四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试理科数学试题（含答案）

成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．本试卷分选择题和非选择题两部分．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．
5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
6．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则（ ）
A． B．5 C．3 D．
3．执行如图所示程序框图，则输出结果是（ ）
A．热 B．爱 C．生 D．活
4．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：
月份 2 3 4 5 6
销售额（万元） 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4
根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）
A．18.85万元 B．19.3万元 C．19.25万元 D．19.05万元
5．已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于
6．如图，在中，是边一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线对称 B．周期为，图象关于点对称
C．在上单调递增，为偶函数 D．在上单调递减，为奇函数
8．如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的两个顶点分别为，若的渐近线上存在点，使，则的离心率范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，在有且只有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则在下列关系
①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．曲线在点处的切线的倾斜角为______．
14．已知，则二项式展开式中的常数项为______．
15．数列满足：，数列的前项和记为，则______．
16．分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，的内切圆的圆心为，设直线的斜率分别为，则椭圆的离心率为______．
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为1，．
（1）求；
（2）求的面积．
18．（本小题满分12分）
一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为线段上一点，且，二面角的余弦值为，求的值．
19．（本小题满分12分）
体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变。2019年9月2日，国务院办公厅印发《体育强国建设纲要》，纲要提出，到2035年，《国民体质测定标准》合格率超过．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在我国杭州成功举办，中国代表队以201枚金牌，383枚奖牌夺得金牌榜和奖牌榜第一。这是新时期中国体育工作改革和发展过程中取得的优异成绩。某校将学生的立定跳远作为体育健康监测项目，若该校初三年级上期开始时要掌握全年级学生立定跳远情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
跳远距离
得分 17 18 19 20
（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳远距离（单位：）服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年训练后，每人跳远距离都有明显进步，假设初三结束进行跳远测试时每人跳远比初三上学期开始时距离增加，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）若全年级恰好有2000名学生，预估初三结束进行测试时，跳远距离在以上的人数；（结果四舍五入到整数）
（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记初三结束进行测试时，跳远距离在以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，
．
参考数据：
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，过抛物线上除原点外任一点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线是的角平分线．
（1）求直线与抛物线交点的个数；
（2）直线与抛物线的准线相交于点，过作抛物线的切线，切点为（不与点重合），求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于两点，点是曲线上异于点的任意一点，求的面积的最大值．
23．[选修4-5：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知函数．
（1）解不等式：；
（2）若，且，求证：．
成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案（理科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B D C D C A A B A C A B
二、填空题
13． 14．28 15．2191 16．
三．解答题：
17（Ⅰ），根据正弦定理得，即，代入，即，由于，即，解得．
（Ⅱ）根据正弦定理得，即，由（Ⅰ）知．由余弦定理得，解得．
又因为，所以．
18．解：（1）由条件知，
平面．
，
．
平面．
（2）以为原点，为轴的非负方向建立空间直角坐标系．，
设平面的法向量为，
由得，取，则．
．
由（1）知，平面的法向量为
由题意，解得．
19．解析：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，
（Ⅱ）
又，所以初三结束进行测试时，．
（ⅰ）．（人）
（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，跳远距离在以上的概率为0.5，即，，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
0.125 0.375 0.375 0.125
20．（1）设，则坐标为中点坐标为
又为等腰三角形，的角平分线即为中垂线
的方程为
联立，得
与抛物线只有一个交点
（2）设点，由题意可知，为抛物线的两条切线．
先证过抛物线上一点且与抛物线相切的方程为，
证明：因为在抛物线上，所以，不妨设，因此，所以切线方程为，所以，化简得：．
因此，设，则根据上述结论可知：，
因为都过点，带入上式得：，所以可知点都在直线上，因此直线的方程为．
联立，得
，点到直线距离分
当时，面积有最小值4．
21．解：（1），
的定义域为．
①即时，在上递减，在上递增，
无极大值．
②即时，在和上递增，在上递减，
③即时，在上递增，没有极值．
④即时，在和上递增，在上递减，．
综上可知：时，无极大值；
时，；
时，没有极值；
时，．
（2）设，
设，则，
在上递增，的值域为，
①当时，为上的增函数，，适合条件．
②当时，不适合条件．
③当时，对于，
令，存在，使得时，，
在上单调递减，，即在时，不适合条件．
综上，的取值范围为．
22．解：（1）消去参数，得曲线的直角坐标方程为，即．
把代入，曲线的直角坐标方程为．
（2）圆心到直线的距离为
圆上动点到弦的距离的最大值为
解法1：弦长
的面积的最大值为．
解法2：设圆上动点，到直线的距离
化的参数方程为代入得，
则则
的面积的最大值为．
23．解：（1）
分当时，，解得；当时，，解得
综上，原不等式的解集为
（2）因为，所以
令，
若，则，
因为，所以，所以；
若，则，
因为，所以，所以综上所述，