2023-2024 学年第一学期期中考试 高二
数学试题
完卷时间 120 分钟；满分 150 分
一 单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 点 A 3, 4,5 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标是（ ）
A. 3,4,5 B. 3, 4,5 C. 3,4, 5 D. 3, 4, 5
2. 已知直线 m 1 x 3y 1 0与直线 4x my 1 0平行，则 m 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 或 4 D. 3 或 4
3. 平面内点 P到 F1 3,0 、 F2 3,0 的距离之和是 10，则动点 P的轨迹方程是（ ）
A x
2 y2 x2 y2 y2 x21 B 1 C 1 D y
2 x2
． ． ． ． 1
25 9 25 16 25 9 25 16
4. 若点 P 1,1 在圆 x2 y2 x y k 0的外部，则实数 k的取值范围是（ ）
A. 1 2 ， B. 2,
1
C. 2, D. 2,2 2 2
5. 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB BC 1，AA1 3，则异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
1
A. B. 5 C. 5 D. 2
5 6 5 2
6. 已知圆C : x2 y2 6x 0与直线 l : 2x y 1，则圆C上到直线 l的距离为 1 的点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为 4 米，
短轴长为 2 米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ）
A 3 B. 3 C. 2 D. 3
2
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8. 设抛物线 y2 4x的准线与 x轴交于点 K，过点 K的直线 l与抛物线交于 A，B两点.设线段 AB的中点为 M，
过点 M作 x轴的平行线交抛物线于点 N.已知△NAB的面积为 2，则直线 l的斜率为( )
2 1
A. B. C. 2 D. 2
2 2
二 多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.
9. 对于直线 l : x y 1 0，下列说法正确的有（ ）
A. 直线 l过点 0,1 B. 直线 l与直线 y x垂直 C. 直线 l的一个方向向量为 1,1 D. 直线 l的倾斜角为 45°
10. 下列说法正确的是（ ）
OG 1 A. 若 G 是四面体 OABC 的底面三角形 ABC 的重心，则 OA OB OC3
B. 在四面体 OABC 中，若OG 12OA
5
6OB
1
6OC ，则 A，B，C，G 四点共面
C. 已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的棱长均为 1，且 BAD BAA1 DAA1 60 ，则对角线 A1C的长
为 2
D. 若向量 p mx ny k z，则称（m，n，k）为 p在基底 x, y, z 下的坐标．已知向量 p在单位正交基底 a,b,c
3 1
下的坐标为（1，2，3），则 p在基底 a b,a b,c 下的坐标为 , ,3
2 2
2 2
11. x y已知曲线C : 1 m 1，且m 4 ，则下列结论正确的是（ ）
4 m 1 m
A．若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（ 3，0） B．若曲线C是椭圆，则m 1
C．若m 1且m 4，则曲线C是双曲线 D．直线 kx y k 0 k R 与曲线C恒有两个交点
12. .已知 F是抛物线C : y2 x的焦点，A，B是 C上的两点，O为原点，则( )
5 1
A.若 AF ，则△AOF 的面积为
4 8
BB B BB 2 OF OFBB 3 5B.若 垂直 C的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为
4
C.若直线 AB过点 F，则 AB 的最小值为 1
D.若OA OB 1 1 ，则直线 AB 恒过定点
4
, 0
2
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
三 填空题：本大题共 4 小题，律小题 5 分，共 20分.
2 2
13. x y已知方程 1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围为 ．
k 5 3 k
14. 已知点M (a,b)在直线5x 12 y 26 0上，则 a2 b2 的最小值为________．
2 2
15. F x y已知 是双曲线 1的左焦点，A 4,4 ,P是双曲线右支上的动点，则 PF PA 的最小值为 .
16 9
x2 y2
16. 双曲线 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1，F2．过 F1作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的a2 b2
右支于点 P，若 F1PF2 ，则双曲线的离心率为______．4
四 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17. ABC的三个顶点 A(1,6)、 B( 1, 2)、C(6,3)，D 为 BC 中点，求：
（1）BC 边上的高所在直线的方程； （2）中线 AD 所在直线的方程．
18. 已知圆 C 的圆心在直线 y 2x 3上，且与 x 轴相交于点 M（2，0）和 N（4，0）．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 P 1, 1 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 AB 2 6 ，求直线 l 的方程．
19. 在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD / /BC ， AB BC，侧面 PAB 底面 ABCD，
PA PB AD 2， BC 4．
（1）若 PB 的中点为 E，求证： AE / /平面 PCD；
（2）若 PB 与底面 ABCD 所成的角为 60°，求平面 PCD 与平面 PBD 的夹角的余弦值．
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
20. 已知抛物线C : y 2 2px p 0 上一点 P 3,m 到焦点 F的距离为 4．
(1)求实数 p的值；(2)若过点 1,0 的直线 l与抛物线交于 A，B两点，且 AB 8，求直线 l的方程．
21. 如图，在三棱锥 P ABC中， AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O 为 AC 的中点．
CM
（1）证明：PO⊥平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角M PA C为30 ，求 的值．
CB
x2 y2
22. 已知椭圆C : 1 a b 0 3的离心率是 ，且过点 P 2,1 .
a2 b2 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线 l与椭圆C交于 A、B 两点，线段 AB的中点为M ，O为坐标原点，且 OM 2 ，求 AOB面积
的最大值.
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数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C C D D D
8.由题意，得K ( 1,0) .设直线 l的方程为 x ty 1(t 0) .将其代入 y2 4x，化简并整理，
得 y2 4ty 4 0 .由 ( 4t)2 16 0，得 t 2 1.设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则 y1 y2 4t，y1y2 4，
所以 x1 x2 t y1 y2 2 4t2 2 .因为M是 AB的中点，所以M 2t 2 1,2t .由题意，知
N t 2 , 2t 2 2，所以 |MN | t 2 1 .又 y1 y2 y1 y2 4y1y2 16 t2 1 ，所以△NAB的面积
1 3 3S |MN | y1 y2 2 t 2 1 .由已知条件知 S 2，所以 2 t 2 1 2，解得 t 2 2 (满足2
0 ) 2，所以直线 l的斜率为 .故选 D.
2
二、多选题
9 10 11 12
AB ACD AB ACD
9.解析：直线 l : x y 1 0化成斜截式为 y x 1，所以当 x 0时， y 1，A 对；直线 l
的斜率为﹣1，倾斜角为 135°，D 错；直线 y x的斜率为 1， 1 1 1，所以两直线
垂直，B对；直线 l 的一个方向向量为(1,-1)，C错．故选：AB．
10.解析：A：令O(0,0,0)，A(x1, y1, z1)，B(x2 , y2 , z2 )，C(x3, y3, z3)，又 G 是底面三角形 ABC
G( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 , z1 z2 z
的重心，∴ 3 )，OA (x1, y1, z1)，OB (x2 , y2 , z2 )，OC (x3 , y3 , z3 )3 3 3 ，
OG x ( 1 x2 x3 , y1 y2 y3 , z1 z2 z3 ) 1
3 3 3 ，∴
OG
3 OA OB OC 成立，正确；
1 5 1 B OG OA OB OC 1 5 1 1：由 2 6 6 ，而 1，故 A，B，C，G2 6 6 2 四点不共面，错误；
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
C：如下图， A1C AB AD AA1 ，
2 2 2 2
∴ A1C (AB AD AA
2
1) AB AD AA1 2(AB AD AA1 AB AA1 AD)，又
2
BAD BAA1 DAA1 60 且棱长为 1，∴ A1C 3 2 (
1 1 1
) 2 | A
2 2 2 ，则 1
C | 2，正确；
D： p在基底 a b,a b,c 3 1 3 1 下坐标为 , ,3 ，则 p (a b) (a b) 3c a 2b 3c2 2 2 2 ，故
p在基底 a,b,c 下坐标为（1，2，3），正确.
故选：ACD.
11.解析：若曲线表示椭圆，∵ 4 m 1 m，∴a2 4 m 0，b2 1 m 0，则m 1，即椭
圆焦点在 x轴，则 c2 a2 b2 3，得 c 3，此时焦点坐标为 3,0 若曲线表示双曲线，
2 2
由 4 m 1 m 0 x y，得 4 m 1，此时双曲线的标准方程为 1，则a2 4 m，
4 m 1 m
b2 1 m，
即焦点在 x轴，则 c2 a2 b2 3，得c 3，此时焦点坐标为 3,0 ，故 A 正确；
若曲线表示椭圆，∵ 4 m 1 m，∴a2 4 m 0，b2 1 m 0，则m 1，故 B 正确；
若曲线表示双曲线，由 4 m 1 m 0，得 4 m 1，故 C错误；
x 1 0,
由 kx y k 0得 k x 1 y 0
，得 ，得 x 1， y 0y 0 ，即直线过定点
M 1,0 ，
当曲线为双曲线时， 4 m 1，此时 a2 4 m 0,3 ，当m 2时， a2 2，此时，双曲线
右顶点为 2,0 ，在点M 1,0 的右侧，此时直线不一定有两个交点，故 D 错误.
故选：AB.
1 5
12.解析：对于选项 A，设 A x1, y1 ，由题意得 AF x1 ，解得 x 1，所以 y 1，4 4 1 1
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
S 1 1 1从而 △AOF 1 ，选项 A正确；2 4 8
1
对于选项B，由题意知 OF ，且 BF垂直于 x轴，根据抛物线的定义可知 BF BB 1 .
4 2
设BB 与 y 1轴的交点为 D，易知 OD BF ， B D 1 1 ，故 OB ( )2 (1)2 5 ，所
2 4 2 4 4
OFBB 1 1 1 5 5 5以四边形 的周长为 ，选项 B错误；
4 2 2 4 4
对于选项 C，若直线 AB过点 F，则当 AB x轴时， AB 最小，且最小值为 1，选项 C
正确；
对于选项 D，设直线 AB： x my t， A x1, y1 ，B x2 , y2 ，联立直线 AB与抛物线方程
得 y2 my t 1 1 0，则 y1y2 t，所以 x x
2 2 2
1 2 y1 y2 t ，由OA OB 可得 x1x2 y4 1
y2 ，4
t 2 1 1即 t ，解得 t ，故直线 AB x my 1 1的方程为 ，即直线 AB恒过定点 , 0
，4 2 2 2
选项 D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13 14 15 16
1,3 2 8 + 17 3
k 5 0
x2 y2
13.解析：根据题意，要使方程 1表示焦点在 x轴上的椭圆，则满足 3 k 0 ，
k 5 3 k
k 5 3 k
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解得 1 k 3，即实数 k的取值范围为 1,3 .故答案为： 1,3
14.解析： a2 b2 可以理解为点 (0,0)到点M (a,b)的距离，又∵点M (a,b)在直线
5x 12 y 26 0上，∴ a2 b2 的最小值等于点 (0,0)到直线5x 12 y 26 0的距离，
| 5 0 12 0 26 |
且d 2 .
52 122
15.解析：由题意知，a 4,b 3,c 5 .设双曲线的右焦点为 F2，由 P是双曲线右支上的点，
则 PF PF2 2a 8，则 PF PA 8 PF2 PA 8 AF2 ，当且仅当 A,P,F2三点共线时，等号成立.
又 A 4,4 ,F2(5,0)，则 AF2 (4 5)2 (4 0)2 17 .所以， PF PA的最小值为8 17 .
16.解析：如下图，PF
a
1垂直一条渐近线，则 kPF b ，1
| AF | a
过 F2作 F2A PF
2
1，故 ，又 | AF |
2 | AF |2 | F 2 22 1 1F2 | 4c ，∴ | AF2 | 2a， | AF1 | 2b| AF | b ，1
又在Rt △ PAF 2中 F1PF2 ，故 | PA | | AF2 | 2a， | PF2 | 2 2a4 ，由双曲线定义知：
2 2
| PF1 | | PF2 | 2b 2a 2 2a 2a，则b 2a，∴ e
c a b
3 .
a a
四、解答题
17.（1）7x 5y 37 0 .（2）11x 3y 29 0 .
3 2 5
解：∵ B( 1, 2) C(6,3)
7
、 ，BC边斜率 k 6 1 7 ，故 BC边上的高线的斜率 k＝ ，5
7
故 BC边上的高线所在直线的方程为 y 6 x 1 ，即7x 5y 37 0 .5
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
6 1 11
（2）解：BC的中点D(
5 , 1)，中线 AD所在直线的斜率为 k 25 3 ，故 BC2 2 边上的1
2
中线 AD
11
所在直线的方程为 y 6 x 1 ，即11x 3y 29 0 .3
18.（1） (x 3)2 (y 3)2 10 .（2） x 1、3x 4y 7 0
（1）由题设，MN中点为 (3,0)，则圆心在直线 x 3上，联立 y 2x 3，可得圆心为 (3,3)，
∴圆的半径为 r (3 2)2 32 10，
综上，圆 C的标准方程： (x 3)2 (y 3)2 10 .
（2）∵ (1 3)2 ( 1 3)2 20 10，∴ P在圆外，
当直线 l 斜率不存在时，直线方程为 x 1，则 A(1,3 6)，B(1,3 6)，显然 AB 2 6符
合题设；
当直线 l 斜率存在时，设为 y 1 k(x 1)，联立圆 C可得：
2
(1 k 2)x2 2(k 2 4k 3)x k 2 8k 15 0 2(k 4k 3)，若 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，则 x1 x2 ，1 k 2
2 3
x x k 8k 15 AB 1 k 2 (x x )2 4x x 8(k 3)(3k 1)1 2 ，∴ 1 2 1 2 2 2 6 k 1 k 2
，可得： .
1 k 4
3
∴此时，直线 l： y 1 (x 1)4 ，即
3x 4y 7 0 .
综上，符合条件的直线有 2条，分别为 x 1、3x 4y 7 0 .
19.（1）如图，取 PC的中点 F，连接 EF，DF， E，F分别为 PB，PC的中点，
EF / /BC EF 1 ， BC 2， AD / /BC且 AD 2， EF / /AD且 EF AD 2， 四边形 ADFE2
是平行四边形， DF / /AE， AE 平面 PCD，DF 平面 PCD， AE / /平面 PCD．
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
（2）若O是 AB中点，作Oy / /BC，由底面 ABCD 为直角梯形且 AD / /BC，PA PB AD 2，
BC 4，由侧面 PAB 底面 ABCD，面PAB 面 ABCD AB，P,B 面 PAB，∴ P在面 ABCD
的投影在直线 AB上，又 PB与底面 ABCD 所成的角为 60°，∴PB 与底面 ABCD 所成角
的平面角 PBA 60 ，则△PAB为等边三角形.∴以O为原点，OB、Oy、OP为 x、y、z
轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴ B 1,0,0 、C 1,4,0 、D 1, 2,0 、P 0,0, 3 ，则BP 1,0, 3 ，PD 1,2, 3 ，DC 2,2,0 ，
n
BP x 3z 0
设平面 BDP的法向量n x, y, z ，则{ ，取 x 3，得n 3, 3,1 ，n PD x 2y 3z 0
m PD a 2b 3c 0
设平面 PCD 的法向量m a,b,c ，则{ ，取a 1，得m
1, 1, 3 ，
m DC 2a 2b 0
m n 3 105
设平面 PCD 与平面 PBD 的夹角为 ，则cos m n 7 5 35 ，
105平面 PCD 与平面 PBD的夹角的余弦值为 ．
35
20. (1) p 2 (2) x y 1 0或 x y 1 0
p
（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于 P到准线的距离， PF 3 42 ，
解得： p 2；
（2）由（1）知抛物线C : y2 4x，则焦点坐标为 F 1,0 ，显然直线 l斜率不为 0，设直
x ty 1
线 l为： x ty 1， A x , y ，B x , y 21 1 2 2 联立直线与抛物线方程： 2 ，得： y 4ty 4 0y 4x ，
则 y1 y2 4t，y1y2 4，则 x1 x2 t y1 y2 2 4t 2 2 2所以 AB AF BF x1 x2 p 4t 2 2 8 ，
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
解得 t 1，所以直线 l为： x y 1 0或 x y 1 0；
综上， p 2 ，直线 l为： x y 1 0或 x y 1 0 .
21（. 1）在△PAC中，PA PC 4，O 为 AC的中点．则中线 PO AC，且 AO CO 2,OP 2 3；
同理在 ABC中有 AB2 BC 2 AC 2，则 AB BC；因为 AB BC 2 2，O为 AC的中点．
所以BO AC且BO 2；在 POB中有PO2 BO2 BP2，则BO PO，因为 AC BO O，
AC ,BO 平面 ABC，所以PO⊥平面 ABC．
（2）由（1）得PO⊥平面 ABC，故建立如图所示空间直角坐标系O xyz，
CM
则B(2,0,0),C(0, 2,0), A(0, 2,0),P(0,0, 2 3)，设 CB ，则CM CB，
而CB (2, 2,0),PA (0, 2, 2 3),PC (0, 2, 2 3)， CM CB (2 , 2 ,0)，
PM PC CM (0, 2, 2 3) (2 , 2 ,0) (2 , 2 2 , 2 3)，
m
PM 0 2y 2 3z 0
设平面 PAM的一个法向量为m (x, y, z)
，由
得， ，
m PA 0 2 x 2 2 y 2 3z 0
6
令 z 3, m 3, 3, 3
，
又 x轴所在直线垂直于平面 PAC，∴取平面 PAC的一个法向量 n (1,0,0)，
6 6 2 3 3
cos m ,n 3 3 6
2 2 ，平方得 2 ，令 3 m， 6
3 3 9
6
3
4
12
m2 3 6 6 2
2 4m
2 3m2 36,m2 36,m 6， 3 6, ．
m 12 4 9 3
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
4 1
a
2 8
a2
b2
1
x2 222. 2（1）由题知 ，解得 b 2，∴椭圆C y的标准方程为 1 .
c 3 c2 6 8 2 a 2
（2）当 AB x轴时，M位于 x轴上，且OM AB，由 OM 2可得 AB 6，此时
S 1△AOB OM AB 32 ；
当 AB不垂直 x轴时，设直线 AB的方程为 y kx t，与椭圆交于 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
x2 y2
1 8kt 2
由 8 2 1 4k 2 2，得 x 8ktx 4t2 8 0 . x 4t 8得 1 x2 2 ， x1x2 1 4k 1 4k 2 ， y kx t
M 4kt t
2
2 1 4k 2
从而 , OM 2 2 1 . 4k 2 1 4k 2 已知 ，可得 t 1 16k 2
2 2
2 2 16 8k 2 t 2 2AB 1 k 2 x x 4x x 1 k 2 8kt 4t 8 ∵ 1 k 2 1 2 1 2 4 1 4k 2 1 4k 2 2 2 . 1 4k
2 2
设O t 2 1 4k到直线 AB的距离为d ，则d 2 ，结合 2
2
1 k 2 t
化简得
1 16k 2
2 2 2
2 12k 2 4k 2 1 12k 4k 1
S 2 1 △AOB AB d 16 2
2 2 2 16 1 16k 4 1 16k 2 2
此时 AOB的面积最大，最大值为 2.当且仅当12k 2 4k 2 1即 k 2
1
8时取等号，
综上， AOB的面积的最大值为 2.
{#{QQABTYQQggCAABIAAQhCQwUQCAAQkBACAKoGwAAAIAABgANABAA=}#}
