2023-2024学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（PDF版 含解析）

2023-2024 学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
一、选择题（本大题满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3分）下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
3．（3分）若一个三角形的三边长分别为 2、6、a，则 a的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
4．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
5．（3分）如图，∠ACB＝∠DBC，若只添加一个条件，不能使得△ABC与△DCB全等的是
（ ）
A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六
尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，
其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离
地面 x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
7．（3分）如图，△ABC中，AD是 BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点 A，B为圆心；大于
的长为半径画弧，两弧交于 D，E两点，直线 DE交 BC于点 F，连接 AF．以点 A为圆
心，AF 为半径画弧，交 BC 延长线于点 H，连接 AH．若 BC＝3，则△AFH 的周长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝4，且△ABD的面积为 8，则△ABC
的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．（3分）如图，点 A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接 AE
和 CD，AE分别交 CD，BD于点 M，P，CD交 BE于点 Q，连接 PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ 为等边三角形，其中结论正确的有
（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（本大题满分 15 分，每小题 3 分，请你将答案填写在答题卡中）
11．（3分）等腰三角形的一个内角 120°，则它的底角是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC
的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC于点 D，连接 AD，则∠BAD
的度数为 ．
13．（3 分）如图，点 D为△ABC的边 BC上一点，且满足 AD＝DC，作 BE⊥AD于点 E，
若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则 BE的长为 ．
14．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以 AB、AC为边的正方形的面积分别为
S1、S2．若 S1＝20，S2＝11，则 BC的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段 BD上一动点，
Q为边 AB上一动点，当 AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 ．
三、解答题（本大题满分 55 分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）已知：如图，点 B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且 AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．
17．（6分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只
有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在 BA和 CA上取 BE＝CG；
②在 BC上取 BD＝CF；
③连接 DE，FG，量出 DE的长等于 FG的长，则能说明∠B和∠C是相等的，
他的这种做法合理吗？为什么？
18．（6分）如图，在△ABC中，以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交 BC边于点 D，连接
AD．若∠B＝44°，∠C＝54°，求∠ADB和∠DAC的度数．

19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线 DE分别交 AC、AB于点 D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若 AB＝7，BC的长为 5，求△CBD的周长．
20．（7 分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某
校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，
他们进行了如下操作：①测得水平距离 BD的长为 15米；②根据手中剩余线的长度计
算出风筝线 BC的长为 25米；③牵线放风筝的小明的身高为 1.6米．
（1）求风筝的垂直高度 CE；
（2）如果小明想风筝沿 CD方向下降 12米，则他应该往回收线多少米？
21．（7分）如图，△ABC的两条高 AD，CE交于点 F，AF＝BC．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若 BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积．
22．（8分）某校要在一块三角形空地上种植花草，如图所示，AC＝13米、AB＝14米、BC
＝15米，若线段 CD是一条引水渠，且点 D在边 AB上．已知水渠的造价每米 150元．问：
点 D与点 C距离多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？
23．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点 P，BQ⊥AD
于 Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若 PQ＝3，PE＝1，求 AD的长．
2023-2024 学年山东省济宁市任城区七年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3分）下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，注意：一个图形延一条直线对着，直线两旁的
部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形．
2．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．① B．② C．③ D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合 ASA判定，所以
应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方
法熟练掌握．
3．（3分）若一个三角形的三边长分别为 2、6、a，则 a的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出 a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为 2，6，a，
∴6﹣2＜a＜6+2，即 4＜a＜8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三
角形，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，
不符合题意；
C、由 a2＝c2﹣b2，得 a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5．（3分）如图，∠ACB＝∠DBC，若只添加一个条件，不能使得△ABC与△DCB全等的是
（ ）
A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知 BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，具备了一组边和一组角
对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：A、 ，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
B、SSA不能判断三角形全等，错误；
C、 ，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
D、 ，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已
知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．（3分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六
尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，
其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离
地面 x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x尺，则斜边为（10
﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面 x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
故选 D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从
而运用勾股定理解题．
7．（3分）如图，△ABC中，AD是 BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5° B．4° C．8° D．6°
【分析】由角平分线的定义，得∠BAE＝25°，再根据三角形内角和定理得∠BAD＝30°，
最后利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAE＝25°，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝5°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形
内角和定理是解题的关键，属于基础题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点 A，B为圆心；大于
的长为半径画弧，两弧交于 D，E两点，直线 DE交 BC于点 F，连接 AF．以点 A为圆
心，AF 为半径画弧，交 BC 延长线于点 H，连接 AH．若 BC＝3，则△AFH 的周长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】直接利用基本作图方法得出 DE垂直平分 AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的
性质、线段垂直平分线的性质得出 AF+FC＝BF+FC＝BC，即可得出答案．
【解答】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分 AB，
则 AF＝BF，
∴AF+FC＝BF+FC＝BC＝3，
而 AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝AH+HC＝BC＝3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知
识，正确得出 AF+FC＝BF+FC＝BC是解题关键．
9．（3分）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝4，且△ABD的面积为 8，则△ABC
的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】过 D点作 DE⊥AB于 E点，DF⊥AC于 F点，如图，先根据角平分线的性质得
到 DE＝DF，再利用三角形面积公式得到 S△ACD：8＝4：8，然后求出 S△ABD＝4，从而得
到 S△ABC的值．
【解答】解：过 D点作 DE⊥AB于 E点，DF⊥AC于 F点，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ACD：S△ABD＝（ AC DF）：（ AB DE）＝AC：AB，
即 S△ACD：8＝4：8，
∴S△ABD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝4+8＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，关键是根据角的平分线上的点到
角的两边的距离相等解答．
10．（3分）如图，点 A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接 AE
和 CD，AE分别交 CD，BD于点 M，P，CD交 BE于点 Q，连接 PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ 为等边三角形，其中结论正确的有
（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】由等边三角形的性质得出 AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠
ABE＝∠DBC，由 SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，
根据三角形外角的性质得出∠DMA＝60°；由 ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相
等 BP＝BQ，即可得出△BPQ为等边三角形．
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外
角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（本大题满分 15 分，每小题 3 分，请你将答案填写在答题卡中）
11．（3分）等腰三角形的一个内角 120°，则它的底角是 30° ．
【分析】因为三角形的内角和为 180°，所以 120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12．（3分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC
的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC于点 D，连接 AD，则∠BAD
的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出
∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线 MN是线段 AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
13．（3 分）如图，点 D为△ABC的边 BC上一点，且满足 AD＝DC，作 BE⊥AD于点 E，
若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则 BE的长为 3 ．
【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含 30°
角的直角三角形的性质可得 BE的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝ AB＝ ×6＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含 30°角的直角三角形的性质，解本题的
关键是得出∠BAE＝30°．
14．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°．以 AB、AC为边的正方形的面积分别为
S1、S2．若 S1＝20，S2＝11，则 BC的长为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出 BC2，则可得出答案．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵S1＝20，S2＝11，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝20﹣11＝9，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段 BD上一动点，
Q为边 AB上一动点，当 AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 123° ．
【分析】在 BC上截取 BE＝BQ，连接 PE，证明△BQP≌△BEP得出 PQ＝PE，从而证
明当点 A、P、E在同一直线上，且 AE⊥BC时，AP+PQ的值最小，再根据三角形的内角
和即可求出结果．
【解答】解：在 BC上截取 BE＝BQ，连接 PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴ ，
在△BQP和△BEP中，
，
∴△BQP≌△BEP（SAS），
∴PQ＝PE，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当点 A、P、E在同一直线上，且 AE⊥BC，AP+PE的值最小，即 AP+PQ的值最小，
∴当点 A、P、E
在同一直线上，且 AE⊥BC时，∠AEB＝90°，
∵∠CBD＝33°，
∴∠BPE＝90°﹣33°＝57°，
∴∠APB＝180°﹣57°＝123°，
故答案为：123°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形
的内角和定理，确定使 AP+PQ最小时点 P的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题满分 55 分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）已知：如图，点 B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且 AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的 5种判定方法中，选用哪一
种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；
若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边
一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
17．（6分）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只
有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在 BA和 CA上取 BE＝CG；
②在 BC上取 BD＝CF；
③连接 DE，FG，量出 DE的长等于 FG的长，则能说明∠B和∠C是相等的，
他的这种做法合理吗？为什么？
【分析】证明△BDF≌△CEG即可得到∠B＝∠C．
【解答】解：这种做法合理．
理由如下：在△BDF和△CEG中，
，
∴△BDF≌△CEG（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（6分）如图，在△ABC中，以点 B为圆心，BA长为半径画弧，交 BC边于点 D，连接
AD．若∠B＝44°，∠C＝54°，求∠ADB和∠DAC的度数．

【分析】根据题意和等腰三角形的性质，可以求得∠BAD和∠BDA的度数，再根据三角
形外角和内角的关系，即可求得∠DAC的度数．
【解答】解：
∵∠B＝44°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
由作图可知：BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝68°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝14°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线 DE分别交 AC、AB于点 D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若 AB＝7，BC的长为 5，求△CBD的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性
质得到 DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝ ×（180°﹣50°）＝65°，
又∵DE垂直平分 AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
（2）∵DE垂直平分 AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△CBD周长为 12．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的
性质是解题的关键．
20．（7 分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某
校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，
他们进行了如下操作：①测得水平距离 BD的长为 15米；②根据手中剩余线的长度计
算出风筝线 BC的长为 25米；③牵线放风筝的小明的身高为 1.6米．
（1）求风筝的垂直高度 CE；
（2）如果小明想风筝沿 CD方向下降 12米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出 CD的长，再加上 DE的长度，即可求出 CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在 Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度 CE为 21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM＝ ＝ ＝17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线 8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理
是解题的关键．
21．（7分）如图，△ABC的两条高 AD，CE交于点 F，AF＝BC．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若 BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积．
【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明∠BCE＝∠DAB，然后利用 AAS即可证
明△BCE≌△FAE解决问题；
（2）利用全等三角形的性质可以得到 CF、AE的长度，然后利用三角形的面积公式即可
求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC的两条高 AD，CE交于点 F，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠DAB，
在△BCE和△AEF中，
，
∴△BCE≌△FAE（AAS），
∴BE＝EF；
（2）解：∵△BCE≌△FAE，
∴AE＝CE，
而 BE＝4，CF＝5，
∴EF＝4，
∴CE＝AE＝9，
∴S△ACF＝ ×CF×AE＝ ×5×9＝ ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的高线的性质
及三角形的面积公式，有一定的综合性．
22．（8分）某校要在一块三角形空地上种植花草，如图所示，AC＝13米、AB＝14米、BC
＝15米，若线段 CD是一条引水渠，且点 D在边 AB上．已知水渠的造价每米 150元．问：
点 D与点 C距离多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？
【分析】当 CD为 AB边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低．过 C作 CD⊥AB于 D，
设 AD＝xm，则 BD＝（14﹣x）m．在 Rt△ACD与 Rt△BCD中，运用勾股定理得出 CD2
＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即 132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解方程求出 x＝5，则 AD＝5，
CD＝12，再根据水渠的造价每米 150元，进而求解即可．
【解答】解：过 C作 CD⊥AB于 D，设 AD＝xm，则 BD＝（14﹣x）m．
在 Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，
在 Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2，
所以 AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即 132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得 x＝5，
则 CD2＝132﹣52，CD＝12，
由于水渠的造价每米 150元，所以最低造价是 150×12＝1800元．
答：点 D与点 C距离 12米时，水渠的造价最低，最低造价是 1800元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．准确作出辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
23．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点 P，BQ⊥AD
于 Q．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若 PQ＝3，PE＝1，求 AD的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理 SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ＝60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ＝30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”
得到 2PQ＝BP＝6，则易求 BE＝BP+PE＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE＝AD；
（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°；
（3）如图，由（2）知∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝ BP＝3，
∴BP＝6
∴BE＝BP+PE＝7，即 AD＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含 30度角的直角三角形．全等三角形的判
定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选
择恰当的判定条件．