吉林省梅河口市2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含解析）

梅河口市2023-2024学年高一上学期11月月考
数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。全部选对的得5分，选错的或不答的得0分。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则它的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
5．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设是定义域为的奇函数，且为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不答的得0分。）
9．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．已知集合，，则的必要不充分条件可能是（ ）
A． B． C． D．
11．设正实数，满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值1 D．有最小值
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域是
B．，
C．对任意恒成立
D．存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分。请将答案直接填写在答题卡内指定处。）
13．命题“，”的否定是__________．
14．若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．
15．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是__________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为__________．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18~22题12分，共70分。请将答案直接填写在答题卡内指定处。）
17．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式．
18．设集合，，．
（1），求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（1）已知函数，试用单调性定义判断在上的单调性；
（2）已知函数．当时，求的最小值．
20．讨论关于的不等式的解集．
21．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动．根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件．已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元．（注：利润＝销售收入―投入成本―促销费用）
（1）求出的值，并将表示为的函数；
（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
22．已知函数的定义域是，对定义域内的任意，都有，且当时，，．
（1）证明：是偶函数；
（2）解不等式．
梅河口市2023-2024学年高一上学期11月月考
参考答案
1．C
2．B 由题意，为定义域，值域为的子集
A：图象中定义域范围有误，不符合；
B：满足从集合到集合的函数关系，符合；
C：图象中值域不为集合的子集，不符合；
D：由函数定义域内任意自变量有且仅有唯一函数值与之对应，图象存在一个对应两个值情况，不符合．
3．D ，
，，，，，的值域为．
4．B 设，定义域为，
则，故为奇函数，
又，则，所以．
5．B 由题意有，解得或，①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意．
6．C 依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，
因此，所以的取值范围是．
7．B 函数在上是增函数，，解得．
8．D 由于是定义域为的奇函数，所以的图象关于原点对称，且，
由于为偶函数，所以图象关于直线对称，所以，
令，得，所以，D选项正确．
令得，而，
根据已知条件无法确定的值，所以ABC选项错误．
9．BC 选项A，当时，，，所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；
选项B，与定义域都为，且对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项C，与的定义域都为，且，，对应关系完全一致，故是同一个函数；
选项D，对，由，解得，所以的定义域为，
对，由，解得，或，
所以的定义域为，两函数定义域不同，故不是同一个函数．
10．AB 由题意，当时，，即满足；
当时，有，解得，综上有．
故的必要不充分条件可能是，．
11．AD 由于，，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4，A正确，
对于B，由于，，所以，
当且仅当时等号成立，故有最大值没有最小值，B错误；，当且仅当时等号成立，故有最大值，C错误；
由得，当且仅当时等号成立，所以有最小值为，故D正确．
12．BC 解：对于A选项，函数的值域为，故A选项错误．
对于B选项，当为有理数时，，，
当为无理数时，，，所以，，故B选项正确．
对于C选项，为有理数时，为有理数，，
当为无理数时，为无理数，．所以恒成立，故C选项正确．
对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，则，，的值得可能性只能为，，或，，，由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项错误．
13．， 全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题的否定为“，”．故答案为：，．
14． 因为的定义域为，所以函数中，解得，
因为，所以，即，
综上可得，的定义域为．故答案为：．
15． 因为不等式有解，所以，
因为，，且，所以，
当且仅当，即，时，等号是成立的，所以，
所以，即，解得或．
16． 因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，则，可得，
所以．故答案为：．
17．（1）或； （2）
解：（1）设，则，
因为，所以，
所以解得或，所以或．
（2），①，②，
②－①得：，．
18．（1） （2）
（1）当时，，故，
又，故．
（2）当时，，，符合题意；
当时，因为，所以需满足，解得，
综上所述，的取值范围为．
19．答案见详解
（1）任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，，所以，
又因为，，所以，
即．所以在上单调递减．
（2）依题意，的对称轴方程为．
当，即时，在上单调递增，此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时的最小值为．
综上，当时，的最小值为，当时，的最小值为，
当时，的最小值为．
20．当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为；
当时，不等式化为，令，得或，
则时，，不等式，解得或；
当时，，不等式，解得；
当时，，不等式无解；
当时，，不等式，解得，
综上知：时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
21．（1），
（2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
解：（1）由题知，时，，于是，，解得．所以，．
根据题意，，即，
所以．
（2），
当且仅当，即时，等号成立．
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元．
22．（1）见解析； （2）
解：（1）证明令，得，．
令，得，．是偶函数．
（2）证明设，则，
，．，即．
．在上是增函数．
， ．
又是偶函数，不等式可化为．
又函数在上是增函数，．解得，
又，解得：，即不等式的解集为．