。
变式：若把上题中m>0去掉，试求m的取值范围？
解：（1）
（2）
104．（1）证明函数在上的单调性
（2）求函数在区间上的最小值。
解：（1）略；
（2）
105．已知
（1）判断函数的奇偶性
（2）求证。
解：（1）偶函数
（2）若，又函数为偶函数，所以若，。
106．（1）解不等式
（2）
解：（1）若则；若，则
（2）
107．函数对任意的，都有，并且当x>0时>1，
（1）求证是R上的增函数
（2）若，解不等式
解：（1）略；
（2）
108．二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如下表
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
（1）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是多少？
（2）不等式的解集是多少？
解：（1）
（2）
109．已知,求的值.
解：由题设,，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ .
110．已知是方程的两个实根，
求的值.
解：由题设,,
∴ .
111．已知,且,求的值.
解：,
且，∴ ,，
∴ ， ∴ ，
∴ ,
∴ .
112．等差数列{a n}中，公差，在此数列中依次取出部分项组成的数列：，，… ，恰为等比数列，其中k1 = 1，k 2 = 5，k 3 = 17，求数列
解：

113．已知在正整数数列中，前项和满足：.
(1)求证是等差数列；
(2)若，求数列的前项和的最小值.
解：(1)∵ ① ,
∴时， ②,
①－②得，
整理得
又，∴.
即数列构成等差数列，公差为4.
(2)由知,即,
∴.
则.
令.
又N*∴，
此时的前项和取得最小值.其最小值为.
114．已知{a n}是等差数列，如果，其中f (x) = 3x– 2 ，求通项公式．
解：∵ ，∴

又∵ 是等差数列， ∴
即 解得
∴ ，
∴
115．已知两个向量，，其中θ∈(- ，- π)，且满足．
（1） 求的值；
（2） 求的值．
解：（1）依题意，
则
（2）由于，则，
结合，可得，
则
116．已知向量e1、e2不共线，
(1)若=e1－e2，=2e1－８e2，=3e1＋３e2，求证：A、B、D三点共线.?
(2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.?
解：(1) =+=2e1-8e2+3(e1+e2)＝５e1-5e2＝５
∴与共线?
又直线BD与AB有公共点B， ∴A、B、D三点共线?
(2)∵λe1-e2与e1-λe2共线?
∴存在实数k，使λe1－e2＝ｋ（e1－λe2）?，
化简得（λ－ｋ）e1+(kλ－１)e2＝0?
∵e1、e2不共线?，
∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０?
解得λ＝±１，故λ＝±１．?
117．已知不重合的两个点，为坐标原点。
（1）求夹角的余弦值的解析式及其值域；
（2）求的面积，并求出其取最大值时，的值。
解：（1），
∵不重合，∴，
，因此=，
由函数的单调性，得。
（2）==
=，，
当，取最大值，=2=.
118．已知不等式
（1）若不等式的解集是（－∞，－3）∪（－2，＋∞），求实数的值。
（2）若不等式的解集为，求实数的值。
解：（1）由题意知方程的两个根为－2，－3。
由根与系数的关系知
（2）不等式的解集为，

119．已知，且，求的最小值.
解：由知
∴的最小值为16
120．解关于的不等式
解：（1）当时，不等式的解集为
　　（2）当时，，不等式的解集为
　　（3）当时，
①，不等式的解集为
②，不等式的解集为
③，不等式的解集为
121．已知函数在和处有极值，求a，b的值。
解：，和处有极值，
∴1,2是方程的根，
122．若函数在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数。试求实数的取值范围。
解：
123．已知函数
（1）求的单调减区间
（2）若在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
解：（1）（－∞，－1），（3，＋∞）
　　（2）最小值为－7
124．已知函数
（1）若的单调增区间是（0,1）求的值。
（2）当时，函数的图象上任意的一点切线斜率恒大于3，
求的范围。
解：（1）
（2）恒成立，得
125．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．
证明：
又面
面
， 又，
面
126．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．
求证：（1）C1O//平面AB1D1；
（2）A1C⊥平面AB1D1．
证明：（1）连结，设，连结，
是正方体
是平行四边形
且
又分别是的中点，
且
是平行四边形,
面，面,
面
（2）面
又，

同理可证，
又 面
127．如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E．
（1）求证：；
（2）求异面直线AC与的距离；
（3）求三棱锥的体积．
（1）证明：取AC中点D，连ED，
∵E是AB′的中点，∴ED//
又是底角等于的等腰三角形，

（2）解：由（1）知
是异面直线AC与的距离，为
（3）连
128．已知点，在直线上求一点P，使最小.
解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.
设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.
129．已知圆，直线.
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.
（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.
130．直线与椭圆交于不同两点A和B，且（其中O为坐标原点），求k的值．
解：将代入，得．
由直线与椭圆交于不同的两点，得
即．
设，则．
由，得．
而
．
于是．解得．故k的值为．
131. 已知数列{a n}满足Sn＋an＝2n＋1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2) 证明所得的结论。
解：(1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－
(2)由 Sn＋an＝2n＋1知Sn+1＋an+1＝2（n＋1）+1
∴，∴
∴数列是等比数列，其首项为，公比为
∴an－2=()n-1，∴an＝2－
132．已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解：，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是.
133．已知命题且“且”与“非”同时为假命题，
（1）求的值构成的集合M；
（2）函数y = x t，其中t∈M，当函数图象关于y轴对称且与坐标轴无交点时，求2008 t的值.
解：非为假命题，则为真命题；“且”为假命题，则为假命题，即
且，得
或.
（2）由幂函数的定义可知t = 0符合题意，∴2008 t = 1.
134．有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11．
(1) 求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式．
(2)若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据．
解： （1） 依条件得：
由得：，
又由得：
（2）由于是正整数，故 ，，故当=10时, ，，, 此时，,,,,
,,,.
135．假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x（年）
2
3
4
5
6
y（万元）
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
解：（1）列表如下：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0

∴回归直线方程为
（2）当时，（万元）
即估计用10年时，维修费用约为12.38万元。
136．在钢丝线含碳量对于电阻的效应的研究中，得到如下的数据：
含碳量x%
0.10
0.30
0.40
0.55
0.70
0.80
0.95
电阻y
15
18
19
21
22.6
23.8
26
(1)画出电阻y(C,)关于含碳量x的散点图；
(2)求出y与x的相关系数；
(3)求出电阻y关于含碳量x的回归直线方程.
解：（1）由已知可得散点图如下：
（2）由散点图可得，r=0.9883
（3）回归方程为y=12.55x+13.958.
137．在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人。请你根据所给数据判断是否在恶劣气候飞行中，男人比女人更容易晕机．
解：根据题意，列出列联表如下：
晕机
不晕机
合计
男
24
31
55
女
8
26
34
合计
32
57
89
提出统计假设，：在恶劣气候飞行中男人与女人一样容易晕机则

,故我们有90%的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.
138．在某年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间从192吨到3246吨，船员的数目从5人到32人.船员人数关于船的吨位的线性回归方程为
(1)假设两艘轮船吨位相差1000吨，则船员平均人数相差多少？
(2)对于最小的船估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？（本小题保留整数）
解： （1）6.2人；（2）11人，30人.