2023—2024学年苏科版数学九年级上册2.3确定圆的条件（三角形的外接圆） 讲义（表格式 无答案）

2.3确定圆的条件（三角形的外接圆）
教学目的 掌握三角形外接圆的定义； 区分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形外接圆的差别 重点难点掌握三角形的外接圆的尺规作图； 利用三角形的外接圆的性质接哟
知识梳理
【知识点一】三角形的外接圆 1.三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 2.外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆.
典型例题讲解
【例1】点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（　　） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【例2】如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°． 【例3】如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　） A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8 【例4】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°． （1）求证： （2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
举一反三
【考点一】确定三角形外心的位置 【变式1】如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【变式2】如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（　　） A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF 【变式3】 如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【变式4】 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（ ） A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1) 【考点二】三角形的外接圆的尺规作图 【变式1】如图，在中，．尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】如图，的三个顶点坐标分别为，，． ①画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标； ②请在图中作出的外接圆，写出圆心M的坐标． 【变式3】 已知：在中，AB＝AC． （1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，则求出⊙O的面积． 【变式4】 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【考点三】利用三角形的外接圆的性质求解 【变式1】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是 　 　． 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（　　） A．6 B． C．3 D． 【变式3】 如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式4】 阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题． （1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．
小试牛刀
1.三角形的外心具有的性质是（　　） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 2.如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上 3.如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 4.如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________． 6.个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_____． 7.在中，，，，则其外接圆的半径为 ． 8.如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ． 9.如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径．
10.如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF． （1）证明：AB＝AC； （2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心．