浙江省温州市乐清市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学质量检测试卷
1．（2023高二上·乐清开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·乐清开学考）在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．（2023高二上·乐清开学考）要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移（ ）
A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位
4．（2023高二上·乐清开学考）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023高二上·乐清开学考）已知圆 ，圆 ，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
6．（2023高二上·乐清开学考）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．（2023高二上·乐清开学考）在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（ ）
A． B． C． D．1
8．（2023高二上·乐清开学考）如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为O，棱，的中点分别为E，F，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．
C．点F到直线的距离为
D．异面直线与所成角的余弦值为
9．（2023高二上·乐清开学考）在空间中，设为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．（2023高二上·乐清开学考）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C．直线恒过定点
D．直线与直线垂直，且与圆相交
11．（2023高二上·乐清开学考）已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·乐清开学考）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二上·乐清开学考）若复数，则 .
14．（2023高二上·乐清开学考）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
15．（2023高二上·乐清开学考）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是 ．
16．（2023高二上·乐清开学考）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为，这两个圆锥的体积之和为，则这两个圆锥中，体积较大者的高与体积较小者的高的比值为 .
17．（2023高二上·乐清开学考）已知直线和的交点为．
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
18．（2023高二上·乐清开学考）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中第三组频率为，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）
19．（2023高二上·乐清开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B大小；
（2）若，，为的重心，求的面积.
20．（2023高二上·乐清开学考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的余弦值．
21．（2023高二上·乐清开学考）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）若P的坐标为，求过点P的切线方程；
（2）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.
22．（2023高二上·乐清开学考）已知函数，.
（1）若，判断函数的奇偶性（不需要给出证明）；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，A∪B={x∣x≥-1}，即[-1，+∞）.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合并集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意方程表示以（1，3）为圆心，2为半径的圆，所以P点轨迹经过第一、二象限.
故答案为：A.
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：y=cosx=sin（x+），正弦曲线y=sinx图象向左平移个单位即可.
故答案为：A.
【分析】根据诱导公式和三角函数图象平移变换求解即可.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：当a=1时，l1：x+2y-5=0，l2：2x-y-2=0，k1=，k2=2，此时k1·k2=-1，l1⊥l2，充分性成立；
当l1⊥l2时，1×（3a-1）+2a×（-a）=0，解得a=1或a=，必要性不成立；所以是的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据直线垂直的性质和充分条件、必要条件的定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由于圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆 ，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于5，大于半径之和，故两个圆外离．
故选B．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，即1＜b＜a，，所以c＜b＜a.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：根据题意有，，所以有，又因为，所以，，.
故答案为：C.
【分析】根据题意得到，，再根据平面向量的线性运算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；正弦定理
【解析】【解答】解：如图所示
建立以D为原点的空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0），O（，，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，），F（，1，1，），D1（0，0，1），
A、，，，A不符合题意；
B、，，，B不符合题意；
C、，，，F到OD1的距离，C不符合题意；
D、，，令异面直线OD1与EF所成角，则，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】建立以D为原点的空间直角坐标系D-xyz，计算得判断A，利用正弦定理计算可得△FOE的面积判断B，利用空间向量的距离公式可判断C，利用直线方向向量计算夹角余弦值判断D.
9．【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A、∵m∥α，∴可取直线l，l∥m且lα，∵l∥m，m⊥β，∴l⊥β，又∵lα，∴α⊥β，A正确；
B、若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交，B错误；
C、若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面，C错误；
D、∵α⊥β，令α∩β=l1，可取直线l2，l2α且l1⊥l2，可得l2⊥β，又∵n⊥β，∴l2∥n，∵m⊥α，l2α，∴m⊥l2，又∵l2∥n，可得m⊥n，D正确；
故答案为：AD.
【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β判断A，若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交判断B，若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面判断C，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得m⊥n判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： A、根据题意，斜率k=sina，则-1≤k≤1，令倾斜角为β，则-1≤tanβ≤1，又因为0≤β＜π，解得β∈[0，]∪[，π），A正确；
B、根据点到直线距离为3，可得，解得c=5或c=-25，B错误；
C、根据题意可得λ（x-3）+y=0，令x-3=0可得x=3，y=0，所以l必过点（3，0），C正确；
D、l1斜率为2，l2斜率为，斜率乘积为-1，故两直线垂直，原点到l1的距离d=，故l1与圆相交，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据斜率范围求解倾斜角范围判断A，利用点到直线的距离公式构建方程求解判断B，提取参数并消去参数可得直线必过点（3，0）判断C，根据两直线斜率判定位置关系，求解圆心到直线的距离与圆半径比较判断D.
11．【答案】C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： A、因为a、b是正实数，所以a+b≥，当且仅当a=b时取等，因为a+b=1，所以，A错误；
B、因为，当且仅当，即a=，b=取等，B错误；
C、，当且仅当a=b=时取等，即，C正确；
D、，当且仅当a=b=时取等，D正确；
故答案为：CD.
【分析】根据a+b≥判断A，根据判断B，根据判断C，根据判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示
（1）当x≤0时，f（x）=ex在（-∞，0]内单调递增，且f（0）=1，所以f（x）∈（0，1]；
（2）当x＞0时，f（x）=2kex-k，x∈（k-1，k]，k∈N*，可知f（x）在（k-1，k]，k∈N*内单调递增，且f（k-1）=，f（k）=2k，所以f（x）∈（，2k]，k∈N*且，k∈N.
方程f（x）=a的根的个数可转化为y=f（x）与y=a的交点个数，由图象可知，
当a≤0时，没有交点；
当0＜a≤时，有且仅有1个交点；
当，k∈N时，有且仅有2个交点；
当，k∈N时，有且仅有1个交点；
所以实数a的取值（，2k]，k∈N，因为1∈（，1]，3∈（，4]，和e不在相关区间内，故a的可能值是1，3.
故答案为：BD.
【分析】根据题意将方程根的个数转化为函数图象交点个数问题，结合函数的单调性和值域以及图象分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：，.
故答案为：.
【分析】根据复数的四则运算与复数模的运算公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据题意，a-2×1=0，解得a=2，经检验两直线不重合，所以a=2，与间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据直线平行求解a，经检验后根据距离公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：123，132，213，231，312，321，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，342，423，432，共24个数字，
其中为“凹数”的有213，312，214，412，314，413，324，423，共8个，
所以所求概率为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出这个三位数为“凹数”的概率。
16．【答案】3
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示
设圆锥P1O1与圆锥P2O1公共底面的圆心为O1，取底面圆周上一点Q，令底面半径为r，球半径为R，因为球的体积为，所以，即R=2，因为两个圆锥体积之和为4π，所以，即，解得r=，在Rt△OO1Q中，OO1=，可得P1O1=P1O-OO1=2-1=1，P2O1=P2O+OO1=2+1=3，所以体积较大者的高与体积较小者的高的比值为.
故答案为：3.
【分析】根据题意作图，根据球体积和两个圆锥的体积之和求出球半径和底面半径，由截面圆中的直角三角形利用勾股定理求出OO1，得到两高求解即可.
17．【答案】（1）解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将代入可得
所以的方程为：；
（2）解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 利用已知条件，联立的方程得出交点P的坐标，设直线的方程为：，将代入可得c的值， 从而得出直线的方程。
（2） 法①：利用已知条件易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
从而得出直线与两坐标轴交点为，由题意结合代入法和三角形的面积公式得出a，b的值，从而得出直线的截距式方程，再转化为直线m的一般式方程。
法②：设直线的斜率为，则直线的方程为，当时，，当时，，再利用三角形的面积公式得出k的值，进而结合点斜式方程求出直线m的方程，再转化为直线m的一般式方程。
18．【答案】（1）解：第一组频率，第二组频率，
第三组频率，第四组频率，第五组频率，
由概率之和为，可得即，
第三组频率为0.45，可得，
解得，
（2）解：高分（大于等于80分）频数，
则估算高分（大于等于80分）频数为（人），
（3）解：估计平均数为，
设中位数为，
由于，故，
，解得，故中位数为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1求解a，b；
（2）根据题意求解高分频率，根据公式求解频数即可；
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可.
19．【答案】（1）解：
由正弦定理可得，
，
，
，
又三角形中，可得，
，又
，可得，
又即，可得，则.
（2）解：连接并延长使其交与点，如图，
因为为的重心，所以，
则点到线段的距离是点到线段的距离的，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，结合辅助角公式化简得，解三角方程即可求得B；
（2）根据题意可得O到AC距离与B到AC距离的比值，转化成面积比，即可求解面积.
20．【答案】（1）解：平面，平面，所以，
四边形为矩形，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，
解得，故；
（2）解：设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设二面角的平面角为，
则，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据向量垂直条件列方程求解即可；
（2）先求出平面与平面PBM的法向量，再利用向量数量积计算二面角余弦值即可.
21．【答案】（1）解：P的坐标为，
当斜率不存在时可设线为，
此时圆心到直线的距离，不符合切线要求，舍去；
当斜率不存在时可设线为，即，
此时圆心到直线的距离，即，
可得或，过点的切线方程为或.
（2）解：设，
联立，消去，可得，
化简可得：，
则，即，
解得，
由韦达定理可得，，
，
又，
.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）过点P设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径构建方程，求解即可；
（2）联立圆与直线方程，利用韦达定理构建函数式，求解范围即可.
22．【答案】（1）解：当时，为奇函数；
（2）解：.
函数的对称轴为直线，函数的对称轴为直线.
若函数在上是增函数，则，解得；
（3）解：方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，
所以，关于的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根，
即，即，
因为，所以，．
设，存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，所以，，
下证函数在上单调递增．
任取、且，则
，
因为，则，，所以，，
故函数在上单调递增．
所以当时，，故；
③当时，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根.
即，，所以，，
设，下证函数在上为减函数，
任取、且，则
，
因为，则，，所以，，
故函数在上单调递减．
因为存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
所以，，所以，.
综上：．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）若a=0，写出f（x）解析式即可判断奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质求解a的取值范围；
（3）根据方程有三个不相等的实数根建立条件关系即可求解t的取值范围.
1 / 1浙江省温州市乐清市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学质量检测试卷
1．（2023高二上·乐清开学考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，A∪B={x∣x≥-1}，即[-1，+∞）.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合并集运算求解即可.
2．（2023高二上·乐清开学考）在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据题意方程表示以（1，3）为圆心，2为半径的圆，所以P点轨迹经过第一、二象限.
故答案为：A.
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
3．（2023高二上·乐清开学考）要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移（ ）
A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：y=cosx=sin（x+），正弦曲线y=sinx图象向左平移个单位即可.
故答案为：A.
【分析】根据诱导公式和三角函数图象平移变换求解即可.
4．（2023高二上·乐清开学考）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：当a=1时，l1：x+2y-5=0，l2：2x-y-2=0，k1=，k2=2，此时k1·k2=-1，l1⊥l2，充分性成立；
当l1⊥l2时，1×（3a-1）+2a×（-a）=0，解得a=1或a=，必要性不成立；所以是的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据直线垂直的性质和充分条件、必要条件的定义求解即可.
5．（2023高二上·乐清开学考）已知圆 ，圆 ，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由于圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆 ，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于5，大于半径之和，故两个圆外离．
故选B．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
6．（2023高二上·乐清开学考）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，即1＜b＜a，，所以c＜b＜a.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求解即可.
7．（2023高二上·乐清开学考）在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：根据题意有，，所以有，又因为，所以，，.
故答案为：C.
【分析】根据题意得到，，再根据平面向量的线性运算求解即可.
8．（2023高二上·乐清开学考）如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为O，棱，的中点分别为E，F，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．
C．点F到直线的距离为
D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；正弦定理
【解析】【解答】解：如图所示
建立以D为原点的空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0），O（，，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，），F（，1，1，），D1（0，0，1），
A、，，，A不符合题意；
B、，，，B不符合题意；
C、，，，F到OD1的距离，C不符合题意；
D、，，令异面直线OD1与EF所成角，则，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】建立以D为原点的空间直角坐标系D-xyz，计算得判断A，利用正弦定理计算可得△FOE的面积判断B，利用空间向量的距离公式可判断C，利用直线方向向量计算夹角余弦值判断D.
9．（2023高二上·乐清开学考）在空间中，设为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A、∵m∥α，∴可取直线l，l∥m且lα，∵l∥m，m⊥β，∴l⊥β，又∵lα，∴α⊥β，A正确；
B、若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交，B错误；
C、若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面，C错误；
D、∵α⊥β，令α∩β=l1，可取直线l2，l2α且l1⊥l2，可得l2⊥β，又∵n⊥β，∴l2∥n，∵m⊥α，l2α，∴m⊥l2，又∵l2∥n，可得m⊥n，D正确；
故答案为：AD.
【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β判断A，若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交判断B，若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面判断C，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得m⊥n判断D.
10．（2023高二上·乐清开学考）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C．直线恒过定点
D．直线与直线垂直，且与圆相交
【答案】A,C,D
【知识点】直线的斜率；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： A、根据题意，斜率k=sina，则-1≤k≤1，令倾斜角为β，则-1≤tanβ≤1，又因为0≤β＜π，解得β∈[0，]∪[，π），A正确；
B、根据点到直线距离为3，可得，解得c=5或c=-25，B错误；
C、根据题意可得λ（x-3）+y=0，令x-3=0可得x=3，y=0，所以l必过点（3，0），C正确；
D、l1斜率为2，l2斜率为，斜率乘积为-1，故两直线垂直，原点到l1的距离d=，故l1与圆相交，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据斜率范围求解倾斜角范围判断A，利用点到直线的距离公式构建方程求解判断B，提取参数并消去参数可得直线必过点（3，0）判断C，根据两直线斜率判定位置关系，求解圆心到直线的距离与圆半径比较判断D.
11．（2023高二上·乐清开学考）已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： A、因为a、b是正实数，所以a+b≥，当且仅当a=b时取等，因为a+b=1，所以，A错误；
B、因为，当且仅当，即a=，b=取等，B错误；
C、，当且仅当a=b=时取等，即，C正确；
D、，当且仅当a=b=时取等，D正确；
故答案为：CD.
【分析】根据a+b≥判断A，根据判断B，根据判断C，根据判断D.
12．（2023高二上·乐清开学考）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示
（1）当x≤0时，f（x）=ex在（-∞，0]内单调递增，且f（0）=1，所以f（x）∈（0，1]；
（2）当x＞0时，f（x）=2kex-k，x∈（k-1，k]，k∈N*，可知f（x）在（k-1，k]，k∈N*内单调递增，且f（k-1）=，f（k）=2k，所以f（x）∈（，2k]，k∈N*且，k∈N.
方程f（x）=a的根的个数可转化为y=f（x）与y=a的交点个数，由图象可知，
当a≤0时，没有交点；
当0＜a≤时，有且仅有1个交点；
当，k∈N时，有且仅有2个交点；
当，k∈N时，有且仅有1个交点；
所以实数a的取值（，2k]，k∈N，因为1∈（，1]，3∈（，4]，和e不在相关区间内，故a的可能值是1，3.
故答案为：BD.
【分析】根据题意将方程根的个数转化为函数图象交点个数问题，结合函数的单调性和值域以及图象分析求解即可.
13．（2023高二上·乐清开学考）若复数，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：，.
故答案为：.
【分析】根据复数的四则运算与复数模的运算公式求解即可.
14．（2023高二上·乐清开学考）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据题意，a-2×1=0，解得a=2，经检验两直线不重合，所以a=2，与间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据直线平行求解a，经检验后根据距离公式求解即可.
15．（2023高二上·乐清开学考）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：123，132，213，231，312，321，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，342，423，432，共24个数字，
其中为“凹数”的有213，312，214，412，314，413，324，423，共8个，
所以所求概率为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出这个三位数为“凹数”的概率。
16．（2023高二上·乐清开学考）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为，这两个圆锥的体积之和为，则这两个圆锥中，体积较大者的高与体积较小者的高的比值为 .
【答案】3
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示
设圆锥P1O1与圆锥P2O1公共底面的圆心为O1，取底面圆周上一点Q，令底面半径为r，球半径为R，因为球的体积为，所以，即R=2，因为两个圆锥体积之和为4π，所以，即，解得r=，在Rt△OO1Q中，OO1=，可得P1O1=P1O-OO1=2-1=1，P2O1=P2O+OO1=2+1=3，所以体积较大者的高与体积较小者的高的比值为.
故答案为：3.
【分析】根据题意作图，根据球体积和两个圆锥的体积之和求出球半径和底面半径，由截面圆中的直角三角形利用勾股定理求出OO1，得到两高求解即可.
17．（2023高二上·乐清开学考）已知直线和的交点为．
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
【答案】（1）解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将代入可得
所以的方程为：；
（2）解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 利用已知条件，联立的方程得出交点P的坐标，设直线的方程为：，将代入可得c的值， 从而得出直线的方程。
（2） 法①：利用已知条件易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
从而得出直线与两坐标轴交点为，由题意结合代入法和三角形的面积公式得出a，b的值，从而得出直线的截距式方程，再转化为直线m的一般式方程。
法②：设直线的斜率为，则直线的方程为，当时，，当时，，再利用三角形的面积公式得出k的值，进而结合点斜式方程求出直线m的方程，再转化为直线m的一般式方程。
18．（2023高二上·乐清开学考）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中第三组频率为，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）
【答案】（1）解：第一组频率，第二组频率，
第三组频率，第四组频率，第五组频率，
由概率之和为，可得即，
第三组频率为0.45，可得，
解得，
（2）解：高分（大于等于80分）频数，
则估算高分（大于等于80分）频数为（人），
（3）解：估计平均数为，
设中位数为，
由于，故，
，解得，故中位数为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图面积和为1求解a，b；
（2）根据题意求解高分频率，根据公式求解频数即可；
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可.
19．（2023高二上·乐清开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B大小；
（2）若，，为的重心，求的面积.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得，
，
，
，
又三角形中，可得，
，又
，可得，
又即，可得，则.
（2）解：连接并延长使其交与点，如图，
因为为的重心，所以，
则点到线段的距离是点到线段的距离的，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，结合辅助角公式化简得，解三角方程即可求得B；
（2）根据题意可得O到AC距离与B到AC距离的比值，转化成面积比，即可求解面积.
20．（2023高二上·乐清开学考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：平面，平面，所以，
四边形为矩形，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，
解得，故；
（2）解：设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设二面角的平面角为，
则，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据向量垂直条件列方程求解即可；
（2）先求出平面与平面PBM的法向量，再利用向量数量积计算二面角余弦值即可.
21．（2023高二上·乐清开学考）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）若P的坐标为，求过点P的切线方程；
（2）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.
【答案】（1）解：P的坐标为，
当斜率不存在时可设线为，
此时圆心到直线的距离，不符合切线要求，舍去；
当斜率不存在时可设线为，即，
此时圆心到直线的距离，即，
可得或，过点的切线方程为或.
（2）解：设，
联立，消去，可得，
化简可得：，
则，即，
解得，
由韦达定理可得，，
，
又，
.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）过点P设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径构建方程，求解即可；
（2）联立圆与直线方程，利用韦达定理构建函数式，求解范围即可.
22．（2023高二上·乐清开学考）已知函数，.
（1）若，判断函数的奇偶性（不需要给出证明）；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，为奇函数；
（2）解：.
函数的对称轴为直线，函数的对称轴为直线.
若函数在上是增函数，则，解得；
（3）解：方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，
所以，关于的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根，
即，即，
因为，所以，．
设，存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，所以，，
下证函数在上单调递增．
任取、且，则
，
因为，则，，所以，，
故函数在上单调递增．
所以当时，，故；
③当时，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根.
即，，所以，，
设，下证函数在上为减函数，
任取、且，则
，
因为，则，，所以，，
故函数在上单调递减．
因为存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
所以，，所以，.
综上：．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）若a=0，写出f（x）解析式即可判断奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质求解a的取值范围；
（3）根据方程有三个不相等的实数根建立条件关系即可求解t的取值范围.
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