7.5.2 三角形内角和定理 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
7.5.2 三角形内角和定理
知识回顾
内容
证明
三角形内角和定理的证明
三角形的内角和等于180°
借助平行线将三个内角拼成一个平角
1.了解并掌握三角形的外角的定义．
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．
学习目标
课堂导入
观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？
1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边;
3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线.
外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角.
D
A
B
C
1
4
∠1是△ABC 的外角
新知探究
探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
探究2： △ABC的6个外角有什么关系？
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
总结
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
定理
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
D
A
B
C
1
2
3
4
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠2+ ∠3= 180°-∠4（等式的性质）.
∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)，
∴ ∠1 = 180°-∠4（等式的性质），
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换).
D
A
B
C
1
2
3
4
定理
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
D
A
B
C
1
2
3
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3（三角形的一个外角
等于和它不相邻的两内角和）.
∴ ∠1＞∠2, ∠1＞∠3 (和大于部分).
例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，∠B，∠C 应分别是21°和32°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图 所示，延长CD交AB于点E
∵∠CDB 是△BDE 的一个外角，
∴∠CDB ＝∠B+∠BED.
又∵∠BED 是△AEC 的一个外角，
∴∠BED ＝∠C+∠A.
∴∠CDB=∠A+∠B+∠C=90°+21°+32°=143°≠148°.
∴可以断定这个零件不合格.
例2 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB, PC.
求证：∠BPC > ∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠BPC＞∠A.
D
例3 如图， ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=
2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
你还有其他解法吗？
方法二 如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
∠ACD +∠3=180 ° .③
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
方法三 如图所示，过点A 作射线AP，使AP∥BD.
∵ AP∥BD，
∴ ∠CBF ＝∠PAB，
∠ACD ＝∠EAP.
∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD＝∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
2
3
P
(
随堂练习
1.如图，在△ABC 中,∠B＝40°,∠ACD＝
120°,则∠A的度数是 .
80°
2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°， BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 .
85°
50°
？
70°
(
(
(
3. 已知：如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角。
求∠1+∠2+∠3的度数.
1
A
2
3
B
C
解：∵∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,
∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB,∠2= ∠BAC+
∠ACB,∠3= ∠ABC+ ∠CAB,
∵三角形内角和为180°,
∴ ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°,
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角，
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以∠B=80°×=40°.
A
B
C
D
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角