2023—2024学年苏科版数学九年级上册2.6正多边形与圆 讲义（表格式 无答案）

2.6正多边形与圆
教学目的 掌握正多边形的外接圆的定义与性质； 掌握正多边形相关的计算公式 重点难点利用正多边形的外接圆的性质求相关的角度、线段等； 掌握求正多边形的边数；
知识梳理
【知识点一】正多边形与圆
1.正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
2.正多边形的有关计算
　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
典型例题讲解
【例1】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 【例2】如图，已知正五边形内接于，连接，相交于点，则的度数（ ） A． B． C． D． 【例3】如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N． （1）当∠M=∠N=42°时，求∠A的度数； （2）若，且，请你用含有、的代数式表示∠A的度数． 【例4】已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4． （1）求∠A、∠B的度数； （2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
举一反三
【考点一】正多边形与圆中求角度 【变式1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ） A．72° B．70° C．60° D．45° 【变式2】如图，已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O，当EF∥BC时，的度数为 　 　. 【变式3】 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式4】如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【考点二】求正多边形的边数 【变式1】如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　 　． 【变式2】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在弧AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式3】 如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式4】 如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 【考点三】内接多边形的证明 【变式1】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【变式2】如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【变式3】如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 　s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 　s时，四边形PBQE为矩形． 【变式4】 如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1) 求的度数． (2) 是正三角形吗？请说明理由． (3) 从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
小试牛刀
1.若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　） A． B．2 C． D．1 2.如图所示，为的内接三角形，，则的内接正方形的面积（ ） A． B． C． D． 3.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A．2mm B． C． D．4mm 4.如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm． 6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝________． 7.如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是________． 8.如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____． 9.如图，正方形内接于，为上的一点，连接，． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 10.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APB的度数； （2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．