2.2圆的对称性（弧、弦、圆心角的关系）讲义　2023—2024学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性
（弧、弦、圆心角的关系）
教学目的 掌握圆的对称性； 掌握圆心角、弦、弧之间的关系 重点难点利用圆心角、弦、弧之间的关系求圆心角的度数、弦的长度和弧的度数
知识梳理
【知识点一】圆心角的定义 1.定义：如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等； 在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
典型例题讲解
【例1】下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若所对圆心角度数为40°，则所对圆心角度数为（　　） A．40° B．80° C．90° D．120° 【例3】如图，在中，，连接，，则　　（填“”，“ ”或“” ）． 【例4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．
举一反三
【考点一】圆心角的相关的概念 【变式1】下列说法中，正确的个数为　　 （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】 下列语句中不正确的有（ 　 ） ①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4】 判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【考点二】求圆心角的度数 【变式1】如图，点，，都在上，是的中点，，则等 于　　． 【变式2】如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角　　． 【变式3】 如图，是的直径，若，则的度数是（ ）． A． B． C． D． 【变式4】 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【考点三】求弦的长度 【变式1】如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（ ） A．8 B．4 C． D． 【变式2】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（　　） A． B．6 C． D． 【变式3】 如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ） A． B． C． D． 【变式4】 如图所示，是的两条弦，且，则与的大小有什么关系？为什么？
小试牛刀
1.下列语句中不正确的有（　　） ①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆内接四边形的对角互补． A．4个 B．3个 C．1个 D．1个 2.在⊙O中，满足弧CD＝2弧AB，则下列说法正确的是（　　） A．CD＞2AB B．CD＜2AB C．CD＝2AB D．无法确定 3.如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4.如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5.已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为　　． 6.同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数　　． 7.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为 　 　°． 8.如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为______． 9.如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D． 连接，判断与的位置关系，并证明； 若，，求圆O的半径； 10.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC． （1）求∠AOB的度数． （2）求∠EOD的度数．