4.1指数与指数函数 同步练习2023——2024学年上学期高一数学人教B版（2019）必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1指数与指数函数 同步练习2023——2024学年上学期高一数学人教B版（2019）必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 713.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-10 20:21:07 | ||
图片预览
文档简介
4.1指数与指数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数
2．已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，且．若，则（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2025
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间t（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ）
A．325年 B．375年 C．600年 D．1000年
二、多选题
9．若实数x，y满足，，，则（ ）
A．且 B．m的最大值为
C．n的最小值为7 D．
10．下列选项中正确的是（ ）
A．函数在上是减函数
B．函数（且）的图像一定经过点
C．命题“，”的否定是“，”
D．函数在上单调递增，则a的取值范围是
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称
B．是偶函数
C．的值域为
D．，，且，恒成立
三、填空题
13．已知函数，则函数的值域为 ．
14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 .
15．已知实数且，，则
16．如果函数，若，则值域为 ；若满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是 .
四、计算题
17．求值：
(1)；
(2)化简:
五、解答题
18．已知函数（其中）为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值．
19．已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)解不等式；
(3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
20．已知函数，（且）.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若.
①求实数的值；
②设，，当时，试比较，的大小.
21．如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称.已知函数
(1)若，求的值;
(2)证明：函数的图像关于对称;
(3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求m的取值范围.
22．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？（）
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案.
【详解】，函数定义域为.
，函数为奇函数，
设，，函数单调递增，而函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减，
而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数.
故选：C.
2．B
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数、，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
3．A
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，
可得，即，
又因为在上单调递增，且，
可得，
所以.
故选：A.
4．D
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在定义域上单调递增，且，
所以，即，
又因为在定义域上单调递减，且，
所以，即，
所以.
故选：D.
5．D
【分析】根据，即可代入求解.
【详解】由，得，
∴，∴．
故选:D．
6．D
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】因为是上的减函数，
所以，解得，即，
所以实数的取值不可能是，
故选：D．
7．D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
8．B
【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可.
【详解】由题意得，解得，
令，则，解得.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
对于B：，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
对于C：
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A：根据函数单调性的定义和性质分析判断；对于B：根据指数函数的定点分析判断；对于C：根据特称命题的否定是全称命题分析判断；对于D：根据复合函数单调性结合指数函数单调性可得在上单调递增，利用二次函数性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为，可得，即的定义域为，
又因为，可知在上是减函数，
又因为，即，
可知函数在上不是减函数，故A错误；
对于选项B：令，则，可得，
函数（且）的图像一定经过点，故B正确；
对于选项C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；
对于选项D：因为在定义域内单调递增，
由题意可得：在上单调递增，则，解得，
所以a的取值范围是，故D错误；
故选：BC.
11．AC
【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.
【详解】因为函数是R上的增函数，则
解得，即，
结合选项可知：实数a的值可以是或.
故选：AC．
12．ACD
【分析】对于A：利用奇函数的定义判断；对于B：利用偶函数的定义判断；对于C：由，得到判断；对于D：由判断.
【详解】因为
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为，所以，，
所以，所以，故C正确；
对于D：
若，则；若，则；而，，都有，，，
所以恒成立，故D正确．
故选：ACD．
13．．
【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：
14．
【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.
【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，
所以在上递减，在上递增，
又在上单调递减，故，则.
故答案为：
15．
【分析】根据条件，利用分数指数幂的运算法则即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故答案：.
16．
【分析】将代入函数并画出函数图象，由图可知函数值域为；易知若对任意，都有成立，可得在定义域内为单调递增函数，所以可知，解不等式可得a的取值范围是.
【详解】若，则，
画出函数图象如下图所示：
由图可知，当时，值域为；
若满足对任意，都有成立，可知在定义域内为单调递增函数；
因此可知需满足，解得；
即么a的取值范围是.
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据指数幂运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）因为，
由题意可得：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据求得，并根据奇函数的定义检验；
（2）根据的单调性可得的值域，令，整理得原题意等价于对于恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为为奇函数，且的定义域为，
可知，解得，则，
且，即，
可得为奇函数，所以.
（2）由（1）可知：，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
且，则，
令，则，
对于不等式，即，
则，
原题意等价于对于恒成立，
且，当且仅当，即时，等号成立，
则，解得
所以实数的最小值.
19．(1)是奇函数
(2)或
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；
（2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解；
（3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解.
【详解】（1）因为定义域是R，且，
所以是奇函数.
（2）设，则，
因为在R上递增，且在上递减，
所以是R上减函数，
又因为在R上是奇函数，
则可转化为，
且在R是减函数，则，整理得，
解得或，可得或，
所以不等式的解集为或.
（3）由题意可得：
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，，使成立，只需，
设，，
则
可知在上单调递增，
可知：，即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数m的取值范围.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；
（2）根据两个函数在上的值域来比较较，的大小即可.
【详解】（1）函数，对称轴，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若函数在上单调递减，则，，
故实数的取值范围为.
（2）①，即，解得；
②当时，
，
，
所以，即.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）代入数据直接计算即可.
（2）计算得到证明.
（3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1），，解得；
（2），
，
故，
即函数的图像关于对称；
（3）函数的图像关于对称，
函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
不等式恒成立，
等价于，整理得到，
当时，不等式成立；
当时，，，当时等号成立，
故，即；
综上所述：的取值范围为
22．乙方案能获得更多的木材
【分析】分别确定甲乙方案在10年后树木产量，作差比较，即可得到结论.
【详解】设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为．
乙方案在10年后树木产量为：
．
，
因此，乙方案能获得更多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数
2．已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，且．若，则（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2025
6．已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间t（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ）
A．325年 B．375年 C．600年 D．1000年
二、多选题
9．若实数x，y满足，，，则（ ）
A．且 B．m的最大值为
C．n的最小值为7 D．
10．下列选项中正确的是（ ）
A．函数在上是减函数
B．函数（且）的图像一定经过点
C．命题“，”的否定是“，”
D．函数在上单调递增，则a的取值范围是
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称
B．是偶函数
C．的值域为
D．，，且，恒成立
三、填空题
13．已知函数，则函数的值域为 ．
14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 .
15．已知实数且，，则
16．如果函数，若，则值域为 ；若满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是 .
四、计算题
17．求值：
(1)；
(2)化简:
五、解答题
18．已知函数（其中）为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值．
19．已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)解不等式；
(3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
20．已知函数，（且）.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若.
①求实数的值；
②设，，当时，试比较，的大小.
21．如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称.已知函数
(1)若，求的值;
(2)证明：函数的图像关于对称;
(3)现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求m的取值范围.
22．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？（）
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】变换，根据奇函数的定义判断函数为奇函数，根据和的单调性得到函数单调性，得到答案.
【详解】，函数定义域为.
，函数为奇函数，
设，，函数单调递增，而函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，故函数在上单调递减，
而函数为定义域为的奇函数，故函数在上是减函数.
故选：C.
2．B
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数、，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
3．A
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，
可得，即，
又因为在上单调递增，且，
可得，
所以.
故选：A.
4．D
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在定义域上单调递增，且，
所以，即，
又因为在定义域上单调递减，且，
所以，即，
所以.
故选：D.
5．D
【分析】根据，即可代入求解.
【详解】由，得，
∴，∴．
故选:D．
6．D
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】因为是上的减函数，
所以，解得，即，
所以实数的取值不可能是，
故选：D．
7．D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
8．B
【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可.
【详解】由题意得，解得，
令，则，解得.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
对于B：，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；
对于C：
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A：根据函数单调性的定义和性质分析判断；对于B：根据指数函数的定点分析判断；对于C：根据特称命题的否定是全称命题分析判断；对于D：根据复合函数单调性结合指数函数单调性可得在上单调递增，利用二次函数性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为，可得，即的定义域为，
又因为，可知在上是减函数，
又因为，即，
可知函数在上不是减函数，故A错误；
对于选项B：令，则，可得，
函数（且）的图像一定经过点，故B正确；
对于选项C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；
对于选项D：因为在定义域内单调递增，
由题意可得：在上单调递增，则，解得，
所以a的取值范围是，故D错误；
故选：BC.
11．AC
【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.
【详解】因为函数是R上的增函数，则
解得，即，
结合选项可知：实数a的值可以是或.
故选：AC．
12．ACD
【分析】对于A：利用奇函数的定义判断；对于B：利用偶函数的定义判断；对于C：由，得到判断；对于D：由判断.
【详解】因为
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为，所以，，
所以，所以，故C正确；
对于D：
若，则；若，则；而，，都有，，，
所以恒成立，故D正确．
故选：ACD．
13．．
【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：
14．
【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.
【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，
所以在上递减，在上递增，
又在上单调递减，故，则.
故答案为：
15．
【分析】根据条件，利用分数指数幂的运算法则即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故答案：.
16．
【分析】将代入函数并画出函数图象，由图可知函数值域为；易知若对任意，都有成立，可得在定义域内为单调递增函数，所以可知，解不等式可得a的取值范围是.
【详解】若，则，
画出函数图象如下图所示：
由图可知，当时，值域为；
若满足对任意，都有成立，可知在定义域内为单调递增函数；
因此可知需满足，解得；
即么a的取值范围是.
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据指数幂运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）因为，
由题意可得：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据求得，并根据奇函数的定义检验；
（2）根据的单调性可得的值域，令，整理得原题意等价于对于恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为为奇函数，且的定义域为，
可知，解得，则，
且，即，
可得为奇函数，所以.
（2）由（1）可知：，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
且，则，
令，则，
对于不等式，即，
则，
原题意等价于对于恒成立，
且，当且仅当，即时，等号成立，
则，解得
所以实数的最小值.
19．(1)是奇函数
(2)或
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；
（2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解；
（3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解.
【详解】（1）因为定义域是R，且，
所以是奇函数.
（2）设，则，
因为在R上递增，且在上递减，
所以是R上减函数，
又因为在R上是奇函数，
则可转化为，
且在R是减函数，则，整理得，
解得或，可得或，
所以不等式的解集为或.
（3）由题意可得：
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，，使成立，只需，
设，，
则
可知在上单调递增，
可知：，即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数m的取值范围.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；
（2）根据两个函数在上的值域来比较较，的大小即可.
【详解】（1）函数，对称轴，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若函数在上单调递减，则，，
故实数的取值范围为.
（2）①，即，解得；
②当时，
，
，
所以，即.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）代入数据直接计算即可.
（2）计算得到证明.
（3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1），，解得；
（2），
，
故，
即函数的图像关于对称；
（3）函数的图像关于对称，
函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
不等式恒成立，
等价于，整理得到，
当时，不等式成立；
当时，，，当时等号成立，
故，即；
综上所述：的取值范围为
22．乙方案能获得更多的木材
【分析】分别确定甲乙方案在10年后树木产量，作差比较，即可得到结论.
【详解】设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为．
乙方案在10年后树木产量为：
．
，
因此，乙方案能获得更多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页