2.5直线与圆的位置关系　讲义　2023—2024学年苏科版数学九年级上册

2.5直线与圆的位置关系
教学目的 掌握直线与圆的三种位置关系； 掌握切线的证明与性质； 掌握内切圆的作法与性质重点难点利用直线与圆的位置关系求解； 切线的证明； 内切圆的性质求解
知识梳理
【知识点一】直线与圆的位置关系 直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．此时，直线与圆心的距离小于半径，即d(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．此时，直线与圆心的距离大于半径，即d>r.
典型例题讲解
【例1】如果⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，且，那么⊙O和直线的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【例2】如图，PA、PB是⊙O的两条切线， A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（ ） A． B．1 C．2 D． 【例3】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ） A．100° B．130° C．50° D．65° 【例4】如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°． 求：（1）PA的长； （2）∠COD的度数．
举一反三
【考点一】 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系 【变式1】⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是____________． 【变式2】P、Q是直线l上的两个不同的点，且OP＝5，⊙O的半径为5，下列叙述正确的是（　　） A．点P在⊙O外 B．点Q在⊙O外 C．直线l与⊙O一定相切 D．若OQ＝5，则直线l与⊙O相交 【变式3】 已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式4】 已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（　　） A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5 【考点二】运用切线的性质求值 【变式1】如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE的度数为(　　) A.70° B.110° C.120° D.130° 【变式2】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ） A．100° B．130° C．50° D．65° 【变式3】 如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于C、D．已知△PCD的周长等于14cm，则PA=______cm． 【变式4】 如图，中，，，，则的内切圆半径为________． 【考点三】切线的证明 【变式1】如图，以的边的长为直径作，交于点D，若，求证：是的切线． 【变式2】如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【变式3】 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明； （2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径． 【变式4】 如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：DF＝DG．
小试牛刀
1.已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ） A．20° B．35° C．70° D．110° 3.如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上，下列说法正确的是（ ） A．点O是ABC的内心 B．点O是ABC的外心 C．点O是ABD的内心 D．点O是ABD的外心 4.如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5.设⊙O的半径为4cm，直线L上一点A到圆心的距离为4cm，则直线L与⊙O的位置关系是______． 6.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为__________． 7.如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE+CG的长等于_____________ 8.如图，线段，以O为圆心，的长为半径作，B是平面上一点，且，过点B作直线l垂直于，交于C，D两点．若取最大值时，则的长为_________． 9.已知：如图，AB是的直径，点C在上，BD平分ABC，AD＝AE，AC与BD相交于点E． (1)求证：AD是的切线． (2)若AD＝DE＝2，求BC的长． 10.如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）过点B作的切线交的延长线于，如果连接，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好落在上，连接，请直接写出四边形的形状．