2023—2024学年苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性 垂径定理 讲义（表格式 无答案）

2.2圆的对称性
(垂径定理)
教学目的 掌握垂径定理； 掌握垂径定理的推论重点难点利用垂径定理求圆的半径或直径； 利用垂径定理求圆相关的角度或长度； 利用垂径定理求实际问题中的解
知识梳理
【知识点一】垂径定理 1.定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.
典型例题讲解
【例1】下列语句中，正确的有（　　） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD弦于点E，则下列结论不一定成立的是（　 　） A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE 【例3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 【例4】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD．
举一反三
【考点一】利用垂径定理求圆的半径 【变式1】如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____． 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的半径长为（　　） A． B．4 C．5 D． 【变式3】 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为___. 【变式4】 如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长． 【考点二】利用垂径定理求线段长度 【变式1】如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（ ） A． B． C．4 D．2 【变式2】如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】 如图，圆O的半径OD垂直弦AB于点C，连接AO并延长交圆O于点E，连接BE．若AB＝8，BE＝6，则CD长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式4】如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 ． 【考点三】垂径定理的实际应用 【变式1】如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 【变式2】如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为　　米． 【变式3】 随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝2.3m，BC＝2.6m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由． 【变式4】 在半径为的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． ①若油面宽，求油的最大深度． ②在①的条件下，若油面宽变为，求油的最大深度上升了多少？
小试牛刀
1.下列说法中错误的有（　　）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3.如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的半径为　　 A．4 B．5 C．6 D．10 4.如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为 ． 6.如图，⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H，若AE+CH＝6，则BG+DF为 ． 7.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ m． 8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______. 9.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．