7.5.1 三角形内角和定理 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
7.5.1 三角形内角和定理
平行线的性质
性质定理
命题证明步骤
两直线平行，同位角相等
根据题意画出图形
根据题意写出已知及求证
写出证明过程
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
知识回顾
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
课堂导入
我们知道三角形三个内角的和等于180°. 你还记得这个结论的探索过程吗
如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
新知探究
已知:如图，△ABC .
求证:∠A +∠B +∠C =180°.
分析：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这样，就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
A
B
C
证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗
∠1=∠A( 两直线平行，内错角相等 ),
∠2= ∠B( 两直线平行，同位角相等 ).
又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
A
B
C
E
2
1
3
D
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
A
B
C
如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
定理
想一想
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗
A
B
C
P
Q
证明：如图，过点A作PQ∥BC，则
A
B
C
∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 ),
∠2=∠C( 两直线平行,内错角相等 ),
∵∠1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ),
∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° ( 等量代换 ).
1
2
3
P
Q
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗
证明：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
C
B
A
D
E
F
多种方法证明的核心是什么？
思考
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
l
P
m
1
2
3
4
5
6
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角等，这种转化思想是数学中的常用方法.
例1 如图，在△ABC中,∠BAC=40 °,∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD
=180°﹣75°﹣20°
=85°.
A
B
C
D
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
模型总结
随堂练习
1. 在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°，则∠C= .
2. ∠A=∠B+∠C，则这个三角形是 .
3. 直角三角形两锐角的平分线相交所成角的度数为（ ）
A.45° B.135°
C.45°或135° D.都不对
30°
直角三角形
C
4 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°.
所以3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
5. 如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.
解：∵∠B=35°，∠C=45°且∠ B+ ∠ C+
∠ BAC=180°，∴ ∠BAC=100°.
∵AE平分∠BAC，∴ ∠BAE=50°.
∵AD⊥BC，∴ ∠ADB=90°.
∵ ∠B+ ∠ADB+ ∠ BAD=180°，
∴ ∠BAD=55°，∴ ∠DAE= ∠BAD- ∠BAE=5° .
A
B
C
D
E
课堂小结
内容
证明
三角形内角和定理的证明
三角形的内角和等于180°
借助平行线将三个内角拼成一个平角