第22章二次函数　期末复习综合练习题 （含答案） 2023-—2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》期末复习综合练习题（附答案）
一、单选题（36分）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝（﹣2x）2﹣4x2+1 B．y＝ax2+x﹣3
C．y＝x2+12x D．
2．抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
3．在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
4．把抛物线y＝x2向右平移2个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
5．对于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象，下列说法中正确的是（　　）
A．有最低点，坐标是（2，﹣1）
B．有最高点，坐标是（2，1）
C．有最高点，坐标是（﹣2，﹣1）
D．有最低点，坐标是（﹣2，﹣1）
6．若抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴只有一个交点，则c的取值范围是（　　）
A．c＞1 B．c＝1 C．c＜1 D．c＝0
7．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法中正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是
8．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝2和x2＝﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣4
9．某种飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足，则该飞机从着陆到停下来滑行的距离是（　　）
A．25m B．50m C．625m D．750m
10．春节期间某超市将进价为每千克100元的松子按每千克x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）kg，若想获得最大利润，则x应定为（　　）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜3 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（12分）
13．已知抛物线y＝2x2﹣4x+m的顶点在x轴的下方，则实数m的取值范围是 　 　．
14．已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，2），形状与抛物线y＝2x2+3x
相同，且开口向下，那么这个二次函数的解析式为 　 　．
15．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝ax2+bx+2都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式ax2+bx+2＞x+m的解集为 　 　．
16．如图，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与直线y＝x交于点O与点A，点B为线段OA上的动点，过点B作BC平行于y轴，交抛物线于点C，则线段BC长的最大值为　 　．
三、解答题（72分）
17．已知二次函数y＝x2﹣2x，请你把这个二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式：　 　，并在平面直角坐标系中画出它的图象；如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系：　 　．
18．已知一条抛物线的对称轴是直线x＝1，函数的最大值是y
＝2，且该抛物线经过坐标原点（0，0）．求此抛物线的函数关系式．
19．已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，1），B（1，﹣7）．求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标与对称轴．
20．将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝﹣x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
22．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住过的每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加100元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利10640元，则房价定为多少元？
23．如图是某地一拱桥，大桥上的桥拱是抛物线的一部分，位于桥面上方部分的拱高约为18m，跨度AB约为108m．
（1）请你建立恰当的平面直角坐标系，求出可以近似描述主桥上的拱桥形状的解析式．
（2）求桥面上距离对称轴36m处的垂直支架的长度．
24．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC＝2，OB＝3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
参考答案
一、单选题（36分）
1．解：A、y＝（﹣2x）2﹣4x2+1＝1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+x﹣3（a≠0），是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+12x，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝+5x﹣1，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2＝1，
所以，抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选：D．
3．解：∵y＝﹣（x﹣2）2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大．
故选：A．
4．解：抛物线y＝x2向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．
故选：D．
5．解：∵二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1），有最高点，
故选项C中的说法正确，选项A、B、D中的说法错误；
故选：C．
6．解：由题知，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，
得c＝1．
故选：B．
7．解：根据表格中的数据可知，
当x＝﹣1和x＝0时，函数值都为﹣2，
所以抛物线的对称轴是直线x＝．
又x＝1时，y＝0，
所以抛物线的开口向上，
故A选项错误；
又x＞时，y随x的增大而增大，
故B选项错误；
又x＝﹣1和x＝0时，函数值都为﹣2，
而抛物线的开口向上，
所以二次函数的最小值比﹣2小，
故C选项错误；
因为抛物线的对称轴是直线x＝，
故D选项正确．
故选：D．
8．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝2和x2＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为（2，0）和（﹣4，0），
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
9．解：∵y＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
10．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选：A．
11．解：∵y＜0，
∴图象在x轴下方
∴自变量x的取值范围：﹣1＜x＜3
故选：B．
12．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
﹣＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；
④∵图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故④错误；
故选：B．
二、填空题（12分）
13．解：由题知，
因为抛物线的顶点再x轴的下方，
所以＜0，
得m＜2．
故答案为：m＜2．
14．解：设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+2，
∵抛物线y＝a（x+3）2+2与抛物线y＝2x2+3x相同，且开口向下，
∴a＝2，
∴所求抛物线的解析式为y＝2（x+3）2+2．
故答案为：y＝2（x+3）2+2．
15．解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝ax2+bx+2都经过点A（1，0）和B（3，2），
∴根据图象可知，不等式y＝ax2+bx+2的解集为x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3．
16．解：设BC的长为L，点B的横坐标为x，则点B的纵坐标为y＝x，点C的纵坐标为y＝（x﹣1）2﹣1，
L＝x﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣x2+3x，
∵a＝﹣1＜0，
∴L有最大值，
当x＝﹣＝时，L最大＝﹣（）2+3×＝；
故答案为：．
三、解答题（72分）
17．解：由题知，
y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1．
函数图形如图所示，
因为抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向上，
所以x1＜x2＜1时，有y1＞y2．
故答案为：y1＞y2.
18．解：∵一条抛物线的对称轴是直线x＝1，函数的最大值是y＝2，
∴设抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣1）2+2，
把点（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+2得，0＝a+2，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣2（x﹣1）2+2．
19．解：把A（0，1），B（1，﹣7）分别代入y＝﹣3x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣3x2﹣5x+1，
∵y＝﹣3x2﹣5x+1＝﹣3（x+）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣，），抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
20．解：∵将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到y＝mx2+n﹣6，
∴m＝﹣1，n﹣6＝3，
∴n＝9，
∴原抛物线y＝﹣x2+9，
∴顶点P（0，9），
令y＝0，则0＝﹣x2+9，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∴S△PAB＝AB OP＝×6×9＝27．
21．解：（1）把A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
抛物线y＝x2+x﹣4与y轴的交点B坐标为（0，﹣4），即OB＝4，
又∵M（m，m2+m﹣4），
∴ON＝﹣m，MN＝﹣m2﹣m+4，AN＝4﹣（﹣m）＝4+m，
∴S△ABM＝S△ANM+S梯形MNOB﹣S△AOB，
＝（4+m）（﹣m2﹣m+4）+（﹣m2﹣m+4+4）（﹣m）﹣×4×4
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，S最大＝4，
答：S与m的函数关系式为S＝﹣m2﹣4m，S的最大值为4．
22．解：（1）若每个房间定价增加100元，则这个宾馆这一天的利润为（180+100﹣20）×（50﹣）＝10400元．
答：这个宾馆这一天的利润为10400元；
（2）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：（a﹣20）（50﹣）＝10640，
解得：a＝300或a＝400，
答：若宾馆某一天获利10640元，则房价定为300元或400元．
23．解：（1）如图所示，
由题意可得，抛物线的顶点坐标为（0，18），经过点（﹣54，0），
设该抛物线的解析式为y＝ax2+18，
则0＝a×（﹣54）2+18，
解得a＝﹣，
即该抛物线解析式为y＝﹣x2+18；
（2）当x＝36时，
y＝﹣×362+18＝10，
即桥面上距离对称轴36m处的垂直支架的长度是10m．
24．解：（1）由OC＝2，OB＝3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2＝﹣3a，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+2；
（2）抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y＝﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6＝0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△＝36﹣8（3b﹣6）＝0，
解得：b＝，即y＝﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y＝﹣x+，
联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），
此时S＝．