2023-2024学年山东省济南市高新区七年级（上）期中数学试卷（PDF版含解析）

2023-2024 学年山东省济南市高新区七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今
有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走 5步记作+5步，那么向南走
7步记作（ ）
A．+7步 B．﹣7步 C．+12步 D．﹣2步
2．（4分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）2023年歌曲《罗刹海市》席卷全球，据统计截止八月中旬，播放量突破惊人的
358亿，数字 35800000000用科学记数法表示为（ ）
A．358×108 B．3.58×109 C．3.58×1010 D．35.8×109
4．（4分）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
﹣2x2y，2×（a+b），a÷b，ab﹣2， ， ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1
C． D．
6．（4 分）在下列各数﹣（+5）、﹣12、 、 、（﹣1）2023、﹣|﹣3|中，负数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（4分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（ ）
星期 一 二 三 四
最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃
最低气温 3℃ 0℃ ﹣2℃ ﹣3℃
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
8．（4分）如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“学”字所在的面相对的面上
标的字是（ ）
A．心 B．素 C．养 D．数
9．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣ xy2的次数是 2
B． 是单项式
C．2a2﹣3abc﹣1是三次三项式
D．﹣2πab2的系数是﹣2
10．（4分）有理数 a，b，c、在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①|a|
＞3；②ab＞0；③b+c＞0；④b﹣a＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
11．（4 分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由 a个小正方体组
成，最少由 b个小正方体组成，则 a+b等于（ ）
A．10 B．11 C．12
12．（4 分）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化
的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6 这 12
个数填入“六角幻星”图中，使 6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，
则 a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．）
13．（4分）比较大小：﹣ ﹣ （填“＜”或“＞”）．
14．（4分）分针旋转一周时，形成一个圆面，用数学知识可以理解为 ．
15．（4分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则 ba＝ ．
16．（4分）按照如图的程序计算，若开始输入 x的值为﹣4，则最后的输出结果是 ．
17．（4分）已知代数式 x2+3x+5的值是 7，则代数式 3x2+9x﹣2的值是 ．
18．（4分）某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（限乘两 四人船（限乘四 六人船（限乘六 八人船（限乘八
人） 人） 人） 人）
每船租金（元/小 90 100 130 150
时）
某班 18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1小时，则租船的总费用最低
为 元．
三、解答题：（本大题共 12 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（4分）7﹣（﹣4）+（﹣5）
20．（4分）计算： ．
21．（4分）计算： ．
22．（5分）画数轴，在数轴上表示下列各数，3，﹣（﹣2.5），0， ，并用“＞”把它们
连接起来．
23．（5 分）如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．根据要求完成下列
题目．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图需涂上阴影）；
（2）图中共有 个小正方体．
24．（6分）把下列各数填入它所属的集合内：
5.2，0， ， ，+（﹣4），﹣2 ，﹣（﹣3 ），﹣0.030030003…
（1）分数集合：{ …}
（2）非负整数集合：{ …}
（3）有理数集合：{ …}．
25．（6分）有 20箱石榴，以每箱 25kg为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，
记录如表：
与标准质量的差值（单位：kg） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
箱数 1 4 2 3 2 8
（1）20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多多少千克？
（2）与标准质量比较，20箱石榴总计超过或不足多少千克？
（3）若石榴每千克售价 8元，则售出这 20箱石榴总金额为多少元？
26．（6分）丁丁家要改造庭院，庭院中间空白部分是一个长 2m宽 1m的蓄水池，丁丁打算
在阴影部分种植草坪，对庭院进行绿化．
（1）写出用含 x、y的式子表示草坪面积；
（2）如果 x＝8m，y＝5m，绿化 1m2的平均费用为 20元，求绿化整个庭院的费用为多少？
27．（8分）某检修小组从 A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，
向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2
（1）求收工时，检修小组在 A地的何方向？距离 A地多远？
（2）在第几次纪录时距 A地最远？
（3）若汽车行驶每千米耗油 0.4升，问从 A地出发，检修结束后再回到 A地共耗油多少
升？
28．（8分）【情景创设】
是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？
【探索活动】
（1）根据规律第 6个数是 ， 是第 个数．
【阅读理解】
．
【实践应用】
根据上面获得的经验完成下面的计算：
（2） ．
（3） ．
29．（10分）某服装厂生产一种夹克和 T恤，夹克每件定价 200元，T恤每件定价 100元，
厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件 T恤；②夹
克和 T恤都按定价的 80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克 30件，T恤 x件（x＞
30）．
（ 1）若该客户按方案 ① 购买，夹克需付款 元， T 恤需付款
元（用含 x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T恤需
付款 元（用含 x的式子表示）；
（2）若 x＝40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
试写出你的购买方案，并说明理由．
30．（12分）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2记作 2③，读作“2
的圈 3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4

次方”．一般地，把 记作 a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：（﹣3）④＝ ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那
有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
5⑤＝ ； ＝ ．

（3）将一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式：a ＝ ．
（4）利用（3）的结论计算： ．
2023-2024 学年山东省济南市高新区七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今
有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走 5步记作+5步，那么向南走
7步记作（ ）
A．+7步 B．﹣7步 C．+12步 D．﹣2步
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵向北走 5步记作+5步，
∴向南走 7步记作﹣7步．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明
确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，
则另一个就用负表示．
2．（4分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用
一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
【解答】解：用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是
圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故选：C．
【点评】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截
面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面
与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个
面，则截面最多为几边形．
3．（4分）2023年歌曲《罗刹海市》席卷全球，据统计截止八月中旬，播放量突破惊人的
358亿，数字 35800000000用科学记数法表示为（ ）
A．358×108 B．3.58×109 C．3.58×1010 D．35.8×109
【分析】将一个数表示成 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做
科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：35800000000＝3.58×1010，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（4分）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）
﹣2x2y，2×（a+b），a÷b，ab﹣2， ， ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．
【解答】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：﹣2x2y，ab﹣2， ，共有 3
个．
故选：C．
【点评】此题考查了列代数式，用到的知识点是代数式的书写要求：（1）在代数式中出
现的乘号，通常简写成“ ”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的
前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分
数的形式．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2﹣1＝﹣1 B．﹣14＝1
C． D．
【分析】利用有理数的加减运算的法则，有理数的除法的法则，乘方对各项进行运算即
可．
【解答】解：A、﹣2﹣1＝﹣3，故 A不符合题意；
B、﹣14＝﹣1，故 B不符合题意；
C、 ，故 C不符合题意；
D、5÷（﹣ ）＝﹣10，故 D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（4 分）在下列各数﹣（+5）、﹣12、 、 、（﹣1）2023、﹣|﹣3|中，负数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据相反数、有理数的乘方、绝对值、负数的定义解决此题．
【解答】解：﹣（+5）＝﹣5，﹣12＝﹣1，（﹣ ）2＝ ，﹣ ＝﹣ ，（﹣1）2023＝﹣
1，﹣|﹣3|＝﹣3．
故负数的个数为 5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查相反数、有理数的乘方、绝对值、负数，熟练掌握相反数、有理
数的乘方、绝对值、负数的定义是解决本题的关键．
7．（4分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（ ）
星期 一 二 三 四
最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃
最低气温 3℃ 0℃ ﹣2℃ ﹣3℃
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；
【解答】解：星期一温差 10﹣3＝7℃；
星期二温差 12﹣0＝12℃；
星期三温差 11﹣（﹣2）＝13℃；
星期四温差 9﹣（﹣3）＝12℃；
故选：C．
【点评】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键．
8．（4分）如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“学”字所在的面相对的面上
标的字是（ ）
A．心 B．素 C．养 D．数
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
则原正方体中与“学”字所在的面相对的面上标的字是心．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对
面入手，分析及解答问题．
9．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣ xy2的次数是 2
B． 是单项式
C．2a2﹣3abc﹣1是三次三项式
D．﹣2πab2的系数是﹣2
【分析】单项式的系数是除去字母的数字，次数是所有字母的指数和，多项式项数所含
的单项式的个数，次数是最高次幂的指数．
【解答】解：A：﹣ xy2的次数是 3，故 A错；
B： 是分式，故 B错；
C：2a2﹣3abc﹣1是三次三项式，故 C正确；
D：﹣2πab2的系数是﹣2π，故 D错．
故选：C．
【点评】本题考查的是单项式和多项式的系数次数指数，解题的关键是熟记定义．
10．（4分）有理数 a，b，c、在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：①|a|
＞3；②ab＞0；③b+c＞0；④b﹣a＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据绝对值的定义判断①；根据有理数的乘法法则判断②；根据有理数的加法
法则判断③；根据有理数的减法法则判断④．
【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，
∴|a|＜3，故①不符合题意；
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故②符合题意；
∵b＜0，c＞0，|b|＜|c|，
∴b+c＞0，故③符合题意；
∵b＞a，
∴b﹣a＞0，故④不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，数轴，有理数的加、减、乘法法则，掌握在数轴上，一个
数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
11．（4 分）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由 a个小正方体组
成，最少由 b个小正方体组成，则 a+b等于（ ）
A．10 B．11 C．12
【分析】易得这个几何体共有 2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得
第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边后排最多有 3个，左边前排最多有 3个，
右边只有一层，且只有 1个，
所以图中的小正方体最多 7块，
结合主视图和俯视图可知，左边后排最少有 1个，左边前排最多有 3个，右边只有一层，
且只有 1个，
所以图中的小正方体最少 5块，
a+b＝12，
故选：C．
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能
力方面的考查．
12．（4 分）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化
的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6 这 12
个数填入“六角幻星”图中，使 6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，
则 a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【分析】根据将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这 12个数填入“六
角幻星”图中，使 6条边上四个数之和都相等，可得 ，再观察
“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差 6，只有﹣3，3或 0，6满足，依此即可求解．
【解答】解：设右下边为 x，由满足 6 条边上四个数之和都相等，他们的和为 x﹣1，如
图所示：
观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6 五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3 与﹣a
﹣3相差 6，只有﹣3，3或 0，6满足，
则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0，
解得 a＝0或 a＝﹣3，
当 a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或 x+a﹣4又有 1个为 0（不合题意舍去），
当 a＝﹣3时，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出﹣4，﹣3，0，3，4，6
五个数字，难度较大．
二、填空题：（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．）
13．（4分）比较大小：﹣ ＞ ﹣ （填“＜”或“＞”）．
【分析】根据两负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．
【解答】解：|﹣ |＝ ，|﹣ |＝ ，
﹣ ，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数比较大小，两负数比较大小绝对值大的反而小．
14．（4分）分针旋转一周时，形成一个圆面，用数学知识可以理解为 线动成面 ．
【分析】根据几何体点、线、面、体之间的关系进行作答即可．
【解答】解：分针旋转一周时，形成一个圆面，用数学知识可以理解为：线动成面；
故答案为：线动成面．
【点评】本题考查几何体点、线、面、体之间的关系．熟练掌握点动成线，线动成面，
面动成体是解题的关键．
15．（4分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则 ba＝ 9 ．
【分析】根据非负数的性质可求出 a、b的值，再将它们代入 ba中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+3＝0，b＝﹣3；
则 ba＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
16．（4 分）按照如图的程序计算，若开始输入 x的值为﹣4，则最后的输出结果是 ﹣
25 ．
【分析】将 x的值代入进行计算后与﹣20进行比较即可．
【解答】解：当 x＝﹣4时，2x﹣3＝﹣11＞﹣20，
当 x＝﹣11时，2x﹣3＝﹣25＜﹣20，
则输出的结果为﹣25．
故答案为：﹣25．
【点评】本题考查了求代数式的值，能理解题意是解此题的关键．
17．（4分）已知代数式 x2+3x+5的值是 7，则代数式 3x2+9x﹣2的值是 4 ．
【分析】根据题意求出 x2+3x的值，原式前两项提取 3变形后，将 x2+3x的值代入计算即
可求出值．
【解答】解：∵x2+3x+5＝7，即 x2+3x＝2，
∴原式＝3（x2+3x）﹣2
＝3×2﹣2
＝6﹣2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式求值，掌握整体代入思想和运算法则是关键．
18．（4分）某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（限乘两 四人船（限乘四 六人船（限乘六 八人船（限乘八
人） 人） 人） 人）
每船租金（元/小 90 100 130 150
时）
某班 18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1小时，则租船的总费用最低
为 380 元．
【分析】分情况，列表格计算，即可得出结论．
【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 由 题 意 列 表 得 ，
所以，费用最少为 380元，
故答案为：380．
【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共 12 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（4分）7﹣（﹣4）+（﹣5）
【分析】利用有理数的加减混合运算法则计算即可．
【解答】解：7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4﹣5
＝11﹣5
＝6．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关
键．
20．（4分）计算： ．
【分析】根据有理数的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣ × ×
＝﹣ ×
＝﹣ ．
【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．
21．（4分）计算： ．
【分析】根据有理数的混合运算的顺序计算．
【解答】解：
＝﹣1﹣ ×（2﹣9）
＝﹣1﹣ ×（﹣7）
＝﹣1+
＝ ．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序．
22．（5分）画数轴，在数轴上表示下列各数，3，﹣（﹣2.5），0， ，并用“＞”把它们
连接起来．
【分析】先化简﹣（﹣2.5），然后把各数表示在数轴上，再根据数轴上右边的数总比左边
的数大得出比较结果．
【解答】解：﹣（﹣2.5）＝2.5，
如图所示：
用“＞”连接为： ．
【点评】本题考查了数轴，正负数，相反数，有理数的大小比较，熟知数轴的性质及有
理数的大小比较方法是解题的关键．
23．（5 分）如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．根据要求完成下列
题目．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图需涂上阴影）；
（2）图中共有 9 个小正方体．
【分析】（1）直接利用左视图以及俯视图的观察角度分析得出答案；
（2）结合几何体的形状得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）图中共有 9个小正方体．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确注意观察角度是解题关键．
24．（6分）把下列各数填入它所属的集合内：
5.2，0， ， ，+（﹣4），﹣2 ，﹣（﹣3 ），﹣0.030030003…
（1）分数集合：{ 5.2， ，﹣2 ， …}
（2）非负整数集合：{ 0，﹣（﹣3） …}
（3）有理数集合：{ 5.2，0， ，+（﹣4），﹣2 ，﹣（﹣3） …}．
【分析】根据有理数的分类方法即可得到结果．
【解答】解：（1）分数集合：{ 5.2， ，﹣2 ，…}；
（2）非负整数集合：{ 0，﹣（﹣3）…}；
（3）有理数集合：{5.2，0， ，+（﹣4），﹣2 ，﹣（﹣3 ）…}．
故答案为：5.2， ，﹣2 ；0，﹣（﹣3）；5.2，0， ，+（﹣4），﹣2 ，﹣（﹣3 ）．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．
25．（6分）有 20箱石榴，以每箱 25kg为标准，超过或不足的千克数分别用正、负来表示，
记录如表：
与标准质量的差值（单位：kg） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
箱数 1 4 2 3 2 8
（1）20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多多少千克？
（2）与标准质量比较，20箱石榴总计超过或不足多少千克？
（3）若石榴每千克售价 8元，则售出这 20箱石榴总金额为多少元？
【分析】（1）根据最大数减最小数，可得答案；
（2）根据有理数的加法，可得标准的重量，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得总重量，根据单价乘以数量，可得答案．
【解答】解：（1）最重的一箱比最轻的一箱多重 2.5﹣（﹣3）＝2.5+3＝5.5（千克），
答：20箱石榴中，最重的一箱比最轻的一箱多重 5.5千克．
（2）﹣3×1+（﹣2）×4+（﹣1.5）×2+0×3+1×2+2.5×8＝8（千克），
答：20箱石榴总计超过 8千克．
（3）（25×20+8）×8
＝508×8
＝4064（元），
答：售出这 20箱石榴可赚 4064元．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算
法则是解答本题的关键．
26．（6分）丁丁家要改造庭院，庭院中间空白部分是一个长 2m宽 1m的蓄水池，丁丁打算
在阴影部分种植草坪，对庭院进行绿化．
（1）写出用含 x、y的式子表示草坪面积；
（2）如果 x＝8m，y＝5m，绿化 1m2的平均费用为 20元，求绿化整个庭院的费用为多少？
【分析】（1）根据长方形面积公式可用含 x、y的式子表示草坪面积；
（2）将 x＝8m，y＝5m代入计算可求草坪面积，再乘 20可求绿化整个庭院的费用．
【解答】解：（1）草坪面积为 xy﹣2×1＝（xy﹣2 ）平方米；
（2）（8×5﹣2）×20
＝（40﹣2）×20
＝38×20
＝760（元）．
答：绿化整个庭院的费用为 760元．
【点评】考查了列代数式，能根据图形和题意列出算式是解此题的关键．
27．（8分）某检修小组从 A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，
向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2
（1）求收工时，检修小组在 A地的何方向？距离 A地多远？
（2）在第几次纪录时距 A地最远？
（3）若汽车行驶每千米耗油 0.4升，问从 A地出发，检修结束后再回到 A地共耗油多少
升？
【分析】（1）把所有行驶记录相加，再根据正数和负数的意义解答；
（2）分别写出各次记录时距离 A地的距离，然后判断即可；
（3）把所有行驶记录的绝对值相加，再乘以 0.4计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2＝1
答：在 A地的东面 1km处
（2）第一次距 A地|﹣4|＝4千米；
第二次：|﹣4+7|＝3千米；
第三次：|﹣4+7﹣9|＝6千米；
第四次：|﹣4+7﹣9+8|＝2千米；
第五次：|﹣4+7﹣9+8+6|＝8千米；
第六次：|﹣4+7﹣9+8+6﹣5|＝3千米；
第七次：|﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2|＝1千米
第 5次记录是离 A地最远
（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣2|+|1|＝42（km）
从出发到收工共耗油：42×0.4＝16.8（升）．
答：从出发到收工共耗油 16.8．
【点评】此题分别考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的定义，解题的关
键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义即可解决问题．
28．（8分）【情景创设】
是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？
【探索活动】
（1）根据规律第 6个数是 ， 是第 11 个数．
【阅读理解】
．
【实践应用】
根据上面获得的经验完成下面的计算：
（2） ．
（3） ．
【分析】（1）观察所给数列，发现它们的分子都是 1，分母是两个连续整数的积，据此可
解决问题．
（2）根据题中所给示例即可解决问题．
（3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
；
；
；
；
…，
所以第 n个数为： ．
当 n＝6时，
．
即第 6个数为 ．
令 n（n+1）＝132，
解得 n＝11或﹣12，
又因为 n为正整数，
所以 n＝11．
即 是第 11个数．
故答案为： ，11．
（2）原式＝
＝
＝
＝ ．
（3）原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第 n个数为 及巧妙利用裂
项相消法是解题的关键．
29．（10分）某服装厂生产一种夹克和 T恤，夹克每件定价 200元，T恤每件定价 100元，
厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件 T恤；②夹
克和 T恤都按定价的 80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克 30件，T恤 x件（x＞
30）．
（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 6000 元，T恤需付款 100x﹣3000 元（用
含 x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 4800 元，T恤需付款 80x
元（用含 x的式子表示）；
（2）若 x＝40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
试写出你的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）根据方案①和方案②列出代数式即可；
（2）把 x＝40代入（1）中的代数式，求出后比较即可；
（3）先按方案①购买夹克 30件，再按方案②购买 T恤 10件更为省钱，通过计算说明
即可．
【解答】解：（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 200×30＝6000（元），T恤需付
款 100（x﹣30）＝（100x﹣3000）元；
若该客户按方案②购买，夹克需付款 200×30×80%＝4800元，T恤需付款 100x×80%
＝80x元，
故答案为：6000，100x﹣3000，4800；80x；
（2）当 x＝40，按方案①购买所需费用＝30×200+100（40﹣30）＝6000+1000＝7000
（元）；
按方案②购买所需费用＝30×200×80%+100×40×80%＝4800+3200＝8000（元），
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克 30件，再按方案②购买 T恤 10件更为省钱，理由如下：
先按方案①购买夹克 30件所需费用＝6000，按方案②购买 T恤 10件的费用＝100×80%
×10＝800，
所以总费用为 6000+800＝6800（元），小于 7000元，
所以此种购买方案更为省钱．
【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值，能正确根据题意列出代数式是解此题的
关键．
30．（12分）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2记作 2③，读作“2
的圈 3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4

次方”．一般地，把 记作 a ，读作“a的圈 n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：（﹣3）④＝ ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那
有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
5⑤＝ （ ）3 ； ＝ 28 ．
（3）将一个非零有理数 a的圈 n ﹣次方写成幂的形式：a ＝ （ ）n 2 ．
（4）利用（3）的结论计算： ．
【分析】（1）根据题意，可以求出所求式子的值；
（2）根据深入思考中的方法，可以求得所求数的值；
（3）根据题意，可以将一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式；
（4）根据（3）中的结果，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）原式＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝3× × ＝ ，
（2）5⑤＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝5× × × ＝（ ）3；
＝28；
故答案为： ，（ ）3，28；
（3 ﹣）一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式等于（ ）n 2，
﹣
故答案为：（ ）n 2；
（4）原式＝ ．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．