河南省商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 09:57:44 | ||
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文档简介
商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．圆C：的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
2．已知直线：，：，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如果直线与直线垂直，那么m的值为（ ）
A．-2 B． C． D．2
4．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．内含 D．以上均有可能
6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率越大，倾斜角越大
B．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或
10．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
11．在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ）
A． B．平面 C． D．棱
12．已知直线l：交椭圆C：于不同两点A，B，且椭圆C经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C离心率为
B．椭圆C的焦距是
C．的面积是（O是坐标原点）
D．椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．向量，的夹角为______．
14．若方程表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______．
15．在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，且，E为PC的中点，设直线PC与平面BDE所成的角为，则______．
16．定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
（2）已知中，，，，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．
18．（本题满分12分）
已知，，动点C满足，直线l：．
（1）求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；
（2）若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，求实数m的值．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，M为BC的中点．
（1）求证：平面平面PAM；
（2）若二面角的大小为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为120°的渐近线，直线l：与C相交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度．
21．（本题满分12分）
我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”．如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
（2）若二面角的大小为，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．
商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A D B A D
1．【答案】B
【解析】可化为，所以圆半径为，故选B．
2．【答案】B
【解析】由距离公式．故选B．
3．【答案】C
【解析】由题知：，解得．故选C．
4．【答案】A
【解析】由题意可得，
∵，，∴．故选A．
5．【答案】D
【解析】两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆方程上，由于圆的半径不确定，所以均有可能．故选D．
6．【答案】B
【解析】圆O：的圆心，半径为，因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，又圆O与直线l：相切，所以，则，所以双曲线的离心率为．故选B．
7．【答案】A
【解析】作直线与曲线的图象如图，直线m的斜率，直线n的斜率，结合图象可以知道，k的取值范围是．故选A．
8．【答案】D
【解析】如图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，
则：，，，，
对于A：因为底面BCD，底面BCD，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：由于，所以，故C正确；对于D：，故D错误．故选D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD AB BCD
9．【答案】BD
【解析】对于A，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；对于B，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项B正确；对于C，当直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故C错误；对于D，直线可化为，所以直线恒过定点，，，直线与线段相交，所以或，故D正确．故选BD．
10．【答案】AD
【解析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：
或
则或，，
当时，，
当时，，故选AD．
11．【答案】AB
【解析】连接OA，则，又，OP，平面AOP，所以平面AOP，又平面AOP，所以，故A正确．由，得，，共面，又三个向量共起点，所以B，P，C，共面，所以平面，故B正确；则，得，得，设BC的中点为O，则，所以，因为，所以，即P在BC的中垂线上，故棱，故D错误；则，又，所以BP，不平行，故C错误；故选AB．
12．【答案】BCD
【解析】将两点，坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，可得，于是，焦距为．从而知A错误，B正确．记，，可设AB的方程为，由，消去x得，解得，，直线l与x轴交于点，则，故C正确．
设与l：平行的直线为：，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为所求，经分析计算可知D正确．故选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（或45°）
【解析】，所以角大小为45°．
14．
【解析】当曲线表示椭圆时，需，解得或．
15．
【解析】因为底面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
所以以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为E为PC的中点，所以，所以，，，
设平面BDE的法向量为，则，
令，则，
所以P到平面BDE的距离为，又在中易得，所以．
16．或0
【解析】根据蒙日圆定义，圆O方程为，
因为直线l与圆O交于A、B两点，联立，
可得或，即点、，
当点P与点A或B重合时，为直角，此时，，
所以直线OP的斜率为或0．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】（1）若直线l经过原点，则其斜率为，
故其方程为，即；
若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则，
解得，故直线l方程为，整理可得；
综上所述，满足题意的直线方程为或．
（2）因为，，设BC交x轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则，M为BC中点，则．
，故AC直线方程为，
即，故AC直线方程为．
18．【解析】（1）设，因为动点C满足，所以，
整理可得，即，
即动点C的轨迹方程为．
动点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，
因为，则，
因为，所以，即，解得．
19．【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，，，，
可得，，
过A在平面ABCD内作，垂足为E，则，，求得
则，∴．
∵面ABCD，∴，又，∴平面PAM，
∵平面PDM，∴平面平面PAM；
（2）由（1）知，，，
则为二面角的平面角，即，，
则．
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面PDM的法向量为，
由，取，得，为平面PDM的一个法向量．
∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．
20．【解析】（1）设双曲线C的标准方程为，
则其渐近线方程为，
由题意可得，，且，解得，，
则双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：，
设，，则有，，
．
21．【解析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形AOHG是平行四边形，则，
由于平面GCF，平面GCF，
∴平面GCF．
（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，
∴即为二面角的平面角．
∴，
以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，
设，则、、，
∴，，
易知平面ABE的一个法向量，
设平面OAB的法向量为，
由，得，取，则，，
于是平面OAB的一个法向量为，
∴，
∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．
22．【解析】（1）由题意，过点的直线l经过原点，
所以l的方程为，且点A，B关于原点对称．
设，将代入，化简得，即，∴．
∵，∴．
根据对称性，，
根据椭圆定义得，∴．∴．
所以C的方程为．
（2）点E在x轴的投影为点，所以，
设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，，
∴．
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，
此时∴，不符合条件．
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，联立得．
得，
∴，即，解得
综上，PQ所在直线的方程为或．
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．圆C：的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
2．已知直线：，：，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如果直线与直线垂直，那么m的值为（ ）
A．-2 B． C． D．2
4．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．内含 D．以上均有可能
6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率越大，倾斜角越大
B．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或
10．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
11．在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ）
A． B．平面 C． D．棱
12．已知直线l：交椭圆C：于不同两点A，B，且椭圆C经过点，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C离心率为
B．椭圆C的焦距是
C．的面积是（O是坐标原点）
D．椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．向量，的夹角为______．
14．若方程表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______．
15．在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，且，E为PC的中点，设直线PC与平面BDE所成的角为，则______．
16．定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是______．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
（2）已知中，，，，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．
18．（本题满分12分）
已知，，动点C满足，直线l：．
（1）求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；
（2）若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，求实数m的值．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，M为BC的中点．
（1）求证：平面平面PAM；
（2）若二面角的大小为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
20．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为120°的渐近线，直线l：与C相交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度．
21．（本题满分12分）
我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”．如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
（2）若二面角的大小为，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．
商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A D B A D
1．【答案】B
【解析】可化为，所以圆半径为，故选B．
2．【答案】B
【解析】由距离公式．故选B．
3．【答案】C
【解析】由题知：，解得．故选C．
4．【答案】A
【解析】由题意可得，
∵，，∴．故选A．
5．【答案】D
【解析】两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆方程上，由于圆的半径不确定，所以均有可能．故选D．
6．【答案】B
【解析】圆O：的圆心，半径为，因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，又圆O与直线l：相切，所以，则，所以双曲线的离心率为．故选B．
7．【答案】A
【解析】作直线与曲线的图象如图，直线m的斜率，直线n的斜率，结合图象可以知道，k的取值范围是．故选A．
8．【答案】D
【解析】如图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，
则：，，，，
对于A：因为底面BCD，底面BCD，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：由于，所以，故C正确；对于D：，故D错误．故选D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11 12
答案 BD AD AB BCD
9．【答案】BD
【解析】对于A，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；对于B，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项B正确；对于C，当直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故C错误；对于D，直线可化为，所以直线恒过定点，，，直线与线段相交，所以或，故D正确．故选BD．
10．【答案】AD
【解析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：
或
则或，，
当时，，
当时，，故选AD．
11．【答案】AB
【解析】连接OA，则，又，OP，平面AOP，所以平面AOP，又平面AOP，所以，故A正确．由，得，，共面，又三个向量共起点，所以B，P，C，共面，所以平面，故B正确；则，得，得，设BC的中点为O，则，所以，因为，所以，即P在BC的中垂线上，故棱，故D错误；则，又，所以BP，不平行，故C错误；故选AB．
12．【答案】BCD
【解析】将两点，坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，可得，于是，焦距为．从而知A错误，B正确．记，，可设AB的方程为，由，消去x得，解得，，直线l与x轴交于点，则，故C正确．
设与l：平行的直线为：，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为所求，经分析计算可知D正确．故选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（或45°）
【解析】，所以角大小为45°．
14．
【解析】当曲线表示椭圆时，需，解得或．
15．
【解析】因为底面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
所以以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为E为PC的中点，所以，所以，，，
设平面BDE的法向量为，则，
令，则，
所以P到平面BDE的距离为，又在中易得，所以．
16．或0
【解析】根据蒙日圆定义，圆O方程为，
因为直线l与圆O交于A、B两点，联立，
可得或，即点、，
当点P与点A或B重合时，为直角，此时，，
所以直线OP的斜率为或0．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】（1）若直线l经过原点，则其斜率为，
故其方程为，即；
若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则，
解得，故直线l方程为，整理可得；
综上所述，满足题意的直线方程为或．
（2）因为，，设BC交x轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则，M为BC中点，则．
，故AC直线方程为，
即，故AC直线方程为．
18．【解析】（1）设，因为动点C满足，所以，
整理可得，即，
即动点C的轨迹方程为．
动点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，
因为，则，
因为，所以，即，解得．
19．【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，，，，
可得，，
过A在平面ABCD内作，垂足为E，则，，求得
则，∴．
∵面ABCD，∴，又，∴平面PAM，
∵平面PDM，∴平面平面PAM；
（2）由（1）知，，，
则为二面角的平面角，即，，
则．
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面PDM的法向量为，
由，取，得，为平面PDM的一个法向量．
∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．
20．【解析】（1）设双曲线C的标准方程为，
则其渐近线方程为，
由题意可得，，且，解得，，
则双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：，
设，，则有，，
．
21．【解析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形AOHG是平行四边形，则，
由于平面GCF，平面GCF，
∴平面GCF．
（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，
∴即为二面角的平面角．
∴，
以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，
设，则、、，
∴，，
易知平面ABE的一个法向量，
设平面OAB的法向量为，
由，得，取，则，，
于是平面OAB的一个法向量为，
∴，
∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．
22．【解析】（1）由题意，过点的直线l经过原点，
所以l的方程为，且点A，B关于原点对称．
设，将代入，化简得，即，∴．
∵，∴．
根据对称性，，
根据椭圆定义得，∴．∴．
所以C的方程为．
（2）点E在x轴的投影为点，所以，
设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，，
∴．
①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，
此时∴，不符合条件．
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，联立得．
得，
∴，即，解得
综上，PQ所在直线的方程为或．
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