福州市五校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
班级 姓名 座号
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
3.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A. B.
C. D.
5.设为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
6.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线其中a∈R，下列说法正确的是( )
A.当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行，则a=0
C.直线l过定点（0,1）
D.当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11.关于曲线：，下列说法正确的是( )
A. 曲线一定不过点
B. 若，过原点与曲线相切的直线有两条
C. 若，曲线表示两条直线
D. 若，则直线被曲线截得弦长等于
12.如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
13.经过、两点的直线的斜率为_________．
14.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是_____________．
15.过点作圆：的切线，则此切线的方程为 _____________ ．
16.已知三棱锥，，，的长分别为，，，且，，两两夹角均为，是三棱锥的重心，即，过点作平面，与直线，，分别相交于，，三点，且，，，则 ，的长度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知的三个顶点是，，．求：
（1）边上的中线所在直线方程；
（2）边上的高所在直线方程．
18.（12分）已知直线过点，且与直线垂直
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.
19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，
设为侧棱的中点. 求：
（1）正四棱锥的体积；
（2）直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线交于 两点，求线段的长.
21.（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22、（12分）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围2023-2024 学年第一学期期中考试
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A
二、多项选择题
9. BCD 10. AC 11. AB 12. ABD
三、填空题
13. -2/3
14. （2,0,2）
15. 15x+8y-36=0或x=4
16. 4；5/4
17、（1）由题知 AC 的中点 D (2,0)，
BD 1 0 1所以直线 的斜率 kBD = = ………………………………………3 分 2 2 4
则边 AC 上的中线 BD 1所在直线的方程为 y = (x 2)，
4
化简得 x 4y 2 = 0． …………………………………………2 分
2 2
（2）由题意得直线 AC 的斜率 kAC = = 2，且 kBE kAC = 1 3 1
1
所以 kBE = ． …………………………………………3 分 2
则边 AC 上的高 BE 1所在直线的方程为 y +1= (x + 2)，
2
化简得 x 2y = 0 ……………………………… 2 分
4
18、（1）因为直线 4x 3y + 5 = 0的斜率为 ，又直线 4x 3y + 5 = 0与直线 l垂直，
3
3
所以直线 l的斜率为 k = ， …………………………………………3 分
4
高二数学参考答案第1 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
3
依题意，直线 l的方程为 y + 2 = (x 1) ，即
4
3x + 4y + 5 = 0. …………………………………………3 分
（2）圆 x2 + y2 = 5的圆心 (0,0)到直线3x + 4y + 5 = 0的距离为
d 5= =1
2 2 . …………………………………………3 分 3 + 4
又圆 x2 + y2 = 5的半径为 r = 5 ，所以
PQ = 2 r 2 d 2 = 4 . …………………………………………3 分
19、（1）设 AC BD = O ，则O是 AC, BD 的中点，连接OE ，
由于 E 是 PC 的中点，所以OE //PA，OE 1= PA 3= ，………………………………………2 分
2 2
由于 PA ⊥平面 ABCD，所以OE ⊥平面 ABCD，所以
V 1 (2 2) 3= × × × = 2. ………………………………………2 分
3 2
（2）依题意可知 AB, AD, PA两两相互垂直，以A 为原点，以 AB, AD, AP 所在直线分别为 x, y, z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
B (2,0,0) , P (0,0,3) ,C (2,2,0) , E 1,1,
3
2
, D (0,2,0)，…………………………………………2 分
3 BE = 1,1,
, DC = (2,0,0) , PD = (0,2, 3)，设平面PCD的法向量为 n = (x, y, z )，
2
n
DC = 2x = 0
则 ，令 y = 3 ，可得 n = (0,3,2)，…………………………………………4 分
n PD = 2y 3z = 0
设直线 BE 与平面 PCD所成角为θ，
高二数学参考答案第2 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
则 sinθ
n BE 3+ 3 12 221
= = =
n BE 9 221 . …………………………………………2 分 9+ 4 × 1+1+
4
(x, y) (x , y )
20、（1）设点 P 的坐标为 ，点A 的坐标为 0 0 ，
由于点 B 的坐标为 (6,5)，且点 P 是线段 AB 的中点，
x x + 6 y + 5所以 = 0 ， y = 0 ，…………………………………………2分
2 2
于是有 x0 = 2x 6， y0 = 2y 5.①
因为点A 在圆C1： (x 4)2 + (y 3)2 = 4上运动，
所以点A 的坐标满足方程 (x 4)2 + (y 3)2 = 4，
即 (x0 4)
2 + ( y 20 3) = 4 .② …………………………………………2 分
把①代入②，得 (2x 6 4)2 + (2y 5 3)2 = 4，
整理，得 (x 5)2 + (y 4)2 =1，
所以点 P 的轨迹C2 的方程为
(x 5)2 + (y 4)2 =1. …………………………………………2 分
（2）圆C1： (x 4)2 + (y 3)2 = 4与圆C ： (x 5)22 + (y 4)2 =1的方程相减，
得 2x + 2y 19 = 0 . …………………………………………1分
由圆C 2 22 ： (x 5) + (y 4) =1的圆心为 (5,4)，半径 r =1，
且 (5,4)到直线 2x + 2y 19 = 0的距离
10+8 19
d 2= = ， …………………………………………3分
22 + 22 4
高二数学参考答案第3 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
1 14
则公共弦长 MN = 2 r 2 d 2 = 2 1 = . …………………………………………2 分
8 2
21、（1）证明：取 PB中点 M ，连接 AM , EM ，
E 为 PC 的中点，
∴ME∥BC, ME 1= BC ， …………………………………………1 分
2
1
又 AD∥BC, AD = BC ，
2
∴ME∥ AD, ME = AD ，
∴四边形 ADEM 为平行四边形： …………………………………………2 分
∴DE∥AM ，
DE 平面 PAB, AM 平面 PAB，
∴DE 平面 PAB； …………………………………………2 分
（2）平面PAB ⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD = AB, BC 平面 ABCD，
BC ⊥ AB,∴BC ⊥平面 PAB， …………………………………………1 分
取 AB 中点G ，连接 FG ，则 FG∥BC,∴FG ⊥平面 PAB，
∴∠GPF = 60°,GF 1= (AD + BC ) = 3，
2
∴ tan60 3° = ,∴PG = 3，
PG
又 PA = PB = 2,∴AG = GB = 4 3 = 1, AB = 2 ， …………………………………………1 分
如图以G 为坐标原点，GB 为 x 轴，GF 为 y 轴，GP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
∴P (0,0, 3) ,C (1,4,0) , D ( 1,2,0)，
( ) ∴PC = 1,4 3 ,CD = ( 2, 2,0)，设平面 PCD的一个法向量， n1 = (x, y, z )，
n1 PC = x + 4y 3z = 0
则 y =1 n = 1,1, 3 ，取 ，则 1 ( )， ………………3 分
n1 CD = 2x 2y = 0
平面 PAB的一个法向量可取 n2 = (0,1,0)，
设平面 PAB与平面 PCD所成的夹角为θ，
高二数学参考答案第4 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
cosθ n1 n 1 5∴ = 2 = = 5,平面PAB与平面 PCD所成的夹角的余弦为 …………2 分
n1 n2 5 5 5
2
22、（1）由题可知，设圆的方程为 (x a) + y2 = r 2，
(1 a)2 + 7 = r 2
7 3 ，解得 a = 4， r = 4，所以圆的方程为
= 1
1 a 7
(x 4)2 + y2 =16． …………………………4 分
π
（2）由题意知，∠AOB = 2 ，
设直线OA的斜率为 k (k ≠ 0)，则直线OA的方程为 y = kx ，
y = kx 2 2
由 2 2 ，得 (1+ k ) x 8x = 0，
x + y 8 = 0
高二数学参考答案第5 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
x = 0, x
8
=
1+ k 2 8
解得 或 ，则点A 的坐标为 2 ,
8k
2 ． …………………2 分
y = 0 y 8k= 1+ k 1+ k
1+ k 2
1 8k 2 8k
又直线OB 的斜率为 ，同理可得点 B 的坐标为 2 , ． …………………2 分 k 1+ k 1+ k
2
由题可知，C (8,8k ) D 8, 8 ， ．
k
S1 OA OB OA OB
因此 = = S OD OC OC OD ， 2
8 2
又 OA x= A = 1+ k
2 1 OB k
= ，同理 = 2 ， ……………………………………2 分
OC xC 8 1+ k
2 OD 1+ k
S 21 k 1 1= = ≤
所以 S k 4 + 2k 2 +1 k 2 1 2 4 ，当且仅当
k =1时取等号．
2 + 2 +k
S1 0 S> 1 1 又 S ，所以 S 的取值范围是
0, ．…………………………………………2 分
2 2 4
高二数学参考答案第6 页 （共 6 页）
{#{QQABBYQQgggAQBAAAQgCEwHCCgCQkAECAKoGwBAMIAABQRFABAA=}#}
