四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试文科数学试题（含答案）

成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．本试卷分选择题和非选择题两部分．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．
5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
6．考试结束后，只将答题卡交回
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列是等差数列，，，则的值为（ ）
A．15 B．－15 C．10 D．－10
5．已知空间两不同直线m、n，两不同平面、β，下列命题正确的是（ ）
A．若/且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若m不垂直于，且，则m不垂直于n
6．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线对称 B．周期为π，图象关于点对称
C．在上单调递增，为偶函数 D．在上单调递减，为奇函数
7．如图，在中，，，，D是BC边一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD．四面体的顶点在一个球自上，则该球的不积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数有有一个极值点，则k的取值此围是（ ）
A． B．
C． D．
11．在矩形ABCD中，，动点P在以点C为圆心与BD相切的同上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点．P为C一点，且轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心当为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大期共4小题，每小题5分，共20分．）
13．曲线在点处的切线的倾斜角为______．
14．点到双曲线的一条渐近线的距离为______．
15．数列满足：，，，数列的前n项和记为，则______．
16．已知，，则在下列关系① ② ③ ④中，能作为“”的必要不充分条件的是______（填正确的序号）．
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐其外接圆半径为1，，．
（1）求；
（2）求的面积．
18．（本小题满分12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水 （一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为F，过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，直线l是的角平分线．
（1）求直线l与抛物线交点的个数；
（2）直线l与抛物线的准线相交于点N，过N作抛物线的切线，切点为Q（不与P点重合），求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知曲线：（t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于两点A，B，点P是曲线上异于点A，B的任意一点，求的面积S的最大值．
23．[选修4－5：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
成都市武侯区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案（文科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B B D C A A D B C A A
二、填空题
13．135° 14． 15．2191 16．②③
三、解答题：
17．（Ⅰ），根据正弦定理得，即，代入，
即，由于，即，
解得．
（Ⅱ）根据正弦定理得，即，由（Ⅰ）知．由余弦定理得，解得．
又因为，所以．．
18．（1）频率分布直方图如图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0.48；
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
该家庭使用了节水龙头后天50日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
19．解：（1）证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
20．（1）设，，则M坐标为，∴MF中点经标为，，
又∵，∴为等反角形，∴的角平分线围为MF中垂线
∴l的方程为
联立，得
∴l抛物线只有一个交点分
（2）设点，由题意可知，NP，NQ为抛物线的两条切线．
先计过抛物线上一点且与抛物线相切的方程为，
证明：因为在抛物线上，所以，不实设，，因此，
所以切线方程为，所以，化简得：．
因此，设，，则根据上述结论可知：NP：，NQ：，
因为NP、NQ的过点，带入上式得：，所以可知点P，Q都在直线上，因此直线PQ的方程为．
联立，得，
∴
点N到直线PQ距离
∴，∴当时，面积有最小值4．
21．解：（1），，
∵的定义域为．
∵，则，∴，有（舍去），，
在上递减，在上递增，
，无极大值．
（2）设，，
设，则，，，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，∴，适合条件．
②当时，∵﹐∴不适合条件．
③当时，对于，，
令，，存在，使得时，，
∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件．
综上，a的取值范围为．
22．解：（1）消去参数t，得曲线的直角坐标方程为，即．
把代入，曲线的直角坐标方程为．
（2）圆心到直线AB的距离为
圆上动点P到弦AB的距离的最大值为
解法1：弦长
∴的面积S的最大值为．
解法2：设圆上动点，P到直线的距离
化的参数方程为代入得，
则， 则
∴的面积S的最大值为．
23．解：（1）
当时，，解得：当时，，解得
综上，原不等式的解集为
（2）因为，，所以，
令，
若，则，
因为，，所以，所以；
若，则，
因为，，所以，所以综上所述，．