2023-2024学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中数学试卷（PDF版含解析）

2023-2024 学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中
数学试卷
一.选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．（4分）以下各数﹣3， ， ，π，1.9191191119…（每两个 9之间依次多一个 1），其
中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）平面直角坐标系中，与点 A（﹣2，3）关于 x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
3．（4分）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣
4．（4分）已知 A（﹣ ，y1）、B（﹣ ，y2）、C（1，y3）是一次函数 y＝﹣3x+b的图象上
三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．（4分）一次函数 y＝kx和 y＝﹣x+3的图象如图所示，则二元一次方程组 的解
是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）已知 是二元一次方程组 的解，则 a﹣b的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
7．（4分）一次函数 y1＝mx+n与 y2＝mnx（m、n为常数，且 mn≠0）在同一平面直角坐标
内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支 2元，百合每支
3元．小明将 20元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如
图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图 1）拼成的一个大正方形（如图
2）．设直角三角形较长
直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab＝8，大正方形的面积为 25，则图 2中 EF的长
为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（4分）如图，直线 y＝2x﹣6与 x轴、y轴分别交于 A，B两点，C在 y轴的正半轴上，
D在直线 AB上，且 CB＝10，CD＝OD．若点 P为线段 AB上的一个动点，且 P关于 x
轴的对称点 Q总在△OCD内（不包括边界），则点 P的横坐标 m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11．（4分）10的算术平方根是 ．
12．（4分）如图，在数轴上点 D表示的实数为 ．
13．（4分）在平面直角坐标系中，点 P（m，3），点 Q（2﹣2m，m﹣3），且 PQ∥y轴，则
m＝ ．
14．（4分）一支原长为 12cm的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：
燃烧时间/分 10 20 30 40 50 …
剩余长度/cm 11.2 10.4 9.6 8.8 8 …
则这支蜡烛最多可燃烧 分钟．
15．（4分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式
放置，图示距离为 110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为
60cm，则桌子的高度等于 cm．
16．（4分）已知一次函数 y＝ax﹣a+2（a为常数，且 a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，函数有最
大值 7，则 a的值为 ．
三、解答题（共 9 个小题，共 86 分）
17．（8分）化简与求值：
（1） ；
（2） ．
18．（10分）解方程组：
（1） ；
（2） ．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于 x轴对称的△A1B1C1，并写出点 C1的坐标；
（2）在 y轴上求作点 D，使得 AD+BD最小，请你直接写出 D点坐标；
（3）若点 P为 x轴上一动点，且满足△BCP的面积为 1，请你直接写出 P点坐标．
20．（8 分）某班级为表彰运动会表现优秀的同学，班主任老师安排小明和小红购买奖品，
图①，图 2是小明和小红购买奖品后的对话情境，根据信息解决问题，试计算两种笔记
本各买了多少本？
21．（8 分）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式
进行广播宣传．如图，笔直的公路 MN的一侧点 A处有一村庄，村庄到公路 MN的距离
为 600m，假使宣讲车 P周围 1000m以内能听到广播宣传，宣讲车 P在公路 MN上沿 PN
方向行驶．
（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
（2）已知宣讲车的速度是 200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
22．（10分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板
作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝
材料不计）．
（1）做 1个竖式纸盒和 2个横式纸盒，需正方形纸板张 张（直接填空），需长
方形纸板 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板 162张，长方形纸板 338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工
多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
23．（10分）小明在解决问题：已知 ，求 2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵ ，
∴ ．
∴（a﹣2）2＝3，即 a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝ ；
（2）计算： + ；
（3）若 a＝ ，求 2a2﹣8a+1的值．
24．（12分）在 A、B两地之间有服务区 C，甲车由 A地驶往服务区 C，乙车由 B地驶往 A
地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区 C的路程 y1、y2（单
位：千米）与乙车行驶时间 x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列
问题：
（1）甲车的速度是 千米/时；
（2）求图象中线段 DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区 C的路程之和是 360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
25．（12分）如图 1，已知直线 l1：y＝﹣x+5与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，直线 l2与 y
轴交于点 C（0，﹣1），与直线 l1交于点 D（2，t）．
（1）求直线 l2的解析式；
（2）如图 2，若点 P在直线 l1上，过点 P作 PQ∥y轴交 l2于点 Q，交 x轴于点 G，使 S
△PCG＝2S△QCG，求此时 P点的坐标；
（3）将直线 l1：y＝﹣x+5向左平移 10个单位得直线 l3交 x轴于点 E，点 F是点 C关于
原点的对称点．过点 F作直线 l4∥x轴．在直线 l4上是否存在动点 M，使得△MCE为等
腰三角形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024 学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．（4分）以下各数﹣3， ， ，π，1.9191191119…（每两个 9之间依次多一个 1），其
中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义：不能表示成两个整数之商的数即不循环的无限小数即可求
解．
【解答】解：﹣3是整数，不是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
是分数，不是无理数，
π是无限不循环小数，是无理数，
1.9191191119…（每两个 9之间依次多一个 1）是无限不循环小数，是无理数，
符合题意的有 3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（4分）平面直角坐标系中，与点 A（﹣2，3）关于 x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据“关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点 A（﹣2，3）关于 x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的
坐标规律：（1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y轴对
称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．（4分）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意可知在﹣3与﹣2之间，据此判断，观察选项中的四个数哪一个在这个
范围内即可．
【解答】解：设被覆盖住的数是 x，
由图可知：﹣3＜x＜﹣2，
∵﹣ ＜﹣ ，即 ＜﹣3，不在此范围内，故 A错；
∵﹣ ≈﹣1.732＞﹣2，不在此范围内，故 C错；
∵﹣ ≈﹣1.414＞﹣2，不在此范围内，故 D错；
所以 B正确，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的大小比较，是基础题．
4．（4分）已知 A（﹣ ，y1）、B（﹣ ，y2）、C（1，y3）是一次函数 y＝﹣3x+b的图象上
三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 y1，y2，y3的值，比较后可得出结论．
【解答】解：∵A（﹣ ，y1）、B（﹣ ，y2）、C（1，y3）是一次函数 y＝﹣3x+b的图象
上三点，
∴y1＝1+b，y2＝ +b，y3＝﹣3+b．
∵﹣3+b＜1+b＜ +b，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，
求出 y1，y2，y3的值是解题的关键．
5．（4分）一次函数 y＝kx和 y＝﹣x+3的图象如图所示，则二元一次方程组 的解
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．
【解答】解：∵一次函数 y＝kx和 y＝﹣x+3的图象交于点（1，2），
∴二元一次方程组 的解是 ，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，掌握二元一次方程（组）与一次
函数的关系是解题的关键．
6．（4分）已知 是二元一次方程组 的解，则 a﹣b的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】把 x＝2．y＝1代入方程组 得出方程组 求出方程组的解即
可．
【解答】解：把 x＝2．y＝1代入方程组 得：
①+②得：4a＝8，
解得：a＝2，
把 a＝2代入①得：4+b＝7，
解得：b＝3，
a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，解此题的关键是
能得出关于 a、b的方程组，难度适中．
7．（4分）一次函数 y1＝mx+n与 y2＝mnx（m、n为常数，且 mn≠0）在同一平面直角坐标
内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故 mn＜0；由正比例函数的图
象可知 mn＜0，两结论一致，故本选项符合题意；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故 mn＜0；由正比例函数的图象可知 mn＞0，
两结论不一致，故本选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故 mn＞0；由正比例函数的图象可知 mn＜0，
两结论不一致，故本选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故 mn＜0；由正比例函数的图象可知 mn＞0，
两结论不一致，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 y＝kx+b的图象有四种情况：
①当 k＞0，b＞0时，函数 y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当 k＞0，b＜0时，函数 y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当 k＜0，b＞0时，函数 y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当 k＜0，b＜0时，函数 y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
8．（4分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支 2元，百合每支
3元．小明将 20元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设可以购买 x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于 x，
y的二元一次方程，结合 x，y均为正整数即可得出小明有 3种购买方案．
【解答】解：设可以购买 x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝20，
∴x＝10﹣ y．
∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴小明有 3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解
题的关键．
9．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如
图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图 1）拼成的一个大正方形（如图
2）．设直角三角形较长
直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab＝8，大正方形的面积为 25，则图 2中 EF的长
为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】由图形 2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，由大正方形的面积
由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出 ＝25，再结合 ab
＝8即可得出（a﹣b）的值，再根据勾股定理即可求出 EF的长．
【解答】解：由图形 2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，
∵大正方形的面积为 25，
∴AB2＝25，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴ ＝25，
∴（a﹣b）2+2ab＝25，
∴（a﹣b）2+2×8＝25，
∴（a﹣b）＝3（负值已舍），
即图 2中小正方形的边长为 3，
∴EF＝ ＝3 ，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是
解题的关键．
10．（4分）如图，直线 y＝2x﹣6与 x轴、y轴分别交于 A，B两点，C在 y轴的正半轴上，
D在直线 AB上，且 CB＝10，CD＝OD．若点 P为线段 AB上的一个动点，且 P关于 x
轴的对称点 Q总在△OCD内（不包括边界），则点 P的横坐标 m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出 A（3，0）、B（0，﹣6），进而求出 C（0，4），再由 CD＝OD可知点 D
在线段 OC的垂直平分线上，即在直线 y＝2 上，则 D（4，2），利用待定系数法求出直
线 CD和直线 OD的解析式，根据关于 x轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出
点 Q的坐标，再根据点 Q在△OCD内，则当 x＝m时，点 Q的纵坐标在直线 CD和直线
OD二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可．
【解答】解：在 y＝2x﹣6中，当 x＝0时，y＝2x﹣6＝﹣6，当 y＝2x﹣6＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣6），
∵C在 y轴的正半轴上，CB＝10，
∴C（0，4），
∵CD＝OD．
∴点 D在线段 OC的垂直平分线上，即在直线 y＝2上，
在 y＝2x﹣6中，当 y＝2x﹣6＝2时，x＝4，
∴D（4，2）；
设直线 CD解析式为 y＝kx+b，
，
∴
∴直线 CD解析式为 y＝﹣ x+4．
同理可得直线 OD的解析式为 y＝ x，
∵点 P为线段 AB上的一个动点，且其横坐标为 m，
∴P（m，2m﹣6），
∵P、Q关于 x轴对称，
∴Q（m，6﹣2m），
∵点 Q总在△OCD内（不包括边界），
∴ m＜6﹣2m＜﹣ m+4．
解得 ＜m＜ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，正确理解题
意得到点 Q在△OCD内，则当 x＝m时，点 Q的纵坐标在直线 CD和直线 OD二者的函
数值之间是解题的关键．
二.填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11．（4分）10的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：10的算术平方根是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的
定义．
12．（4分）如图，在数轴上点 D表示的实数为 1﹣ ．
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点 D的位置可得答案．
【解答】解：∵AB＝2﹣1＝1，AC＝2，
∴BC＝ ＝ ，
∴点 D表示的数为 1﹣ ，
故答案为：1﹣ ．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题
时注意点 D在数轴的负半轴上．
13．（4分）在平面直角坐标系中，点 P（m，3），点 Q（2﹣2m，m﹣3），且 PQ∥y轴，则
m＝ ．
【分析】根据平行于 y轴的直线上的点横坐标相同求出 m的值即可
【解答】解：∵P（m，3），点 Q（2﹣2m，m﹣3），且 PQ∥y轴，
∴m＝2﹣2m，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟知平行于 y轴的直线上的点横坐标相同是解题
的关键．
14．（4分）一支原长为 12cm的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：
燃烧时间/分 10 20 30 40 50 …
剩余长度/cm 11.2 10.4 9.6 8.8 8 …
则这支蜡烛最多可燃烧 150 分钟．
【分析】设这支蜡烛剩余长度为 ycm，燃烧时间为 x分钟，根据蜡烛剩余长度与燃烧时
间的关系可知每燃烧 10分钟，蜡烛剩余长度减少 0.8cm，由此建立 y与 x之间的函数关
系式，再求出 y＝0时的 x值即可．
【解答】解：设这支蜡烛剩余长度为 ycm，燃烧时间为 x分钟，由表可知，每燃烧 10分
钟，蜡烛剩余长度减少 0.8cm，
则 y＝12﹣0.08x，
当 y＝0时，12﹣0.08x＝0，
解得 x＝150，
所以这支蜡烛最多可燃烧 150分钟，
故答案为：150．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数关系式是解题关键．
15．（4分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式
放置，图示距离为 110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为
60cm，则桌子的高度等于 85 cm．
【分析】根据“按图①所示的方式放置，图示距离为 110cm”和“图②所示的方式放置，
图示距离为 60cm”列方程组求解．
【解答】解：设桌子的高度为 xcm，长方体木块的长为 acm，宽为 bcm，
则： ，
①+②得：2x＝170，
解得：x＝85，
故答案为：85．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
16．（4分）已知一次函数 y＝ax﹣a+2（a为常数，且 a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，函数有最
大值 7，则 a的值为 或﹣ ．
【分析】分类讨论：a＞0 时，y随 x的增大而增大，所以当 x＝2 时，y有最大值 2，然
后把 y＝2代入函数关系式可计算出对应 a的值；a＜0时，y随 x的增大而减小，所以当
x＝﹣1时，y有最大值 2，然后把 x＝﹣1代入函数关系式可计算对应 a的值．
【解答】解：①a＞0时，y随 x的增大而增大，
则当 x＝4时，y有最大值 7，把 x＝4，y＝7代入函数关系式得 7＝4a﹣a+2，解得 a＝ ；
②a＜0时，y随 x的增大而减小，
则当 x＝﹣1时，y有最大值 7，把 x＝﹣1代入函数关系式得 7＝﹣a﹣a+2，解得 a＝﹣ ，
所以 a＝ 或 a＝﹣ ，
故答案为 或﹣ ．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随 x的增大而增大，函数从左到右上升；
k＜0，y随 x的增大而减小，函数从左到右下降．由于 y＝kx+b与 y轴交于（0，b），当 b
＞0时，（0，b）在 y轴的正半轴上，直线与 y轴交于正半轴；当 b＜0 时，（0，b）在 y
轴的负半轴，直线与 y轴交于负半轴．
三、解答题（共 9 个小题，共 86 分）
17．（8分）化简与求值：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）原式先计算除法，再计算减法运算即可求出值；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3 ﹣
＝2 ；
（2）原式＝4﹣5﹣3+4 ﹣4
＝﹣8+4 ．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）解方程组：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）运用加减消元法解出 x的值，再运用代入消元法解出 y的值，即可作答；
（2）先去分母，再运用代入消元法解出 y的值，即可作答．
【解答】解：（1）因为 ，
所以②+①×2，得 11x＝66，
解得 x＝6，
把 x＝6代入①，得 18+4y＝16，
解得 ，
所以方程组的解为 ；
（2）因为 ，
所以整理①得 3x﹣3+2y+2＝6，即 3x+2y＝7，
所以整理②得 x＝4﹣y，
把 x＝4﹣y代入 3x+2y＝7，
得 3×（4﹣y）+2y＝7，
解得 y＝5，
把 y＝5代入 x＝4﹣y，
解得 x＝﹣1，
所以方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于 x轴对称的△A1B1C1，并写出点 C1的坐标；
（2）在 y轴上求作点 D，使得 AD+BD最小，请你直接写出 D点坐标；
（3）若点 P为 x轴上一动点，且满足△BCP的面积为 1，请你直接写出 P点坐标．
【分析】（1）根据题意和图形，可以画出△ABC关于 x轴对称的△A1B1C1，并写出点 C1
的坐标；
（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得 AD+BD最小时点 D所在的位置，然后
写出 D点坐标即可；
（3）分 3种情况结合图形求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点 C1的坐标是（3，﹣2）；
（2）作点 A 关于 y轴的对称点 A'，连接 BA'与 y轴交于点 D，则此时 AD+BD最小，D
点坐标是（0，2）．
（3）如图，当 P（1，0）时， ．
如图，当 P点横坐标大于 1，时， ，不符
合题意；
当 P点横坐标小于 1时，同理可求 S△BCP＜1，不符合题意；
综上可知，当△BCP的面积为 1时，P点坐标（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8 分）某班级为表彰运动会表现优秀的同学，班主任老师安排小明和小红购买奖品，
图①，图 2是小明和小红购买奖品后的对话情境，根据信息解决问题，试计算两种笔记
本各买了多少本？
【分析】依题意，设 5元的笔记本买了 x本，8元的笔记本买了 y本，由图中信息列出二
元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设 5元的笔记本买了 x本，8元的笔记本买了 y本，
由题意得：
，
整理得
解得：
所以 5元的笔记本买了 25本，8元的笔记本买了 15本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
21．（8 分）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式
进行广播宣传．如图，笔直的公路 MN的一侧点 A处有一村庄，村庄到公路 MN的距离
为 600m，假使宣讲车 P周围 1000m以内能听到广播宣传，宣讲车 P在公路 MN上沿 PN
方向行驶．
（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
（2）已知宣讲车的速度是 200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
【分析】（1）根据村庄 A到公路 MN的距离为 600米＜1000米，即可得出村庄能听到广
播宣传．
（2）根据勾股定理得到 BP＝BQ＝ ＝800（米），求得 PQ＝1600米，即
可得出结果．
【解答】解：（1）村庄能听到广播宣传，理由如下：
∵村庄 A到公路 MN的距离为 600米＜1000米，
∴村庄能听到广播宣传．
（2）如图：假设当宣传车行驶到 P点开始能听到广播，行驶到 Q点不能听到广播，
则 AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
由勾股定理得：
BP＝BQ＝ ＝800（米），
∴PQ＝1600米，
∴能听到广播的时间为：1600÷200＝8（分钟），
∴村庄总共能听到 8分钟的宣传．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好的理解题意是解题的关
键
22．（10分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板
作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝
材料不计）．
（1）做 1个竖式纸盒和 2 个横式纸盒，需正方形纸板张 5 张（直接填空），需长方
形纸板 10 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板 162张，长方形纸板 338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工
多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
【分析】（1）利用需要正方形纸板张数＝1×制作竖式纸盒个数+2×制作横式纸盒个数，
可求出所需正方形纸板张数，利用需要长方形纸板张数＝4×制作竖式纸盒个数+3×制作
横式纸盒个数，即可求出所需长方形纸板张数；
（2）设加工竖式纸盒 x个，横式纸盒 y个，根据制作的两种纸盒正好使用正方形纸板 162
张、长方形纸板 338张，可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1×1+2×2＝5（张），4×1+3×2＝10（张），
∴做 1个竖式纸盒和 2个横式纸盒，需正方形纸板张 5张，需长方形纸板 10张．
故答案为：5，10；
（2）设加工竖式纸盒 x个，横式纸盒 y个，
根据题意得： ，
解得： ．
答：加工竖式纸盒 38个，横式纸盒 62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
23．（10分）小明在解决问题：已知 ，求 2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵ ，
∴ ．
∴（a﹣2）2＝3，即 a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝ ﹣1 ；
（2）计算： + ；
（3）若 a＝ ，求 2a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出 a的值，再得出 a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1；
（2）原式＝（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9．
（3）因为 a＝ ＝ +2，
所以 a﹣2＝ ．所以（a﹣2）2＝5，即 a2﹣4a+4＝5．
所以 a2﹣4a＝1．
所以 2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×1+1＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二 3．次根式化简求值，正确化简二次
根式是解题关键．
24．（12分）在 A、B两地之间有服务区 C，甲车由 A地驶往服务区 C，乙车由 B地驶往 A
地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区 C的路程 y1、y2（单
位：千米）与乙车行驶时间 x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列
问题：
（1）甲车的速度是 70 千米/时；
（2）求图象中线段 DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区 C的路程之和是 360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；
（2）先求得乙车的速度，进而得出 F（9，420），待定系数求得解析式，即可求解；
（3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为 ＝70（千米/小时），
故答案为：70；
（2）由图象可知，乙车的速度为 ＝60（千米/小时），
∴乙车到达 A地所用时间为 ＝7（小时），
∴乙车从 B地到 A地所用时间为 2+7＝9（小时），
∴F（9，420），
设 DF所在直线的函数解析式为 y＝kx+b（k≠0），
把 D（2，0）和 F（9，420）代入解析式得：
，
解得 ，
∴DF所在直线的函数解析式为 y2＝60x﹣120；
（3）依题意得：y1＝﹣70x+420（0≤x≤2），
y2＝ ，
设乙车的行驶 x小时后，两车距服务区 C的路程之和是 360千米，
①甲乙未相遇时，
则﹣70x+420﹣60x+120＝360，
解得 x＝ ；
②当乙车经过服务区 C，
﹣70x+420+60x﹣120＝360，
解得 x＝﹣6（舍）；
③当甲乙相遇后，
60x﹣120＝360，
解得 x＝8．
综上所述，当乙车 小时或 8小时时两车距服务区 C的路程之和是 360千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结
合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
25．（12分）如图 1，已知直线 l1：y＝﹣x+5与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，直线 l2与 y
轴交于点 C（0，﹣1），与直线 l1交于点 D（2，t）．
（1）求直线 l2的解析式；
（2）如图 2，若点 P在直线 l1上，过点 P作 PQ∥y轴交 l2于点 Q，交 x轴于点 G，使 S
△PCG＝2S△QCG，求此时 P点的坐标；
（3）将直线 l1：y＝﹣x+5向左平移 10个单位得直线 l3交 x轴于点 E，点 F是点 C关于
原点的对称点．过点 F作直线 l4∥x轴．在直线 l4上是否存在动点 M，使得△MCE为等
腰三角形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1 ）把点 D坐标代入直线 l1：y＝﹣x+5求出 t的值，利用待定系数法即可求解；
（2 ）根据三角形面积公式可得 PG＝2QG，即可求解；
（3）设 M（a，1），则 MC＝ ＝ ，ME＝ ，CE＝
，分 ME＝MC，CE＝MC，ME＝CE三种情况列式求解即可．
【解答】解：（1）∵D（2，t）在直线 l1：y＝﹣x+5上，
∴t＝﹣2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线 l2的解析式为 y＝kx+b，
将点 C，D代入得， ，
解得， ，
所以，直线 l2的解析式为 y＝2x﹣1；
（2）设 P（a，5﹣a），
∵PQ∥y轴，
G（a，0），Q（a，2a﹣1），
分两种情况：
①如图，点 P、Q在 x轴两侧，
∵S△PCG＝ PG |a|，S△QCG＝ GQ |a|且 S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，6）；
②如图，点 P、Q都在 x轴上方，
∵S△PCG＝ PG |a|，S△QCG＝ GQ |a|且 S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（2a﹣1），
解得：a＝ ，
∴P点的坐标为（ ， ）；
综上，P点的坐标为（﹣1，6）或（ ， ）；
（3）存在，理由如下：
对于直线 l1：y＝﹣x+5，
当 x＝0时，y＝5；当 y＝0时，x＝5．
∴A（5.0），B（0.5），
∵将直线 l1：y＝﹣x+5 向左平移 10个单位得直线 l3交 x轴于点 E，点 F是点 C关于原
点的对称点．点 C（0，﹣1），
∴E﹣5.0），N（0．﹣5），F（0，1），
如图，
∵将直线 l1：y＝﹣x+5向左平移 10个单位得直线 l3，
∴直线 l3：y＝﹣x﹣5，
又∵F（0.1）
∴l4的解析式为：y＝1，
设 M（a，1），则 MC＝ ＝ ，ME＝ ，CE＝ ，
当△MCE为等腰三角形，有：
①ME＝MC时， ＝ ，
解得，a＝﹣ ，即 M（﹣ ，1），
②CE＝MC时， ＝ ，
解得：a＝ 或 a＝﹣ ，
即 M（ ，1）．M（﹣ ，1），
③ME＝CE时， ＝ ，
解得，a＝0或 a＝﹣10（此时三点共线，不构成三角形，舍去），
即 M（0，1），
综上，点 M的坐标为：M（﹣ ，1）或 M（ ，1）或 M（﹣ ，1）或 M（0，1）．
【点评】本题为一次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角形
的面积公式，等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．