黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线：和：平行，则实数（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．1
3．若点在圆C：的外部，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点P是圆O：上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：，（，）的左、右焦点分别为，，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知点到直线l：的距离为l，则C的值可以是（ ）
A．5 B．10 C．-5 D．15
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
11．已知圆：，圆：，则（ ）
A．两圆外切
B．直线是两圆的一条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．过点作圆的切线仅有一条
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若向量，，则______．
14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为______．
15．P点在椭圆上，，则BP长的最大值为______．
16．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线经过点．
（1）若与直线：垂直，求的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
18．（本小题满分12分）
圆O：内有一点，过的直线交圆于A，B两点．
（1）当为弦AB中点时，求直线AB的方程；
（2）若圆O与圆C：相交于E，F两点，求EF的长度．
19．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥的底面ABCD为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心O，E为侧棱PC的中点．
（1）求证：平面BDE；
（2）若，四棱锥的体积为，求PB与平面DBE所成角．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为，
（1）求椭圆C的方程；
（2）不过原点O的直线l：与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值，及此时直线l的方程．
21．（本小题满分12分）
已知，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由。
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的焦距为2，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由。
哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B
8题详解
【详解】观察给定图形，由及得，A正确；
由，，得，B不正确；
因，即，有，得，
令，，即有，由给定轨道图知，，
因此，，D正确；而，C不正确．
故选：AD
二、多选题
9．AD 10．BC 11．ABC 12AD
三、填空题
13．
14．或
15．
16．6
16题详解
【详解】设椭圆对应的参数为，，c，双曲线对应的参数为，，c，由于线段的垂直平分线过，所以有根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即．所以，即最小值为6．
四、解答题
17．解：（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为k，因为，所以，则
又经过点，所以的方程为：，即
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，则的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，由，得，
故的方程为．
18．（1）因为为弦AB中点，由垂径定理得，
因为，所以，
故直线AB的方程为，即；
（2）与相减得，，
即直线EF的方程为，
圆心O到直线的距离为，
由垂径定理得EF的长度为．
19．（1）连接AC，因为底面ABCD是正方形，且顶点P在底面上的射影为正方形的中心O，
所以，
又因为点E是PC中点，
所以由三角形中位线定理可得；
因为平面BDE，平面BDE，
所以平面BDE；
（2），
解得：，
以故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
由已知可得，，，，，
，，，
设平面BDE的一个法向量是．
由，得，
令，则，，
又因为PB与平面DBE所成角与互余，
所以PB与平面DBE所成角为．
20．（1）由已知得，由离心率，得．∴，
∴椭圆C的方程为．
（2）设，，联立可得，，
∵直线l：与椭圆E交于A，B两点，
∴，解得，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
点O到直线l的距离为，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积的最大值为，此时直线l的方程为．
21．解：（1）设，∴，，其中，∴，
整理得轨迹C的方程为：．…6分
（2）设，，∴，，作差得，
∴，∴．
∴直线m方程为：，即．…10分
联立，∴，整理得，∴，
∴直线m不存在．…12分
解2：由题，直线m斜率存在，设m方程为，联立与，
得，整理得．
∴，且．（*）
设，，则，解得．…10分
代回（*）式得，直线m不存在…12分
22．【小问1详解】
由椭圆C的焦距为2，故，则，
又由椭圆C经过点，代入C得，得，，
所以椭圆C的方程为：．
【小问2详解】
根据题意，直线l的斜率显然不为零，令
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
与C：联立得，，
则，
设，，，，
设存在点T，设T点坐标为，
由，得，
又因为，
所以，，
所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，，
即，即，
解得，符合题意，
即存在点满足题意．